问题描述

设计与实现查找数组的中项问题的算法；

解决思路

要找出一个数组的中位数，最简单的方法当然是将数组排序，但快速排序的时间复杂度也需要O(nlogn)，我们可以寻找更快的算法来解决。首先对于一个长度为n的有序数组a[n]，若n为偶数，则中位数为(a[n/2]+a[n/2-1])/2，若n为奇数，则中位数为a[n/2]，那么问题的关键就是找到a[n/2]和a[n/2-1]，然而这是在有序数组中的，那么换到无序的数组中，我们可以把问题转换为求数组中第n/2大的和第n/2+1的数，再一般点就是求一个无序数组中第k大的数。那么如何求第k大的数呢，我们可以先在数组中取一个值value，将数组划分为小于value的small，等于value的equal，大于value的big三个部分，分别记三个部分的元素个数为numS、numE、numB，若k<=numS，则说明我们要找的数就在small中，若numS<k<=numS+numE，则说明我们要找的值在equal中，而又因为equal中的值都相等，因此我们要找的值就等于equal中元素的值，若k>numS+numE，则我们要找的数就在big中；在一趟比较完成之后，若我们没有得到我们需要的值，只得到了我们需要的数所在的范围，那么我们可以再对得到的small或big再使用以上算法，直到得到需要的值。

算法描述

选择数组中第k大的数的算法流程图如下：

算法代码

int selectK(int a[], int length, int k)
{  int *small = new int[length];  int *equal = new int[length];  int *big = new int[length];  int value = a[0];  int numS = 0, numE = 0, numB = 0;  for (int i = 0; i < length; i++)  {  if (a[i] < value)  {  small[numS] = a[i];  numS++;  }  else if (a[i] == value)  {  equal[numE] = a[i];  numE++;  }  else  {  big[numB] = a[i];  numB++;  }  }  if (k <= numS)return selectK(small, numS, k);  else if (k > numE + numS)return selectK(big, numB, k-numS-numE);  else return value;
}  int main()
{srand((int)time(0));int n;cin >> n;int *array = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++){array[i] = rand()%10000;}cout << endl;cout << "中位数是：";if (n % 2 == 0) cout << (float)(selectK(array, n, n / 2) + selectK(array, n, n / 2 + 1)) / 2 << endl;elsecout << selectK(array, n, n / 2 + 1) << endl;delete[] array;system("pause");return 0;
}

算法分析

以下是本算法与快速排序的耗时对比：

数据规模n	本算法	快速排序
1000	1ms	1ms
10000	2ms	2ms
100000	7ms	28ms
1000000	60ms	1396ms
10000000	4537ms	14353ms

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