[01背包]

一、问题描述:

在NNN个物品，背包容量为CCC的情况下，每个物品的价值为viv_ivi，重量为wiw_iwi，每个物品选择装入背包(1)或者选择不装入背包(0)。然后选择物品装入背包使得背包的总价值最大。

二、状态表示及其转换

f[i][j]表示前iii件物品，背包容量为jjj的情况下的最大价值
故f[0][0~C]就是什么物品都没选，背包容量为0~C的情况下的最大价值，故而为0。
f[i][j]由两种状态转为过来，
①选第iii件物品f[i][j] = f[i-1][j - v[i]] + w[i]
f[i-1][j-v[i]]表示在没选(或者是选不了)第iii件物品时，需要预留v[i]v[i]v[i]的容量

②不选第iii件物品f[i][j] = f[i-1][j]

三、实例

问题：

有 4 件物品和一个容量为 5 的背包。每件物品只能使用一次。
问：
将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量且总价值最大

①初始状态下:

②状态转移过程中：

③最终情况：

f[4][5]即为在容量为5，前4件物品的情况下背包的最大价值。也是这道题的最大价值。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int v[N];   // 体积
int w[N];   // 价值
int f[N][N];    // 容积为N，前N件物品的最大价值
int n, m;int main() {cin >> n >> m;for(int i = 1;i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1;i <= n; i ++)for(int j = 1;j <= m; j ++) {if(j < v[i])    f[i][j] = f[i - 1][j];  // j容量装不下第i件物品else    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 比较选还是不选，选大的替换}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

空间复杂度优化

先上代码

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1005int v[N];   // 体积
int w[N];   // 价值
int f[N];    // 容积为N的最大价值
int n, m;int main() {cin >> n >> m;for(int i = 1;i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1;i <= n; i ++)for(int j = m;j >= v[i]; j --)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);  // 比较选还是不选，选大的替换cout << f[m] << endl;return 0;
}

在上面的二维背包中，f[i][j]的状态总是与i-1有关，所以我们没有必要开一个二维数组。

如下图3那行中的状态总是由2那行的状态转换过来的。以及我们可以观察到一个点，总是由**左上角和上面**转移过来的。这也是为什么把维度缩小成一维之后代码从m开始，逆序开始遍历。逆序开始遍历不会影响改变的`f[i]`不会对后面进行影响。因为状态的转移我们可以想象成是从左上角和上面转移过来的。如果是从1开始顺序遍历，就会出现后面的`f[i]`使用的不是`"f[i-1]"`转移过来的。从1开始遍历的时候更改`f[i]`的时候后面用的`f[i]`都是这一轮的也就是`"f[i]"`状态的值。

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