矩阵

矩阵是什么

先来看一个很有意思的小题目:

现在有5个房子, 房子的门的颜色有黄,蓝,红,绿和橙色

人物有:小明, 小红, 小兰, 小白, 小黄.

宠物有: 蜗牛, 小狗, 小猫, 小白兔, 小金鱼

饮料有: 水, 茶, 牛奶, 果汁, 咖啡.

食物有: 圆葱, 香蕉, 苹果, 蘑菇, 蛋糕.

现在的情况是这样的:

小明住在红门的房子里.

喝牛奶的住在中间房子里.

小白有只小猫, 邻居有只小金鱼.

小黄住在最左边的房子里.

住在绿门房子里的喝咖啡.

吃圆葱的住在吃苹果的右边.

小兰和茶还有只小狗.

吃蛋糕的喝果汁.

绿门房子在最右边, 橙门房子在其左边.

吃苹果的邻居有只小狗.

吃蘑菇的有一直小蜗牛.

小白吃香蕉.

住在黄门房子里的吃苹果.

小黄的邻居加的房门是蓝色的.

问题是: 谁喝水, 谁有只小金鱼.

最简单的作法就是做一个数表.

	房子1	房子2	房子3	房子4	房子5
门
人物
宠物
饮料
食物

根据题目提供的信息,依次把信息填入数表,就能得出问题的答案.

生活中这样的数表比比皆是.

把这些数表中代表的具体事项去掉,只单独抽象出这些数字来, 就得到了矩形的数表. 这些数表就称做矩阵.英文是matrix.

由

矩阵还可以用来表示线性方程组.

比如: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+…+amnxn=bma_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n=b1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}xn=b2, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x2 + \ldots + a_{mn}x_n=b_ma11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

a11a_{11}a11

可以表示为:

[a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2⋯⋯⋯⋯am1am2…amnbm]\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{12} \qquad \ldots \qquad a_{1n} \qquad b1\\ a_{21}\qquad a_{22} \qquad \ldots \qquad a_{2n} \qquad b2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\\ a_{m1} \qquad a_{m2} \qquad \ldots \qquad a_{mn} \qquad b_m \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2⋯⋯⋯⋯am1am2…amnbm⎦⎥⎥⎤

矩阵还可以表示为线性变换的描述.这一点我们讲线性代数的直观表示的时候再讲.

由m×nm \times nm×n个数按一定的次序排成的m行n列的矩形鼠标称为m×nm \times nm×n的矩阵, 简称矩阵.

[a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn]\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{12} \qquad \ldots \qquad a_{1n}\\ a_{21}\qquad a_{22} \qquad \ldots \qquad a_{2n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\\ a_{m1} \qquad a_{m2} \qquad \ldots \qquad a_{mn}\end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn⎦⎥⎥⎤

手写矩阵一般会用圆括号, 打印会用中括号,因为好看.

横的各排称为矩阵的行, 竖的各排称为矩阵的列.aija_{ij}aij称为矩阵的第iii行jjj列的元素.

元素是实数的矩阵称为实矩阵, 我们只讨论实矩阵.

矩阵通常用大写字母表示A,B,C,D等.

[a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn]简记为A=(aij)m×n\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{12} \qquad \ldots \qquad a_{1n}\\ a_{21}\qquad a_{22} \qquad \ldots \qquad a_{2n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\\ a_{m1} \qquad a_{m2} \qquad \ldots \qquad a_{mn}\end{matrix}\right] 简记为A=(a_{ij})_{m \times n}⎣⎢⎢⎡a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn⎦⎥⎥⎤简记为A=(aij)m×n

只有一行的矩阵叫做行矩阵, 只有一列的矩阵叫做列矩阵.

matrix的复数是什么?

几种特殊的矩阵

方阵

行列数相等的矩阵就是方阵

方阵有主对角线和斜对角线.

零矩阵

全是0的矩阵,叫做零矩阵, 一般用大写的O表示.

对角矩阵(对角阵)

主对角线上的元素是非0元素, 其他位置都是0的矩阵.

对角阵用Λ\LambdaΛ表示

单位矩阵

主对角线上全是1,其余部分全是0的矩阵.记做EnE_nEn

数量阵

主对角线上的元素都是非零的相同元素.(也是一种对角矩阵)

三角阵

三角阵分为上三角阵和下三角阵

上三角阵是主对角线及其上方元素非零, 下三角阵是主对角线及其下方元素非零.

梯形阵

设A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}A=(aij)m×n为非零矩阵,若非零行(即至少有一个非零元素的行)全在零行的上面, A中各非零行中的第一个(最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少), 则称为上(下)梯形矩阵. 简称为上(下)梯形阵.

[123450078000000]是什么矩阵?\left[\begin{matrix} 1\qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5\\ 0\qquad 0 \qquad 7 \qquad 8 \qquad 0\\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad0 \qquad 0 \end{matrix}\right] 是什么矩阵?⎣⎡123450078000000⎦⎤是什么矩阵?

[570123012210008900081]是什么矩阵?\left[\begin{matrix} 5\qquad 7 \qquad 0 \qquad 12 \qquad 3\\ 0\qquad 1 \qquad 2 \qquad 2 \qquad 1\\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad8 \qquad 9 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad8 \qquad 1 \end{matrix}\right] 是什么矩阵?⎣⎢⎢⎡570123012210008900081⎦⎥⎥⎤是什么矩阵?

[10000−960001230052330]是什么矩阵?\left[\begin{matrix} 1\qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0\\-9\qquad 6 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0\\ 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad0 \qquad 0 \\ 5 \qquad 2 \qquad 3 \qquad3 \qquad 0 \end{matrix}\right] 是什么矩阵?⎣⎢⎢⎡10000−960001230052330⎦⎥⎥⎤是什么矩阵?

[100012000000]是什么矩阵?\left[\begin{matrix} 1\qquad 0 \qquad 0 \qquad 0\\ 1\qquad 2 \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad0 \end{matrix}\right] 是什么矩阵?⎣⎡100012000000⎦⎤是什么矩阵?

简单来说就是上梯形阵0元素的个数在增加, 下梯形阵0元素的个数在减少,对增加或减少的数量没有要求.

思考, 以下两个矩阵是否是梯形阵?

[10000506002340000000]\left[\begin{matrix} 1\qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0\\ 5\qquad 0 \qquad 6 \qquad 0 \qquad 0\\ 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad0 \qquad 0 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡10000506002340000000⎦⎥⎥⎤

[443211230010000]\left[\begin{matrix} 4\qquad 4 \qquad 3 \qquad 2 \qquad 1\\ 1\qquad 2 \qquad 3 \qquad 0 \qquad 0\\ 1 \qquad 0 \qquad 0 \qquad0 \qquad 0 \end{matrix}\right]⎣⎡443211230010000⎦⎤

矩阵的运算

矩阵的线性运算

相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵行列数相同,且对应元素相等.即:

A=(aij)m×n=B=(bij)m×n,对应元素相等aij=bijA=(a_{ij})_{m \times n} = B=(b_{ij})_{m \times n}, 对应元素相等a_{ij}=b_{ij}A=(aij)m×n=B=(bij)m×n,对应元素相等aij=bij

加,减法

矩阵的加,减法就是同型矩阵对应元素相加减.

A=(aij)m×n=B=(bij)m×n定义A=(a_{ij})_{m \times n} = B=(b_{ij})_{m \times n} 定义A=(aij)m×n=B=(bij)m×n定义

A+B=(aij+bij)m×nA−B=(aij−bij)m×nA + B= (a_{ij} +b_{ij})_{m \times n} \qquad A - B = (a_{ij} - b_{ij})_{m \times n}A+B=(aij+bij)m×nA−B=(aij−bij)m×n

运算规律:

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)A+O=A=O+A,A−A=OA +B = B +A, (A +B) +C = A +(B + C) \\ A + O = A = O + A, A - A = OA+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)A+O=A=O+A,A−A=O

负矩阵: A=(aij)m×n的负矩阵为(−aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}的负矩阵为(-a_{ij})_{m \times n}A=(aij)m×n的负矩阵为(−aij)m×n

数乘

矩阵与数的乘法,简称数乘, k与矩阵A的数乘,记做: kAkAkA

即每个元素和k做乘法.

运算规律:

k(A+B)=kA+kBk(lA)=(kl)A,(k+l)A=kA+lAk(A +B)= kA + kB \\k(lA)=(kl)A, (k + l)A=kA +lAk(A+B)=kA+kBk(lA)=(kl)A,(k+l)A=kA+lA

矩阵的乘法

观察下面两组方程

y1=a11x1+a12x2+a13x3y2=a21x1+a22x2+a23x3{y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x3 \\y_2= a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x3}y1=a11x1+a12x2+a13x3y2=a21x1+a22x2+a23x3

与

x1=b11t1+b12t2x2=b21t1+b22t2x3=b31t1+b32t2x_1 = b_{11}t_1 + b_{12}t2\\x_2 = b_{21}t1 + b_{22}t2\\x_3 = b_{31}t_1 + b_{32}t2x1=b11t1+b12t2x2=b21t1+b22t2x3=b31t1+b32t2

能得出:

y1=(a11b11+a12b21+a13b31)t1+(a11b12+a12b12+a13b32t2)y2=(a21b11+a22b21+a23b31)t1+(a21b12+a22b22+a23b32)t2y_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31})t_1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{12} + a_{13}b_{32}t_2)\\ y_2 = (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_1 + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32})t2y1=(a11b11+a12b21+a13b31)t1+(a11b12+a12b12+a13b32t2)y2=(a21b11+a22b21+a23b31)t1+(a21b12+a22b22+a23b32)t2

上面两个关于y1,y2y_1, y_2y1,y2的方程组可以看做是两个矩阵的乘积:

[a11a12a13a21a22a23][b11b12b21b22b31b32]=\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{12} \qquad a_{13} \\ a_{21}\qquad a_{22} \qquad a_{23} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} b_{11}\qquad b_{12} \\ b_{21}\qquad b_{22} \\b_{31} \qquad b_{32} \end{matrix}\right] =[a11a12a13a21a22a23]⎣⎡b11b12b21b22b31b32⎦⎤=

[a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32]\left[\begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} \qquad a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} \qquad a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{matrix}\right][a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32]

一般地, 有:

A=(aij)m×sB=(bij)s×nC=AB=(Cij)m×nA=(a_{ij})_{m\times s} \qquad B=(b_{ij})_{s \times n} \qquad C=AB=(C_{ij})_{m\times n}A=(aij)m×sB=(bij)s×nC=AB=(Cij)m×n

Cm×n=Am×sBs×nC_{m\times n} = A_{m\times s}B_{s\times n}Cm×n=Am×sBs×n

A 与B满足什么条件能够相乘?

A的列数要和B的行数相同.

例1:

A=[11−1−1]B=[1−1−11]A=\left[\begin{matrix} 1\qquad 1\\ -1\qquad -1 \end{matrix}\right] \qquad B= \left[\begin{matrix} 1\qquad -1\\ -1\qquad 1 \end{matrix}\right]A=[11−1−1]B=[1−1−11]

求 AB,BAAB, BAAB,BA

AB=[0000]BA=[22−2−2]AB= \left[\begin{matrix} 0\qquad 0\\ 0\qquad 0 \end{matrix}\right] \qquad BA=\left[\begin{matrix} 2\qquad 2\\ -2\qquad -2 \end{matrix}\right]AB=[0000]BA=[22−2−2]

显然 AB≠BAAB \neq BAAB=BA

矩阵乘法不满足交换律.

例2:

A=[24−3−6]B=[−142−1]C=[1011]A=\left[\begin{matrix} 2\qquad 4\\ -3\qquad -6 \end{matrix}\right] \qquad B= \left[\begin{matrix} -1\qquad 4\\ 2\qquad -1 \end{matrix}\right] \qquad C=\left[\begin{matrix} 1\qquad 0\\ 1\qquad 1 \end{matrix}\right]A=[24−3−6]B=[−142−1]C=[1011]

求AB,ACAB, ACAB,AC

AB=[64−9−6]AC=[64−9−6]AB=\left[\begin{matrix} 6\qquad 4\\ -9\qquad -6 \end{matrix}\right] \qquad AC=\left[\begin{matrix} 6\qquad 4\\ -9\qquad -6 \end{matrix}\right]AB=[64−9−6]AC=[64−9−6]

⇒AB=AC\Rightarrow AB=AC⇒AB=AC 但是 B≠CB \neq CB=C

总结: 矩阵乘法和实数乘法有一下三点不同:

矩阵乘法不满足交换律.
矩阵乘法不满足消去律.
矩阵乘法有非零的零因子.

矩阵乘法满足下面的规律:

(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CAA(B+C)=AB +AC\\(B+C)A = BA + CAA(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA
k(AB)=(kA)B=A(kB)k(AB)=(kA)B=A(kB)k(AB)=(kA)B=A(kB)
EmAm×n=A=Am×nEnE_mA_{m \times n} =A = A_{m\times n}E_nEmAm×n=A=Am×nEn

练习: a1...an≠0,对角阵A=[a1⋱an],B=[1a1⋱1an]a_1...a_n \neq0, 对角阵A=\left[\begin{matrix} a_1 \qquad\\ \quad \qquad \ddots \qquad \\ \qquad \qquad a_n \end{matrix}\right],B= \left[\begin{matrix} \frac{1}{a_1} \qquad\\ \quad \qquad \ddots \qquad \\ \qquad \qquad \frac{1}{a_n} \end{matrix}\right]a1...an=0,对角阵A=⎣⎡a1⋱an⎦⎤,B=⎣⎡a11⋱an1⎦⎤

AB=?EnE_nEn

方阵的正整数幂

Ak=AA⋯AA^k = AA\cdots AAk=AA⋯A

规定A0=EA^0=EA0=E(和实数里面规定任何数的0次方等于1一样的意思)

Ak+l=AkAlA^{k+l} = A^kA^lAk+l=AkAl

注意: (AB)k≠AkBk(AB)^k \neq A^kB^k(AB)k=AkBk, 请思考为什么.

矩阵的转置

就是把矩阵的行变成列, 列变成行.

A=[a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn]A=\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{12} \qquad \ldots \qquad a_{1n}\\ a_{21}\qquad a_{22} \qquad \ldots \qquad a_{2n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\\ a_{m1} \qquad a_{m2} \qquad \ldots \qquad a_{mn}\end{matrix}\right]A=⎣⎢⎢⎡a11a12…a1na21a22…a2n⋯⋯⋯⋯am1am2…amn⎦⎥⎥⎤

AT=[a11a21…am1a12a22…am2⋯⋯⋯⋯a1na2n…amn]A^T=\left[\begin{matrix} a_{11}\qquad a_{21} \qquad \ldots \qquad a_{m1}\\ a_{12}\qquad a_{22} \qquad \ldots \qquad a_{m2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\\ a_{1n} \qquad a_{2n} \qquad \ldots \qquad a_{mn}\end{matrix}\right]AT=⎣⎢⎢⎡a11a21…am1a12a22…am2⋯⋯⋯⋯a1na2n…amn⎦⎥⎥⎤

思考, 对角阵的转置是什么?

转置的运算规律

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT(A^T)^T=A\\(A+B)^T=A^T+B^T\\(kA)^T=kA^T(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

思考, (AB)T=?(AB)^T=?(AB)T=?

答案: (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT, 请记住并证明这个结论.

这个公式可以推广: (ABC)T=CTBTAT(ABC)^T= C^TB^TA^T(ABC)T=CTBTAT

对称阵和反对称阵

如果一个矩阵, 它的转置和它本身相等, 我们就把这个矩阵叫做对称阵.

对称阵:AT=A,aij=aji对称阵: A^T=A, a_{ij}=a_{ji}对称阵:AT=A,aij=aji

反对称阵:AT=−A,aij=−aji且,aii=0反对称阵: A^T=-A, a_{ij}=-a_{ji}且,a_{ii}= 0反对称阵:AT=−A,aij=−aji且,aii=0

对称阵和反对称阵都是方阵.请思考为什么?

AAT,ATA,A+ATAA^T, A^TA, A+A^TAAT,ATA,A+AT这些矩阵都是对称阵,思考为什么?

A−ATA - A^TA−AT是反对称阵.

请证明AAT是对称阵AA^T是对称阵AAT是对称阵.

请证明A−ATA - A^TA−AT是反对称阵.

显然: A=A+AT2+A−AT2A=\frac{A+A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}A=2A+AT+2A−AT

任何方阵都可以分解为对称阵和反对称阵的和.

矩阵的初等变换

以下三种变换分别称为矩阵的第一, 第二, 第三种初等变换:

对换矩阵中的第i,ji,ji,j两行(列)的位置, 记做rij(cij)或r_{ij}(c_{ij})或rij(cij)或ri<−>rj(ci<−>cj)r_i <->r_j (c_i <-> c_j)ri<−>rj(ci<−>cj)
用非零常数k乘第iii行(列), 记做kri(kci)kr_i(kc_i)kri(kci)
用矩阵的第jjj行(列)乘以常数kkk后加到第iii行(列)对应元素上去, 记做ri+krj(ci+kcj)r_i + kr_j(c_i + kc_j)ri+krj(ci+kcj)

矩阵初等变换是线性代数中非常重要的一个工具.对应求解方程组中使用的消元法.

初等变换可以简化矩阵, 比如可以将矩阵转化为梯形阵.

比如: A=[2−382212−2121314]A=\left[\begin{matrix} 2 \qquad -3 \qquad 8 \qquad 2\\ 2 \qquad 12 \qquad -2 \qquad 12 \\1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4 \end{matrix}\right]A=⎣⎡2−382212−2121314⎦⎤

对A做初等变换, 第一行和第三行互换即r1<−>r3r_1<->r_3r1<−>r3,然后第一行乘-2,分别和第二行和第三行相加,即

r2−2r1,r3−2r1r_2-2r_1, r_3-2r_1r2−2r1,r3−2r1

A=[2−382212−2121314]−>[1314212−2122−382]−>[131406−440−96−6]−>[131403−220−32−2]A=\left[\begin{matrix} 2 \qquad -3 \qquad 8 \qquad 2\\ 2 \qquad 12 \qquad -2 \qquad 12 \\1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4 \end{matrix}\right] -> \left[\begin{matrix} 1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4\\ 2 \qquad 12 \qquad -2 \qquad 12 \\2 \qquad -3 \qquad 8 \qquad 2 \end{matrix}\right] -> \left[\begin{matrix} 1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4\\ 0 \qquad 6 \qquad -4 \qquad 4 \\0 \qquad -9 \qquad6 \qquad -6 \end{matrix}\right] -> \left[\begin{matrix}1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4\\ 0 \qquad 3 \qquad -2 \qquad 2 \\0 \qquad -3 \qquad2 \qquad -2\end{matrix}\right]A=⎣⎡2−382212−2121314⎦⎤−>⎣⎡1314212−2122−382⎦⎤−>⎣⎡131406−440−96−6⎦⎤−>⎣⎡131403−220−32−2⎦⎤

−>[131403−220000]-> \left[\begin{matrix}1 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4\\ 0 \qquad 3 \qquad -2 \qquad 2 \\0 \qquad 0 \qquad0 \qquad 0\end{matrix}\right]−>⎣⎡131403−220000⎦⎤

注意: 利用初等变换讲A化为B, A与B之间用记号−>,或者≅->,或者\cong−>,或者≅连接

练习: 用初等变换将一下矩阵化为梯形阵.

A=[102020−103]B=[12−234−33123−119]A=\left[\begin{matrix}1 \qquad 0 \qquad 2\\ 0 \qquad 2 \qquad 0 \\-1 \qquad 0 \qquad3 \end{matrix}\right] \qquad B=\left[\begin{matrix}1 \qquad 2 \qquad -2 \qquad 3\\4 \qquad -3 \qquad 3 \qquad 12 \\3 \qquad -1 \qquad1 \qquad 9\end{matrix}\right]A=⎣⎡102020−103⎦⎤B=⎣⎡12−234−33123−119⎦⎤

A=[1−21002−88−459−9]B=[3−452−313−5−1]C=[01−482−3215−871]A=\left[\begin{matrix}1 \qquad -2 \qquad 1 \qquad 0\\ 0 \qquad 2 \qquad -8 \qquad 8 \\-4 \qquad 5 \qquad9 \qquad -9 \end{matrix}\right] \qquad B=\left[\begin{matrix}3 \qquad -4 \qquad 5\\ 2 \qquad -3 \qquad 1 \\3 \qquad -5 \qquad -1 \end{matrix}\right] \qquad C=\left[\begin{matrix}0 \qquad 1 \qquad -4 \qquad 8\\ 2 \qquad -3 \qquad 2 \qquad 1 \\5 \qquad -8 \qquad7 \qquad 1\end{matrix}\right] A=⎣⎡1−21002−88−459−9⎦⎤B=⎣⎡3−452−313−5−1⎦⎤C=⎣⎡01−482−3215−871⎦⎤

矩阵的等价

对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B, 则称矩阵A与B等价, 记做A≅BA\cong BA≅B或A→BA \rightarrow BA→B

等价的矩阵具有自反性, 对称性和传递性.即:

A≅A;A≅B⇒B≅A;A≅B,B≅C⇒A≅CA \cong A; \qquad A \cong B \Rightarrow B \cong A; \qquad A \cong B, B \cong C \Rightarrow A \cong CA≅A;A≅B⇒B≅A;A≅B,B≅C⇒A≅C

A≅[10⋯00⋯001⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋯⋮00⋯10⋯000⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋯⋮00⋯00⋯0](A的等价标准型)A \cong \left[\begin{matrix} 1\qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0 \qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0\\ 0\qquad 1 \qquad \cdots \qquad 0 \qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0\\ \vdots \qquad \vdots \qquad \ddots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \cdots \qquad \vdots \\ 0\qquad 0 \qquad \cdots \qquad 1 \qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0\\0\qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0 \qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0 \\ \vdots \qquad \vdots \qquad \ddots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \cdots \qquad \vdots \\0\qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0 \qquad 0 \qquad \cdots \qquad 0 \end{matrix}\right](A的等价标准型)A≅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋯00⋯001⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋯⋮00⋯10⋯000⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋯⋮00⋯00⋯0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(A的等价标准型)

定理: 任何一个矩阵都有等价标准型

练习: 把上面的矩阵通过初等变换转化为它们的等价标准型.

思考: 等价标准型中1的个数和什么因素有关.

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