微积分演绎（一）海底沉尸事件

故事得从一桩谋杀案开始说起……

上古时代，古希腊大名鼎鼎的中二男子——毕达哥拉斯

成立了一个颇有中二气息的社团“毕达哥拉斯学派”

既然是个中二的学派，自然也少不了一些中二的规则。毕达哥拉斯学派狂热的崇拜着数字，认为“万物皆数”。我们不讨论这个观点具体着么解释，谁能理解一群深度中二患者的精神世界？总之我们只需要知道，“数字”对毕达哥拉斯学派很重要，他们认为宇宙的一切都是数。

在学派中，数字的定义也是很简洁的，他们认为所有的数字，都可以用两个没有公约数的整数比来表示。我们用两个字母p和q来表示分式的两个整数：

毕达哥拉斯学派认为这些就是宇宙中所有的数了。至少在那个事件发生前，一切都很完美：一个公式+万物皆数，构建起了一个和谐的宇宙。

但是看惯了人类发展史的我，总感到事情并不简单。事实上后面事情的发展影响之深远，甚至被称之为第一次数学危机。但是这个威胁到已经构建起来的和谐宇宙的问题还是起源于毕达哥拉斯学派的一项了不起的成就——毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯定理，我们也称之为勾股定理。虽然我们在周朝时就提出了“勾三股四弦五”，但是毕达哥拉斯学派首先证明了直角三角形三边可用如下公式表示：

后世对毕达哥拉斯定理的证明多达三百多种，可见这样一个伟大发现多么让人痴迷，而且这个公式和今后耗费掉无数天才脑细胞的费马大定理又是紧密相连的。

这绝对是个重大发现，这群中二们狂热的去计算直角三角形的“三元组”。而这群狂热者中出现了也许是数学史上第一个“杠精”。学派中有一个叫希帕索斯的耿直boy。

此君中二之深不亚于他们的学派掌门人，当他触及这样一个深入灵魂的定理时就迫不及待地开始计算起来。也许他在计算的时候，正好对着正方形思索，亦或是正方形具有更神秘的含义，更或者是两条直角边相等计算起来更简单，总之希帕索斯便开始计算等边直角三角形的斜边。那么根据上面公式，我们可以假设此直角三角形两条直角边均为1，那么根据毕达哥拉斯定理得出斜边就是 $\sqrt{2}$

以上得出的这个结论很普通，在希帕索斯看来并不会因为2带上了一个根号就会有多特别，毕竟带根号的数多了去了，比如 $\sqrt{9}$ ，计算下来就是 $\pm 3$ 。总之都不会出现动摇 p/q 这样一个宇宙真理的存在。所以很自然的，希帕索斯做了一项很剁手的工作，企图证明 $\sqrt{2}$ 的 p/q。然后他忽然发现这个数根本不可能用两个整数比来表示。

让我们来看一下，为何 $\sqrt{2}$ 无法用两个整数比来表示。站在希帕索斯的角度来看这是成立的。这里 q 和 p 没有公约数，于是

以上仅仅是一系列初等变换，但是就是从这一步开始，出现了始料未及的情况。根据上面最后一步，我们可以了解到 $p^{^{2}}$ 是个偶数。由于奇数的平方还是奇数，所以 p 这个整数必定是偶数。那么

得到这个等式以后，我们发现问题了，妥妥的和一样呀！那么是不是意味着q也是个偶数呢？计算开头我们就说明啦，p 和 q 是没有公约数的，但是现在p和q都是偶数，这样说明两个至少存在一个公约数2。

这样一个矛盾的情况说明了 $\sqrt{2}$ 根本不存在有两个整数比的表示，对于希帕索斯来说这是个伟大的发现，他沉浸在这个发现“新大陆”的喜悦中，却不觉这个发现已经动摇了学派的最重要的信念。他迫不及待的和毕达哥拉斯分享了他的发现，但是对于他的这位精神导师来说，维护学派的最根本世界观才是最重要的。于是毕达哥拉斯要求希帕索斯闭上嘴，绝对不能将这个发现公之于众。

希帕索斯内心肯定是不甘的，非得要对学派杠一杠。于是他毫不犹豫的就把这个成果宣扬了出去。对于这样的行为学派很愤怒，他们认定希帕索斯“背叛”了学派，于是希帕索斯就这样被神秘的消失在了海里。

虽然希帕索斯“消失”了，但是他的发现使得学派所建立起来的宇宙产生了根本动摇。 $\sqrt{2}$ 敲破了这个美丽的迷梦，人类不得不构建新的秩序，于是近代数学缓缓拉开了序幕。

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