阅读之前的一篇博客 “线性静态问题的网格剖分注意事项”，我们发现，有限元模型的解将能在网格细化的限度内收敛至真实解。不仅如此，我们还了解到，在误差较高的区域，可以通过自适应网格细化生成包含更小单元的网格，而不是简单地在整个模型内都使用较小的网格单元。在这篇博客中，我们将讨论有限元建模过程中一些常见的由模型奇异性造成的错误。

结构力学示例

让我们来分析在单轴应力作用下一个含方孔平板的受力情况。这与之前讲解过的一个示例较为类似，都是利用平板的对称性而只对其中的四分之一进行受力分析。

与之前一样，我们可以通过自适应网格细化让 COMSOL 在预计误差较大的区域内插入更多的单元：

我们观察后发现，插入到锐孔内拐角的网格单元越来越小。让我们以网格尺寸函数的形式绘制出内拐角处的应力图：

从上图中可以看出，不论网格细化到什么程度，应力值一直呈递增趋势。事实也是如此：因为模型中存在 奇异性，所以尖角处的应力值不随网格细化程度而收敛 。实际上这是完全准确的：尖角处的应力在理论上趋于无穷。每次您看到此类不收敛的行为表现时，就应当联想到模型中存在奇异性。

在实际的结构工程中，应极力避免产生尖锐的内角。当然您完全有理由说，可以把存在奇异性的尖角磨平来防止此类问题出现；这样，我们不难预测到模型中的应力将会随网格细化而收敛，但是在内角处仍需要插入大量的单元。所以接下来将介绍其他几种处理奇异性的方法。

将模型当作整体来研究

处理奇异性的一种方式就是忽略它们。有限元方法的一个重要特征就是它允许局部存在不准确，因为其出发点就是为了最小化模型中的整体误差。我们在上述模型中预估的应力值并不正确，但如果在离奇异性产生点约 2～3 个网格单元处求应力，那么结果将会收敛。因此，如果我们考虑远离奇异性产生处的应力将不会受奇异性影响。

对解求导

同样不可忽略的是，奇异性会对解的求导产生影响。在结构力学中，我们需求解位移场 \bf{u} ，进而从应变 \bf{\sigma =C : \epsilon} 推导应力，其中应变由位移场的变化率 \epsilon = 1/2 \bf{ [ (\nabla u)^T + \nabla u] } 定义。所以当把应力作为位移场的变化率来考虑时，就更清楚地解释了为什么在尖角处的应力趋向于无穷。然而，如果只考虑解 \bf{u} ，那么即便在尖角处也不会产生奇异性，结果将随网格细化而收敛。

在奇异性产生处求积分

另一个常见的允许奇异性存在的情况是，您仅对模型输出的积分值感兴趣。例如一个线性材料的总弹性势能可表示为：

U=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\sigma:\epsilon d\Omega

如果在一个包含奇异性的域内对其求值，例如带有方孔的平板，那么积分会随网格细化迅速收敛，即便被积函数在域内任意一点不收敛。如果您希望得到模型内一个域(或边界)处的被积函数，那么您的模型中可以存在奇异性。无论是尖角还是圆角，积分值最终都会收敛至相同的值。这种情形常见于电磁学，此时设备的电感和电容分别被表示为域内电场和磁场的积分形式。

关于网格剖分和模型中奇异性的总结

总的来说有三类情形允许在模型中存在奇异性：

当您不需要奇异点处的解，而是在离奇异点一定距离处求解；

当您不需要在在奇异点处解求导；

当您在奇异点周围的域(范围)或边界内求积分值，包括对解的导数进行积分。

在上述几种情况中，您可以通过网格细化观察解的收敛。对于模型中其他不收敛的地方也应仔细观察，以保证您对结果的解读不会产生偏差。

最后，仍然有一些情况需要 精确求出奇异点附近的场，但是模型可能很大，我们无法为所有的边应用圆角。在这些情形下，我们可以使用 子模型法，或拆 拆分模型法。在可能存在奇异性的大型模型中，这种方法会首先使用相对粗化的网格来找出解，然后将信息传递给包含更细化网格和更圆滑拐角的子模型。轮毂的子模型示例演示了该方法的使用。