快速沃尔什变换（FWT）介绍

众所周知，FFT可以有效地解决如下的问题
A=(a1,…,an)B=(b1,...,bn)C=(c1,...,cn)ck=∑i+j=kai∗bjA=(a_1,\dots,a_n)\\ B=(b_1,...,b_n)\\ C=(c_1,...,c_n)\\ c_k=\sum_{i+j=k}a_i*b_j\\ A=(a1,…,an)B=(b1,...,bn)C=(c1,...,cn)ck=i+j=k∑ai∗bj
但事实上，把求和号里的条件里的“+”换成与、或、异或、同或也可以有O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)时间复杂度的计算方法，这就是快速沃尔什变换（FWT）

鉴于与和或、异或和同或的处理方式比较相似，因此这里就重点分析或、异或这两种情况，另外两种只给结论

注：这里假设序列长度都是2k2^k2k（事实上必须补成这个样子）

或卷积

对于卷积来说，我们肯定希望最后变成元素积来进行运算，那么能够进行元素积的这个状态就是我们的目标，在FFT中这个目标状态是插值，而在或卷积中，我们要的目标状态是这样的
FWTor(A)[i]=∑i∣j=iaj(∗)FWT_{or}(A)[i]=\sum_{i|j=i}a_j\ \ (*) FWTor(A)[i]=i∣j=i∑aj (∗)
事实上就是对于i来说FWTor(A)[i]FWT_{or}(A)[i]FWTor(A)[i]就是i的子集的对应位置的和（请记住这一点）

很容易看出
FWTor(C)[i]=FWTor(A)[i]∗FWTor(B)[i]FWT_{or}(C)[i]=FWT_{or}(A)[i]*FWT_{or}(B)[i] FWTor(C)[i]=FWTor(A)[i]∗FWTor(B)[i]
（这里事实上没有证明这个C就是我们想要的C，但是这对我们目前的学习影响不太）

接下来就是如何去求FWTor(A)FWT_{or}(A)FWTor(A)了

先给一个结论
FWTor(A+B)=FWTor(A)+FWTor(B)FWT_{or}(A+B)=FWT_{or}(A)+FWT_{or}(B) FWTor(A+B)=FWTor(A)+FWTor(B)
这里的“+”是对应的元素相加

我们把A分成两半，记A0（前一半）和A1（后一半）然后我们有
FWTor(A)=(FWTor(A0),FWTor(A0+A1))FWT_{or}(A)=(FWT_{or}(A0),FWT_{or}(A0+A1)) FWTor(A)=(FWTor(A0),FWTor(A0+A1))
简单地解释一下，FWTor(A1)FWT_{or}(A1)FWTor(A1)无法对FWTor(A)FWT_{or}(A)FWTor(A)的前半部分造成影响，因为A1部分的下标肯定不是A0部分下标的子集，(*)式中j的最高位只能为0

而对于FWTor(A)FWT_{or}(A)FWTor(A)的后半部分，最高位为1，也就是说，(*)式中j的最高位可以取0或1，也就是后半部分要把FWTor(A1)FWT_{or}(A1)FWTor(A1)和FWTor(A0)FWT_{or}(A0)FWTor(A0)合并起来

（不知道有没有讲清楚，如果没有的话，建议多理解一下(*)式）

当然，逆变换也非常显然，就只用把高位加的FWTor(A0)FWT_{or}(A0)FWTor(A0)减掉就好了
UFWTor(B)=(UFWTor(B0),UFWTor(B0−B1))UFWT_{or}(B)=(UFWT_{or}(B0),UFWT_{or}(B0-B1)) UFWTor(B)=(UFWTor(B0),UFWTor(B0−B1))

与卷积

这里就只给三个公式，用或卷积里的替换一下就好了

(*)式：
FWTand(A)[i]=∑i&j=iaj(∗)FWT_{and}(A)[i]=\sum_{i\&j=i}a_j\ \ (*) FWTand(A)[i]=i&j=i∑aj (∗)
变换：
FWTand(A)=(FWTand(A0+A1),FWTand(A0))FWT_{and}(A)=(FWT_{and}(A0+A1),FWT_{and}(A0)) FWTand(A)=(FWTand(A0+A1),FWTand(A0))
逆变换：
UFWTand(B)=(UFWTand(B0−B1),UFWTand(B0))UFWT_{and}(B)=(UFWT_{and}(B0-B1),UFWT_{and}(B0)) UFWTand(B)=(UFWTand(B0−B1),UFWTand(B0))

异或卷积

异或卷积的目标状态比较复杂
FWTxor(A)[i]=∑cnt1(i&j)为偶数aj−∑cnt1(i&j)为奇数aj(∗)FWT_{xor}(A)[i]=\sum_{cnt1(i\&j)为偶数}a_j-\sum_{cnt1(i\&j)为奇数}a_j\ \ (*) FWTxor(A)[i]=cnt1(i&j)为偶数∑aj−cnt1(i&j)为奇数∑aj (∗)

cnt1()cnt1()cnt1()指二进制下1的个数

FWTxor(C)[i]=FWTxor(A)[i]∗FWTxor(B)[i]FWT_{xor}(C)[i]=FWT_{xor}(A)[i]*FWT_{xor}(B)[i] FWTxor(C)[i]=FWTxor(A)[i]∗FWTxor(B)[i]

上式乘积的正确性证明就让大家自己证啦（太长了Latex写不动）

变换的公式：
FWTxor(A)=(FWTxor(A0+A1),FWTxor(A0−A1))FWT_{xor}(A)=(FWT_{xor}(A0+A1),FWT_{xor}(A0-A1)) FWTxor(A)=(FWTxor(A0+A1),FWTxor(A0−A1))
理解：

对于前半部分来说，最高位补0对于FWTxor(A0),FWTxor(A1)FWT_{xor}(A0),FWT_{xor}(A1)FWTxor(A0),FWTxor(A1)来说不会影响(*)式中cnt1(i&j)cnt1(i\&j)cnt1(i&j)的奇偶性，所以可以直接相加作为前半部分的结果

对于后半部分来说FWTxor(A0)FWT_{xor}(A0)FWTxor(A0)最高位补1仍然不影响(*)式中cnt1(i&j)cnt1(i\&j)cnt1(i&j)的奇偶性（1&0还是0嘛），而FWTxor(A1)FWT_{xor}(A1)FWTxor(A1)的最高位补1会引入一个新的1，这会导致奇偶性翻转，所以后半部分就成了FWTxor(A0−A1)FWT_{xor}(A0-A1)FWTxor(A0−A1)

然后对于逆变换来说就是解个方程就得到了
UFWTxor(B)=(UFWTor(B0+B1)/2,UFWTor(B0−B1)/2)UFWT_{xor}(B)=(UFWT_{or}(B0+B1)/2,UFWT_{or}(B0-B1)/2) UFWTxor(B)=(UFWTor(B0+B1)/2,UFWTor(B0−B1)/2)

同或卷积

照着异或卷积魔改一下就好了（cnt1改成cnt0，&改成|之类的）