codeforce1673C. Palindrome Basis

传送门：今天不学习，明天变辣鸡

简述一下题意：给出一个n，求有多少回文数相加的方式等于n。
其中4 = 1+2+1 和 4 = 2+1+1为一种相加方式，要求方式间至少要有一个数字不同，才能叫做不同方式。

首先，n<4e4的，而且还是仅考虑范围中的回文数，所以实际的数据量是很小的，不会超过1e3，所以写个最暴力的dp也才4e7的计算量，给2s的时间绝对够了。

怎么判断回文数见代码实现。

然后就是如何设计递推公式和dp数组了。~~这个我也没想出来，直接看的tutorial。~~
记dp[k][m]表示前m个回文数相加为k的方式数。这里m虽然限定范围在前m个，但是并不是m个数字都要使用。
递推公式：其中p_m为第m个回文数。

d p [ k ] [ m ] = d p [ k ] [ m − 1 ] + d p [ k − p m ] [ m ] dp[k][m] = dp[k][m-1] + dp[k-p_m][m] dp[k][m]=dp[k][m−1]+dp[k−pm][m]

前m个回文数构成k，可由两个状态推导，前m-1个数组成k的方式数+前m个回文数组成k-p_m的方式数。不难看出，组成k的加数是有序的，所以不会出现重复的情况，也就是说只会有5=1+2+2,而不会出现5=2+1+2这种情况。
此外注意到递推式的最后一项，为什么是 d p [ k − p m ] [ m ] dp[k-p_m][m] dp[k−pm][m]而不是 d p [ k − p m ] [ m − 1 ] dp[k-p_m][m-1] dp[k−pm][m−1]呢？首先，题目中没有规定回文数只能使用一次，是可以多次使用的。如果换成 d p [ k − p m ] [ m − 1 ] dp[k-p_m][m-1] dp[k−pm][m−1],则表示加上p_m后，从前m-1个回文数增加到前m个；忽略了加p_m后，仍然是前m个不变的情况。

至于二层循环的执行顺序，只要保证dp[i][j]计算前，依赖项被完全计算即可。

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define Pair pair<int,int>
#define re return#define getLen(name,index) name[index].size()
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Make(a,b) make_pair(a,b)
#define Push(num) push_back(num)
#define rep(index,star,finish) for(register int index=star;index<finish;index++)
#define drep(index,finish,star) for(register int index=finish;index>=star;index--)
using namespace std;template<class T> void _deb(const char *name,T val){cout<<name<<val<<endl;
}
const int MAXN = 4e4+2;
const ll MOD = 1e9+7;int  t,n;
ll dp[MAXN][500];
vector<int> palindromes;bool isPalindrome(int n);
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);// find all palindrome at range less than MAXNrep(i,1,MAXN)if(isPalindrome(i)){palindromes.push_back(i);}rep(i,0,MAXN) {dp[i][1] = 1;dp[0][i] = 1;}int len = palindromes.size();rep(i,1,len) {int ind = i+1; // pos in dpint num = palindromes[i];rep(j,1,MAXN){dp[j][ind] = (dp[j][ind-1] + ((j-num>=0)? dp[j-num][ind]:0)) % MOD;}}scanf("%d",&t);while(t--) {scanf("%d",&n);printf("%d\n", dp[n][len]);}re 0;
}
bool isPalindrome(int n) {int s = n;int _reverse = 0;while(s){_reverse = _reverse*10 + (s%10);s = s / 10;}return n==_reverse;
}

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