P3825 [NOI2017]游戏

题目描述

小 L 计划进行n场游戏，每场游戏使用一张地图，小 L 会选择一辆车在该地图上完成游戏。

小 L 的赛车有三辆，分别用大写字母A、B、C表示。地图一共有四种，分别用小写字母x、a、b、c表示。其中，赛车A不适合在地图a上使用，赛车B不适合在地图b上使用，赛车C不适合在地图c上使用，而地图x则适合所有赛车参加。适合所有赛车参加的地图并不多见，最多只会有d张。

n场游戏的地图可以用一个小写字母组成的字符串描述。例如：S=xaabxcbc 表示小 L 计划进行8场游戏，其中第1场和第5场的地图类型是x，适合所有赛车，第2场和第3场的地图是a，不适合赛车A，第44场和第77场的地图是b，不适合赛车B，第6场和第88场的地图是c，不适合赛车C。

小 L 对游戏有一些特殊的要求，这些要求可以用四元组 $(i,h_i, j, h_j)$ 来描述，表示若在第ii场使用型号为 $h_i$ 的车子，则第j场游戏要使用型号为 $h_j$ 的车子。

你能帮小 L 选择每场游戏使用的赛车吗？如果有多种方案，输出任意一种方案。如果无解，输出 “-1’’（不含双引号）。

输入格式

输入第一行包含两个非负整数n, d。

输入第二行为一个字符串S。n, d, S的含义见题目描述，其中S包含n个字符，且其中恰好d个为小写字母x。

输入第三行为一个正整数m，表示有m条用车规则。接下来m行，每行包含一个四元组 $(i,h_i, j, h_j)$ ，其中i, j为整数， $h_i$ , $h_j$ 为字符a、b或c，含义见题目描述。

输出格式

输出一行。

若无解输出 “-1’’（不含双引号）。

若有解，则包含一个长度为n的仅包含大写字母A、B、C的字符串，表示小 L 在这n场游戏中如何安排赛车的使用。如果存在多组解，输出其中任意一组即可。

数据范围

$n\leqslant 50000,m\leqslant 100000,d\leqslant 8$

Solution

感觉2-SAT的题都比较显然吧，只要是每组二选一的大多都可以2-SAT。

先从整体观察此题。题意是给每个位置从ABC三种字母中选择一个填入，某些位置只有两个选项，某些位置有三个选项（出现次数不多于8次），并给出m个条件，每个条件要求x位置为p字符，则y位置为q字符，给出任意方案。

我们发现当所有位置只有两种选项时，就是一道基础的2-SAT题了。

设刚开始给的关于赛道条件的字符串为st，把不选择 $x$ 表示为选择 $x^{-1}$ 。

对于一个条件

若st[x]=p,那么不会产生任何影响
若st[x]!=p,且st[y]=q,那么我们倘若选择了p,则y位置为q,必然不合法,所以我们连一条 $x->x^{-1}$ 的边。
若st[x]!=p,且st[y]!=q,那么我们选择了p,相当于选择了q,所以连 $x->y$ 的边和 $y^{-1}->x$ 的边。

直接tarjan，输出方案即可。（不会输出方案可以看 P4782 【模板】2-SAT 问题的题解）

而现在某些位置有三个选项，但出现次数少于8，所以我们直接暴力枚举这些位置选择A还是B，每一次都做一遍上述的2-SAT过程即可。（感觉这题出在NOI2017简直送分）

时间复杂度为O(怎么样都能过)。

空间复杂度为O(怎么开都可以)。

Code（这个编辑器怎么把我的缩进安排了啊）：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+50;
const char C[3][2]={{'B','C'},{'A','C'},{'A','B'}};
const int c[3][2]={{1,2},{0,2},{0,1}};  //用这两个数组可以方便地判断谁是这个位置的第一种方式char st[MAXN];
bool ins[MAXN];
int DFN,colornum,n,m,d;
int dfn[MAXN],low[MAXN],color[MAXN];
int flag[MAXN],id[MAXN],chx[MAXN],chy[MAXN],X[MAXN],Y[MAXN];
vector<int> e[MAXN];
stack<int> stacks;
void add_edge(int u,int v)
{ e[u].push_back(v); //cout<<u<<" "<<v<<endl;
}
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
inline char get_ch()
{char c=getchar();while (c<'A'||c>'Z') c=getchar();return c;
}
void tarjan_init()
{DFN=0; colornum=0;memset(dfn,0,sizeof dfn);memset(low,0,sizeof low);memset(color,0,sizeof color);
}
void tarjan(int x)
{stacks.push(x);ins[x]=1;low[x]=dfn[x]=++DFN;for (int i=0;i<e[x].size();i++){int to=e[x][i];if (!dfn[to]){tarjan(to);low[x]=min(low[x],low[to]);}else if (ins[to]) low[x]=min(low[x],dfn[to]);}if (low[x]==dfn[x]){color[x]=++colornum;ins[x]=0;while (stacks.top()!=x){ins[stacks.top()]=0;color[stacks.top()]=colornum;stacks.pop();}stacks.pop();}
}
void make_graph()                                         //分类讨论，构图
{for (int j=1;j<=n*2;j++) e[j].clear();for (int j=1;j<=m;j++) {//cout<<j<<":"<<endl;if (flag[X[j]]==chx[j]) continue;                        if (flag[Y[j]]==chy[j])                         {if (chx[j]==c[flag[X[j]]][0]) add_edge(X[j],X[j]+n);else add_edge(X[j]+n,X[j]);//add_edge(X[j]+n,X[j]);add_edge(X[j],X[j]+n);}else {if (chx[j]==c[flag[X[j]]][0]) {if (chy[j]==c[flag[Y[j]]][0]) add_edge(X[j],Y[j]),add_edge(Y[j]+n,X[j]+n);else add_edge(X[j],Y[j]+n),add_edge(Y[j],X[j]+n);}else {if (chy[j]==c[flag[Y[j]]][0]) add_edge(X[j]+n,Y[j]),add_edge(Y[j]+n,X[j]); else add_edge(X[j]+n,Y[j]+n),add_edge(Y[j],X[j]);}}}
}
bool check()                              //判断是否无解
{for (int j=1;j<=n;j++) if (color[j]==color[j+n]) return 0;return 1;
}
int main()
{n=read(),d=read();scanf("%s",st+1);int xnum=0;for (int i=1;i<=n;i++){if (st[i]=='x') id[++xnum]=i;else flag[i]=st[i]-'a';}m=read();for (int i=1;i<=m;i++){X[i]=read(); chx[i]=get_ch()-'A'; Y[i]=read(); chy[i]=get_ch()-'A';}for (int i=0;i<(1<<d);i++){for (int j=0;j<d;j++) flag[id[j+1]]=((i>>j)&1);make_graph();tarjan_init();for (int j=1;j<=(n<<1);j++)  if (!dfn[j]) tarjan(j);//cout<<endl; for (int j=1;j<=(n<<1);j++) cout<<j<<" "<<dfn[j]<<" "<<low[j]<<" "<<color[j]<<endl;if (!check()) continue;for (int j=1;j<=n;j++) putchar((color[j]<color[j+n])?C[flag[j]][0]:C[flag[j]][1]);                        //输出方案return 0;  }puts("-1");return 0;}
/*
3 3
axb
5
1 A 3 B
1 B 2 A
1 C 2 C
2 A 3 B
2 B 3 B
*/