正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/893

题目大意

给出一张nnn个点mmm条边的无向联通图，每条边正反向各有A,B,CA,B,CA,B,C三种边权。
保证满足
Ax,y=−Ay,x,Bx,y=By,x,Cx,y=−Cy,xA_{x,y}=-A_{y,x}\ ,\ B_{x,y}=B_{y,x}\ ,\ C_{x,y}=-C_{y,x}Ax,y=−Ay,x , Bx,y=By,x , Cx,y=−Cy,x
∑x−>yCx,y=0\sum_{x->y}C_{x,y}=0x−>y∑Cx,y=0
且对于每个环[v1,v2...vn](v1=vn)[v_1,v_2...v_n](v_1=v_n)[v1,v2...vn](v1=vn)
∑i=1n−1Cvi,vi+1×Bvi,vi+1=∑i=1n−1Avi,vi+1\sum_{i=1}^{n-1}C_{v_i,v_{i+1}}\times B_{v_i,v_{i+1}}=\sum_{i=1}^{n-1}A_{v_i,v_{i+1}}i=1∑n−1Cvi,vi+1×Bvi,vi+1=i=1∑n−1Avi,vi+1

现在给你A,BA,BA,B边权，求CCC边权。

数据保证解唯一，所有限制都在模PPP意义下

n∈[1,100],m∈[1,2000],P∈[1,1018]∪Prin\in[1,100],m\in[1,2000],P\in[1,10^{18}]\cup Prin∈[1,100],m∈[1,2000],P∈[1,1018]∪Pri

解题思路

最后一个环的限制很麻烦，因为环很多。

先考虑原图的任意一颗生成树TTT上，对于任意一条非树边(u,v)(u,v)(u,v)可以表示一个u−>v−>uu->v->uu−>v−>u的环。并且因为反过来走边权为负，所以你可以通过用一些小环相互抵消出一个大环。

结论就是所有的环都可以被一些用非树边表示的环相互抵消表示。所以我们就可以将环的数量减少到O(m)O(m)O(m)级别了。

暴力消元O(m3)O(m^3)O(m3)显然无法通过本题，我们还需要优化。

设Dx,y=Bx,y×Cx,y−Ax,yD_{x,y}=B_{x,y}\times C_{x,y}-A_{x,y}Dx,y=Bx,y×Cx,y−Ax,y，那么第一个条件就表示成了每个环DDD的和为000。

并且还能发现一个性质，对于一个非树边表示的环(x,y)(x,y)(x,y)，
path(y,x)+Dx,y=0,path(x,y)=−path(y,x),⇒Dx,y=path(x,y)path(y,x)+D_{x,y}=0,path(x,y)=-path(y,x),\Rightarrow D_{x,y}=path(x,y)path(y,x)+Dx,y=0,path(x,y)=−path(y,x),⇒Dx,y=path(x,y)
（其中path(x,y)path(x,y)path(x,y)表示树上路径x,yx,yx,y的DDD值和）

所以可以证明从xxx走到yyy的所有路径权值相同

那么我们可以设fx=path(1,x)f_x=path(1,x)fx=path(1,x)，那么Dx,y=fy−fxD_{x,y}=f_y-f_xDx,y=fy−fx。

这样对于每个点就可以根据CCC的限制列出一个方程
∑x−>yfy−fx+Ax,yBx,y=0\sum_{x->y}\frac{f_y-f_x+A_{x,y}}{B_{x,y}}=0x−>y∑Bx,yfy−fx+Ax,y=0

然后高斯消元即可，时间复杂度O(n3)O(n^3)O(n3)

注意模数比较大，要写龟速乘

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110;
struct node{ll x,y,a,b;
}e[N*20];
ll n,m,P,f[N];
ll mul(ll a,ll b){a%=P;b%=P;ll tmp=(long double)a*b/P;long double ans=a*b-tmp*P;if(ans>=P)ans-=P;else if(ans<0)ans+=P;return ans;
}
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,x);x=mul(x,x);b>>=1; }return ans;
}
namespace G{ll a[N][N],b[N];void solve(ll *f){for(ll i=1;i<=n;i++){ll p=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){p=j;break;}swap(a[i],a[p]);swap(b[i],b[p]);ll inv=power(a[i][i],P-2);b[i]=mul(b[i],inv);for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=mul(a[i][j],inv);for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]+mul(rate,a[i][k]))%P;b[j]=(b[j]+mul(rate,b[i]))%P;}}for(ll i=n;i>=1;i--){for(ll j=i+1;j<=n;j++)(b[i]+=P-mul(b[j],a[i][j]))%=P;f[i]=b[i];}return;}
}
signed main()
{freopen("graph.in","r",stdin);freopen("graph.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,a=e[i].a,b=e[i].b;b=power(b,P-2);(G::a[x][y]+=b)%=P;(G::a[x][x]+=P-b)%=P;(G::b[x]+=P-mul(a,b))%=P;swap(x,y);a=P-a;(G::a[x][y]+=b)%=P;(G::a[x][x]+=P-b)%=P;(G::b[x]+=P-mul(a,b))%=P;}for(ll i=1;i<=n;i++)G::a[1][i]=0;G::a[1][1]=1;G::b[1]=0;G::solve(f);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,a=e[i].a,b=e[i].b;b=power(b,P-2);printf("%lld\n",mul((f[y]-f[x]+a+P)%P,b));}return 0;
}

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