B树、B++树和Trie树

B树

定义：一个非空M元（也称M阶）B树（R.Bayer，1970年）

满足下列条件：

1）每个结点含有m个元素a1＜a2＜…＜am。含有m个元素的结点有m+1个子树，m称为结点长度

2）结点长度m满足：

根结点，1≤m≤M-1     可以有2~M个子树

非根结点，M/2-1≤m≤M-1

可以有M/2~M个子树

3）结点结构中：

pi（i=0，1，…，m）是指向第i个子树的指针

ai（i=1，…，m）是结点值

对于非叶结点，第0个子树上所有元素都小于a1

第i个子树上的元素x满足ai＜x＜ai+1（1≤i≤m-1）

第m个子树上所有元素都大于am

4）所有的叶均在同一层上

B树的查找

查找元素x的步骤大致如下：

步骤1）如果当前结点为空，则查找失败

步骤2）在当前结点中查找x

如果找到x，查找成功；

否则

若x＜a1，沿p0递归向下查找

若ai＜x＜ai+1（1≤i＜m），沿pi递归向下查找

若x＞am，沿pm递归向下查找

B树的插入

插入步骤如下：

步骤1）用查找的方法为x找到所在位置，查找路径终止于某个空树，把x插在其父结点的有序位置上

步骤2）如果插入x后，结点不超长，则插入完毕；

否则，进入下一步超长处理

步骤3）将超长结点一分为二，将“中间元素”递归地插在上层结点中

步骤4）若插入波及到根，当根上溢时，把根一分为二，并将中间元素上移，而产生含单元素的新根，使B树升高。

将超长结点d一分为二的操作方法：

1. 超长结点d的元素达M个，令k=M/2，元素ak作为中间元素。

2. 将排在ak左侧的元素和相应的指针被保留在结点d中。

3. 将排在ak右侧的元素和相应的指针移入新结点e中。

4. 将ak连同指向结点e的指针一起插在d的父结点f中，排在指向结点d的指针右侧。

B树的删除

（1）删除x大体步骤：

步骤1）经查找，在某一结点c中找到x

步骤2）根据x所在位置的不同，作出不同的处理

①如果c是叶，直接从叶中删除x

②如果c是非叶，需要用x的“中序前驱”代替x。

注意：

寻找x的中序前驱：

沿着x左侧子树的最右分枝一直下降到某个叶结点s，结点s中最右元素y便是x的前驱，

用y代替x（复制）后，在结点s中删除y。

步骤3）如果删除后d（d指的是真正删除元素的结点）不下溢，删除结束；否则，进入下一步下溢处理。

步骤4）如果d是根（根变空才算下溢），转步骤9；否则，进入下一步。

步骤5）找d的邻近兄弟e。（现在d下溢，d不是根，d的长度小于M/2-1）。

步骤6）如果e长度未到下限，即多于半满（否则，进入步骤7） ，则从e中借一个元素（连同相应的指针）给d，并应适当地调整d和e之间的那个元素，删除结束。

步骤7）将e合并到d，也就是把e中的元素，以及d和e之父f的那个“中间元素”都加到结点d中，结点e变空，删除空结点e。（也可将d合并到e，而删除d）。

步骤8）如果引起f下溢，令d=f转步骤4；否则删除结束。（因f的元素下移，使f的长度减小）

步骤9）（根的长度变为0）删除根，B树高度下降。

B+树

基本概念

（1）B+树与B树主要区别：

所有的数据元素都存储在叶结点中，非叶结点仅存便于查找的索引信息（索引结点）。

1）第i个子树上的元素x满足a_i＜x≤a_i+1可取等号，与B树不同。

2）叶与非叶具有不同的结点结构。叶结点中可以存放储K/2~K个元素；K的可以与树的元数M相等也可以不等。

注意点：

将叶结点“穿成”有序链表。具有“两套”查找机构。

纵向：沿树枝进行查找；

横向：沿链表顺序查找。

B+树的插入

（1）插入x的大体步骤：

步骤1）从根结点起，沿纵向搜索路径为x找到所在的叶结点d。如果叶d未满，则把x插在叶d的有序位置上，插入完毕；否则，进入下一步。

步骤2）叶d已满，叶长达到K，将d一分为二：

产生新叶e，将d的下部K/2个元素移入e，另一半留在d中。

设d的父亲是f，给f加一个儿子e，e排在d之右侧，将e的最小元素的值加到f中作为新索引项，如果f不超长，则插入结束；否则，进入下一步。

步骤3）将f分裂成f和g，并递归地将g插到上一层中。

步骤4）若插入波及到根，当根上溢时，把根一分为二，并产生新根。

B+树的插入示例：

B+树的删除

（1）删除x的大体步骤：

步骤1）沿根到某叶的一条路径查找x，如果x不存在，删除失败，结束；否则，进入下一步。

步骤2）在x所在叶d中删除x。如果删除x后，叶d不下溢，则删除结束；否则，进入下一步。

步骤3）找叶d的兄弟e。如果e处于半满状态，进入步骤4；

否则，从e中移一个元素给叶d。如果e在d的左侧，则移的是e中最大元素；如果e在d的右侧，则移的是e中最小元素，移走元素的同时，修改上层结点中的索引信息，删除结束。

步骤4）将d合并到e。将d的所有元素都给e，删除d，并相应的修改上层结点中的索引信息，也可将e合并到d。

步骤5）如果删除d不引起其父f的下溢，则删除结束；

否则，将递归地波及到更上层结点，或者可以向其兄弟“借”一个索引项和一个子树，或者与其兄弟合并。如果波及根，根长度为0，删除根，整个树的高度下降，删除非叶结点的大体步骤与B树相同。

删除示例：

Trie树

组织结构：

定义：属于数字查找树，用于按数字或字符索引。像大型字典的“书边标目”。

优点：

1.元素（字符串）存储在叶结点中。

2.非叶结点只存储一个字符作为索引。

3.从根到某个叶的路径上字符组合成的字符串，恰是存储于该叶中的元素值（关键字）。

示例：