机器学习(一)——线性回归、分类与逻辑回归
http://antkillerfarm.github.io/
序
这是根据Andrew Ng的《机器学习讲义》,编写的系列blog。
http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2012/05/08/2489725.html
这是网友jerrylead翻译整理的版本,也是本文的一个重要的参考。
http://www.tcse.cn/~xulijie/
这是jerrylead的个人主页。
我写的版本在jerrylead版本的基础上,略有增删,添加了一下其他资料里的内容。
还有就是使用Mathjax书写公式,便于其他人的修改与传播。
线性回归
线性回归属于有监督学习(supervised learning)的其中一种方法。
对于一个给定的训练集(training set)(x,y)(x,y),其中y=h(x)=h(x1,x2,…,xn)y=h(x)=h(x_1,x_2,\dots,x_n),在hh未知的情况下,求得hh或者hh的近似解的过程,被称为猜测(hypothesis)。hypothesis的目的是,能在给定xx的情况下,预测yy。
如果yy是连续函数,那么这个过程叫做回归(regression)问题。如果yy是离散函数,那么这个过程叫做分类(classification)问题。
h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\dots+\theta_nx_n=\sum_{i=0}^n\theta_ix_i=\theta^Tx \tag{1}
满足公式1条件的回归问题,被称作线性回归(Linear Regression)。
为了评估公式1中待定系数θ\theta的预测准确度,我们定义如下代价函数(cost function):
J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^m(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2 \tag{2}
其中,m表示训练集的个数(从0算起),x(i)x^{(i)}表示第i个训练样本。
代价函数的表达式,实际上就是正态分布的方差计算公式,它体现了拟合后的函数曲线与样本集之间的偏差程度。显然,代价函数的值越小,预测准确度越高。
Jacobian矩阵
Jacobian矩阵是矩阵A的一阶导数矩阵,定义如下:
J(A)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}= \begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}
注:Carl Gustav Jacob Jacobi,1804~1851,德国数学家,柏林大学博士。
当m=1m=1时,该矩阵又被称为梯度向量:
\nabla(A)=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}
Hessian矩阵
Hessian矩阵是矩阵A的二阶导数矩阵,定义如下:
H(A)= \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{bmatrix}
注:Ludwig Otto Hesse,1811~1874,德国数学家,毕业于柯尼斯堡大学,Jacobi的学生。
因为∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(克莱罗定理,Clairaut’s theorem),所以Hessian矩阵通常是一个对称矩阵。
参考:
http://blog.csdn.net/dsbatigol/article/details/12558891
梯度下降算法
公式2的求极值问题,实际上就是求驻点(stationary point)的问题,即求∇(f)=0\nabla(f)=0的点的问题。
梯度下降(gradient descent)算法的原理,从直观来说,就是沿着梯度向量的反方向,向坡底前进。该算法是一个递归算法,其迭代公式为:
x_{k+1}=x_k-t_kA_k\nabla f(x_k)
其中,tkt_k表示迭代的步长,∇f(xk)\nabla f(x_k)为梯度向量,AkA_k为系数矩阵。根据tkt_k和AkA_k的取法不同会产生出各种各样的变种算法。
例如,当Ak=H(xk)−1A_k=H(x_k)^{-1}时,就是著名的牛顿迭代法(Newton Method)。可以证明,牛顿迭代法具有二阶收敛性(在二阶以内的所有系数矩阵中,收敛最快)。
名称 | 梯度下降算法 | 牛顿迭代法 |
---|---|---|
迭代次数 | 收敛慢,迭代次数多。 | 收敛快,迭代次数少。 |
迭代计算复杂度 | O(n)O(n) | O(n3)O(n^3) |
实现难点 | 步长需要一定的方法来确定。 | H(xk)H(x_k)需要满秩,且H(xk)−1H(x_k)^{-1}的计算比较复杂,尤其是维数很高的时候。 |
梯度下降算法只有当函数为凸函数时,才会严格收敛到最小值。否则的话,可能只是极小值,而非最小值。如下图所示:
凸集(Convex set)的图例如下所示:
Convex set | non-Convex set | convex function |
参考:
http://freemind.pluskid.org/machine-learning/gradient-descent-wolfe-s-condition-and-logistic-regression/
http://freemind.pluskid.org/machine-learning/newton-method/
LMS算法
LMS(least mean squares,最小均方)算法,也是一种迭代算法。其迭代公式为:
\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} \tag{3}
其中,:=:=表示赋值操作,J(θ)J(\theta)是公式2所示的代价函数,α\alpha被称作学习率(learning rate)。
可以看出,LMS的迭代公式是梯度下降算法的一个特例,其中,α\alpha相当于步长,系数矩阵A=EA=E,这里的EE表示单位矩阵。
将公式2代入公式3,可得:
\theta_j:=\theta_j+\alpha(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x^{(i)}_j \tag{4}
迭代方式分为两种:
1.批量梯度下降(batch gradient descent)算法。方法如下:
Repeat until convergence {
θj:=θj+α∑mi=1(y(i)−hθ(x(i)))x(i)j\theta_j:=\theta_j+\alpha\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x^{(i)}_j(for every j)
}
2.随机梯度下降(stochastic gradient descent)算法。方法如下:
Loop {
for i=1 to m, {
θj:=θj+α(y(i)−hθ(x(i)))x(i)j\theta_j:=\theta_j+\alpha(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x^{(i)}_j(for every j)
}
}
名称 | 批量梯度下降 | 随机梯度下降
|:–:|:–:|:–:|
特点 | 每向前走一步,都需要遍历整个训练样本集。 | 一个样本接着一个样本的处理数据。
计算复杂度 | 大 | 小
收敛程度 | 收敛 | 由于新样本引入新的误差,该算法只能收敛到一定程度,而不能无限逼近最小值。
正规方程组算法
正规方程组(Normal Equations)算法,是传统的以解方程的方式求最小值的方法。
如果,令
X=\begin{bmatrix}(x^{(1)})^T \\ (x^{(2)})^T \\ \vdots \\ (x^{(m)})^T \end{bmatrix}, \vec{y}=\begin{bmatrix}(y^{(1)}) \\ (y^{(2)}) \\ \vdots \\ (y^{(m)}) \end{bmatrix}
则:
\theta=(X^TX)^{-1}X^T\vec{y}
这种解方程的算法,实际上就是通常所说的最小二乘法(Least squares)。
优点:解是精确解,而不是近似解。不是迭代算法,程序实现简单。不在意XX特征的scale。比如,特征向量X={x1,x2}X=\{x_1, x_2\}, 其中x1x_1的range为1~2000,而x2x_2的range为1~4,可以看到它们的范围相差了500倍。如果使用梯度下降方法的话,会导致椭圆变得很窄很长,而出现梯度下降困难,甚至无法下降梯度(因为导数乘上步长后可能会冲到椭圆的外面)的问题。
缺点:维数高的时候,矩阵求逆运算的计算量很大。
插值问题
回归问题在数学上和插值问题是同一类问题。除了线性插值(回归)之外,还有多项式插值(回归)问题。
这里以一元函数为例,描述一下多项式插值问题。
对于给定的k+1k+1个点个点(x0,y0),…,(xk,yk)(x_0,y_0),\dots,(x_k,y_k),求f(x)=∑ki=0aixif(x)=\sum_{i=0}^ka_ix^i经过给定的k+1k+1个点。显然k=1k=1的时候,是线性插值。
多项式插值算法有很多种,最经典是以下两种:
1.拉格朗日插值算法(the interpolation polynomial in the Lagrange form)
L(x)=\sum_{j=0}^ky_jl_j(x),l_j(x)=\prod_{0\le m\le k\atop m\neq j}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}
2.牛顿插值算法(the interpolation polynomial in the Newton form)
N(x)=\sum_{j=0}^ka_jn_j(x),n_j(x)=\prod_{i=0}^{j-1}(x-x_i),a_j=[y_0,\dots,y_j]
此外还有分段插值法,即将整个定义域分为若干区间,在区间内部进行线性插值或多项式插值。
欠拟合与过拟合
对于上图所示的6个采样点,采用线性回归时(左图),拟合程度不佳。如果采用二次曲线(中图)的话,效果就要好得多了。但也不是越多越好,比如五次曲线(右图)的情况下,虽然曲线完美的经过了6个采样点,但却偏离了实际情况——假设横轴表示房屋面积,纵轴表示房屋售价。
我们把左图的情况叫做欠拟合(Underfitting),右图的情况叫做过拟合(Overfitting)。
这里换个角度看:如果我们把上述多项式回归中的x,x2,…,xnx,x^2,\dots,x^n看作是线性回归时的特征集的话,那么多项式回归就可以转化成为线性回归。
从中可以看出,欠拟合或过拟合实际上就是线性回归中的特征集选取问题。特征集选取不当,就会导致预测不准。
局部加权线性回归
局部加权线性回归(LWR,locally weighted linear regression)算法是一种对特征集选取不敏感的算法。它将公式2中的代价函数修改为:
J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^m\omega^{(i)}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2 \tag{5}
其中,ω(i)\omega^{(i)}被称为权重,它有多种选取方法,最常用的是:
\omega^{(i)}=\exp\left(-\frac{(x^{(i)}-x)^2}{2\tau^2}\right)
其中,τ\tau被称为带宽(bandwidth)。实际上,这就是一个高斯滤波器。离采样点x越近,其权重越接近1。
分类与逻辑回归
二分类
结果集y的取值只有0和1的分类问题被称为二分类,其中0被称为negative class,1被称为positive class,也可用“-”和“+”来表示。
逻辑回归
为了将线性回归的结果约束到[0,1][0,1]区间,我们将公式1修改为:
h_\theta(x)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}} \tag{6}
公式6又被称为logistic function或sigmoid function。函数g(z)g(z)的图像如下所示:
事实上,任何[0,1][0,1]区间的平滑增函数,都可以作为g(z)g(z),但公式6的好处在于
g'(z)=\frac{1}{(1+e^{-z})^2}e^{-z}=\frac{1}{(1+e^{-z})}\left(1-\frac{1}{(1+e^{-z})}\right)=g(z)(1-g(z))\tag{7}
评估逻辑回归(Logistic regression)的质量,需要用到最大似然估计(maximum likelihood estimator)方法(由Ronald Aylmer Fisher提出)。最大似然估计是在“模型已定,参数未知”的情况下,寻找使模型出现的概率最大的参数集θ\theta的方法。显然,参数集θ\theta所确定的模型,其出现概率越大,模型的准确度越高。
最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设,就是所有的采样都是独立同分布的(independent and identically distributed,IID),即:
f(x_1,\dots,x_n;\theta)=f(x_1;\theta)\times \dots \times f(x_n;\theta)
似然估计函数如下所示:
L(\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}\vert x^{(i)};\theta)
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