高等代数 线性映射(第9章)5 有理标准形
一.有理标准形(9.9)
1.零化多项式
(1)定义:
(2)判定:
命题1:设CCC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对0≠α∈W,g(λ)0≠α∈W,g(λ)0=α∈W,g(λ)是ααα的零化多项式当且仅当ααα的最小多项式mα(λ)∣g(λ)m_α(λ)\,|\,g(λ)mα(λ)∣g(λ)
2.循环子空间与友矩阵
命题2:设CCC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对0≠α∈W0≠α∈W0=α∈W,设ααα的最小多项式mα(λ)m_α(λ)mα(λ)为mα(λ)=λt+dt−1λt−1+...+d1λ+d0(5)m_α(λ)=λ^t+d_{t-1}λ^{t-1}+...+d_1λ+d_0\qquad(5)mα(λ)=λt+dt−1λt−1+...+d1λ+d0(5)则α,Cα...Ct−1αα,Cα...C^{t-1}αα,Cα...Ct−1α线性无关,且CtαC^tαCtα可由α,Cα...Ct−1αα,Cα...C^{t-1}αα,Cα...Ct−1α线性表出
受该命题启发,引进循环子空间的概念
(1)定义:
(2)性质:
(命题2的)推论1:设CCC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对0≠α∈W0≠α∈W0=α∈W,设ααα的最小多项式mα(λ)m_α(λ)mα(λ)为mα(λ)=λt+dt−1λt−1+...+d1λ+d0(10)m_α(λ)=λ^t+d_{t-1}λ^{t-1}+...+d_1λ+d_0\qquad(10)mα(λ)=λt+dt−1λt−1+...+d1λ+d0(10)则<α,Cα...Ct−1α><α,Cα...C^{t-1}α><α,Cα...Ct−1α>是ttt维C−C-C−循环子空间,CCC在该子空间上的限制在基α,Cα...Ct−1αα,Cα...C^{t-1}αα,Cα...Ct−1α下的矩阵是ααα的最小多项式mα(λ)m_α(λ)mα(λ)的友矩阵,C∣<α,Cα...Ct−1α>C\,|\,<α,Cα...C^{t-1}α>C∣<α,Cα...Ct−1α>的特征多项式和最小多项式都等于mα(λ)m_α(λ)mα(λ)
引理:设CCC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对0≠α∈W0≠α∈W0=α∈W如果ααα的最小多项式mα(λ)=ph(λ)m_α(λ)=p^h(λ)mα(λ)=ph(λ),其中p(λ)p(λ)p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么<α,Cα...Ct−1α><α,Cα...C^{t-1}α><α,Cα...Ct−1α>不能分解成C∣<α,Cα...Ct−1α>C\,|\,<α,Cα...C^{t-1}α>C∣<α,Cα...Ct−1α>的非平凡不变子空间的直和,其中t=degmα(λ)=hrt=\deg{m_α}(λ)=hrt=degmα(λ)=hr
(命题2的)推论2:设CCC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对0≠α∈W0≠α∈W0=α∈W如果ααα的最小多项式mα(λ)=ph(λ)m_α(λ)=p^h(λ)mα(λ)=ph(λ),其中p(λ)p(λ)p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么mα(λ)m_α(λ)mα(λ)的友矩阵不能表示成分块对角矩阵
3.有理标准形
命题3:设CℂC是域FFF上有限维线性空间WWW上的线性变换.对∀0≠α∈W\forall0≠α∈W∀0=α∈W,如果ααα的最小多项式mα(λ)=ph(λ)m_α(λ)=p^h(λ)mα(λ)=ph(λ),其中p(λ)p(λ)p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么mα(λ)m_α(λ)mα(λ)的友矩阵不能表示成分块对角矩阵
(1)单个不可约因式的情形:
定理1:设CℂC是域FFF上mmm维线性空间WWW上的线性变换.如果CℂC的最小多项式m(λ)=p(λ)m(λ)=p(λ)m(λ)=p(λ),其中p(λ)p(λ)p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么WWW能分解成mr\frac{m}{r}rm个rrr维C−ℂ-C−循环子空间的直和
(定理1的)推论1:设CℂC是域FFF上mmm维线性空间WWW上的线性变换.如果CℂC的最小多项式m(λ)=p(λ)m(λ)=p(λ)m(λ)=p(λ),其中p(λ)p(λ)p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么WWW中存在1个基使得CℂC在此基下的矩阵CCC是由mr\frac{m}{r}rm个p(λ)p(λ)p(λ)的友矩阵组成的分块对角矩阵,称其为CℂC的有理标准形.CℂC的有理标准形是唯一的,并且是CℂC的最简单形式的矩阵表示
(2)多个相同的不可约因式的情形:
命题4:设CℂC是域FFF上mmm维线性空间WWW上的线性变换.如果CℂC的最小多项式m(λ)=pl(λ)m(λ)=p^l(λ)m(λ)=pl(λ),其中l>1,p(λ)l>1,p(λ)l>1,p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么对∀0≠α∈W,α\forall0≠α∈W,α∀0=α∈W,α的最小多项式mα(λ)=ph(λ)(l≥h∈Z+)m_α(λ)=p^h(λ)\,(l≥h∈Z^+)mα(λ)=ph(λ)(l≥h∈Z+);并且p(C)αp(ℂ)αp(C)α的最小多项式mp(C)α(λ)=ph−1(λ)m_{p(ℂ)α}(λ)=p^{h-1}(λ)mp(C)α(λ)=ph−1(λ).把ααα生成的hrhrhr维C−C-C−循环子空间记作Whr(α)W_{hr}(α)Whr(α),则p(C)αp(ℂ)αp(C)α生成的(h−1)r(h-1)r(h−1)r维C−ℂ-C−循环子空间等于p(C)Whr(α)p(ℂ)W_{hr}(α)p(C)Whr(α)
定理2:设CℂC是域FFF上mmm维线性空间WWW上的线性变换.如果CℂC的最小多项式m(λ)=pl(λ)m(λ)=p^l(λ)m(λ)=pl(λ),其中l>1,p(λ)l>1,p(λ)l>1,p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么WWW能分解成dimW0r\frac{\dim_{W_0}}{r}rdimW0个C−ℂ-C−循环子空间的直和,其中W0W_0W0是p(C)p(ℂ)p(C)的属于特征值0的特征子空间,从而WWW中存在1个基,使得CℂC在此基下的矩阵C=diag{C1,C2...Cv}(v=dimW0r)C=diag\{C_1,C_2...C_v\}\,(v=\frac{\dim{W_0}}{r})C=diag{C1,C2...Cv}(v=rdimW0),其中CiC_iCi是phi(λ)(1≤hi≤l,i=1,2...v)p^{h_i}(λ)\,(1≤h_i≤l,i=1,2...v)phi(λ)(1≤hi≤l,i=1,2...v)的友矩阵,称为1个有理块;CCC中有理块的总数v=m−rank[p(C)]rv=\frac{m-rank[p(ℂ)]}{r}v=rm−rank[p(C)];对于1≤h≤l,C1≤h≤l,C1≤h≤l,C中hrhrhr级有理块的个数为N(hr)=rand[ph−1(C)]+rand[ph+1(C)]−2rand[ph(C)]rN(hr)=\frac{rand[p^{h-1}(ℂ)]+rand[p^{h+1}(ℂ)]-2rand[p^h(ℂ)]}{r}N(hr)=rrand[ph−1(C)]+rand[ph+1(C)]−2rand[ph(C)]CCC称为CℂC的1个有理标准形.除有理块的排列次序外,CℂC的有理标准形CCC是唯一的,并且CCC是CℂC的最简单形式的矩阵表示
(定理2的)推论1:设CℂC是域FFF上mmm维线性空间WWW上的线性变换.如果CℂC的最小多项式m(λ)=pl(λ)m(λ)=p^l(λ)m(λ)=pl(λ),其中l>1,p(λ)l>1,p(λ)l>1,p(λ)是域FFF上次数r>1r>1r>1的不可约多项式,那么CℂC的有理标准形CCC中一定有lrlrlr级有理块
(3)多个不同的不可约因式的情形:
定理3:设ᎯᎯᎯ是域FFF上nnn维线性空间VVV上的线性变换,如果ᎯᎯᎯ的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在F[λ]F[λ]F[λ]中的标准分解式为m(λ)=p1l1(λ)p2l2(λ)...psls(λ)m(λ)=p_1^{l_1}(λ)p_2^{l_2}(λ)...p_s^{l_s}(λ)m(λ)=p1l1(λ)p2l2(λ)...psls(λ)其中degpj(λ)=rj(j=1,2...s)\deg{p_j(λ)}=r_j\,(j=1,2...s)degpj(λ)=rj(j=1,2...s),那么VVV中存在1个基,使得ᎯᎯᎯ在此基下的矩阵CCC是由有理块组成的分块对角矩阵;CCC中对应于pjlj(λ)p_j^{l_j}(λ)pjlj(λ)的有理块的总数为Nj=n−rank[pj(Ꭿ)]rjN_j=\frac{n-rank[p_j(Ꭿ)]}{r_j}Nj=rjn−rank[pj(Ꭿ)]其中hrjhr_jhrj级有理块的个数为Nj(hrj)=rank[pjh−1(Ꭿ)]+rank[pjh+1(Ꭿ)]−2rank[pjh(Ꭿ)]rjN_j(hr_j)=\frac{rank[p_j^{h-1}(Ꭿ)]+rank[p_j^{h+1}(Ꭿ)]-2rank[p_j^h(Ꭿ)]}{r_j}Nj(hrj)=rjrank[pjh−1(Ꭿ)]+rank[pjh+1(Ꭿ)]−2rank[pjh(Ꭿ)]其中1≤h≤lj(j=1,2...s)1≤h≤l_j\,(j=1,2...s)1≤h≤lj(j=1,2...s).CCC称为ᎯᎯᎯ的有理标准形.除有理块的排列次序外,ᎯᎯᎯ的有理标准形CCC是唯一的
(定理3的)推论1:设AAA是域FFF上的nnn级矩阵,如果AAA的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在F[λ]F[λ]F[λ]中的标准分解式为m(λ)=p1l1(λ)p2l2(λ)...psls(λ)m(λ)=p_1^{l_1}(λ)p_2^{l_2}(λ)...p_s^{l_s}(λ)m(λ)=p1l1(λ)p2l2(λ)...psls(λ)其中degpj(λ)=rj(j=1,2...s)\deg{p_j(λ)}=r_j\,(j=1,2...s)degpj(λ)=rj(j=1,2...s),那么AAA相似于1个由有理块组成的分块对角矩阵C,CC,CC,C中对应于pjlj(λ)p_j^{l_j}(λ)pjlj(λ)的有理块的总数为Nj=n−rank[pj(A)]rjN_j=\frac{n-rank[p_j(A)]}{r_j}Nj=rjn−rank[pj(A)]其中hrjhr_jhrj级有理块的个数为Nj(hrj)N_j(hr_j)Nj(hrj)为Nj(hrj)=rank[pjh−1(A)]+rank[pjh+1(A)]−2rank[pjh(A)]rjN_j(hr_j)=\frac{rank[p_j^{h-1}(A)]+rank[p_j^{h+1}(A)]-2rank[p_j^h(A)]}{r_j}Nj(hrj)=rjrank[pjh−1(A)]+rank[pjh+1(A)]−2rank[pjh(A)]其中1≤h≤lj(j=1,2...s)1≤h≤l_j\,(j=1,2...s)1≤h≤lj(j=1,2...s).CCC称为AAA的有理标准形.除有理块的排列次序外,AAA的有理标准形CCC是唯一的
4.广义有理标准形
(1)任意域上的情形:
定理4:设ᎯᎯᎯ是域FFF上nnn维线性空间VVV上的线性变换,如果ᎯᎯᎯ的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在F[λ]F[λ]F[λ]中的标准分解式为m(λ)=(λ−λ1)l1...(λ−λs)lsp1k1(λ)p2k2(λ)...pvkv(λ)m(λ)=(λ-λ_1)^{l_1}...(λ-λ_s)^{l_s}p_1^{k_1}(λ)p_2^{k_2}(λ)...p_v^{k_v}(λ)m(λ)=(λ−λ1)l1...(λ−λs)lsp1k1(λ)p2k2(λ)...pvkv(λ)其中degpj(λ)=rj>1(j=1,2...v)\deg{p_j(λ)}=r_j>1\,(j=1,2...v)degpj(λ)=rj>1(j=1,2...v),那么VVV中存在1个基,使得ᎯᎯᎯ在此基下的矩阵CCC是由约当块和有理块组成的分块对角矩阵.CCC中主对角元为λiλ_iλi的约当块总数N~i=n−rank(Ꭿ−λiI)\tilde{N}_i=n-rank(Ꭿ-λ_iℐ)N~i=n−rank(Ꭿ−λiI)其中ttt级约当块的个数为N~i(t)=rank(Ꭿ−λiI)t−1+rank(Ꭿ−λiI)t+1−2rank(Ꭿ−λiI)t\tilde{N}_i(t)=rank(Ꭿ-λ_iℐ)^{t-1}+rank(Ꭿ-λ_iℐ)^{t+1}-2rank(Ꭿ-λ_iℐ)^tN~i(t)=rank(Ꭿ−λiI)t−1+rank(Ꭿ−λiI)t+1−2rank(Ꭿ−λiI)t其中1≤t≤li(i=1,2...s);C1≤t≤l_i\,(i=1,2...s);C1≤t≤li(i=1,2...s);C中对应于pjkj(λ)p_j^{k_j}(λ)pjkj(λ)的有理块的总数为Nj=n−rank[pj(Ꭿ)]rjN_j=\frac{n-rank[p_j(Ꭿ)]}{r_j}Nj=rjn−rank[pj(Ꭿ)]其中hrjhr_jhrj级有理块的个数为Nj(hrj)=rank[pjh−1(Ꭿ)]+rank[pjh+1(Ꭿ)]−2rank[pjh(Ꭿ)]rjN_j(hr_j)=\frac{rank[p_j^{h-1}(Ꭿ)]+rank[p_j^{h+1}(Ꭿ)]-2rank[p_j^h(Ꭿ)]}{r_j}Nj(hrj)=rjrank[pjh−1(Ꭿ)]+rank[pjh+1(Ꭿ)]−2rank[pjh(Ꭿ)]其中1≤h≤kj(j=1,2...v).C1≤h≤k_j\,(j=1,2...v).C1≤h≤kj(j=1,2...v).C称为ᎯᎯᎯ的广义有理标准形.除去约当块和有理块的排列次序外,ᎯᎯᎯ的广义有理标准形是唯一的
(定理4的)推论1:设AAA是域FFF上的nnn级矩阵,如果AAA的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在F[λ]F[λ]F[λ]中的标准分解式为m(λ)=(λ−λ1)l1...(λ−λs)lsp1k1(λ)p2k2(λ)...pvkv(λ)m(λ)=(λ-λ_1)^{l_1}...(λ-λ_s)^{l_s}p_1^{k_1}(λ)p_2^{k_2}(λ)...p_v^{k_v}(λ)m(λ)=(λ−λ1)l1...(λ−λs)lsp1k1(λ)p2k2(λ)...pvkv(λ)其中degpj(λ)=rj>1(j=1,2...v)\deg{p_j(λ)}=r_j>1\,(j=1,2...v)degpj(λ)=rj>1(j=1,2...v),那么AAA相似于1个由约当块和有理块组成的分块对角矩阵CCC.CCC中主对角元为λiλ_iλi的约当块总数N~i=n−rank(A−λiI)\tilde{N}_i=n-rank(A-λ_iI)N~i=n−rank(A−λiI)其中ttt级约当块的个数为N~i(t)=rank(A−λiI)t−1+rank(A−λiI)t+1−2rank(A−λiI)t\tilde{N}_i(t)=rank(A-λ_iI)^{t-1}+rank(A-λ_iI)^{t+1}-2rank(A-λ_iI)^tN~i(t)=rank(A−λiI)t−1+rank(A−λiI)t+1−2rank(A−λiI)t其中1≤t≤li(i=1,2...s);C1≤t≤l_i\,(i=1,2...s);C1≤t≤li(i=1,2...s);C中对应于pjkj(λ)p_j^{k_j}(λ)pjkj(λ)的有理块的总数为Nj=n−rank[pj(A)]rjN_j=\frac{n-rank[p_j(A)]}{r_j}Nj=rjn−rank[pj(A)]其中hrjhr_jhrj级有理块的个数为Nj(hrj)=rank[pjh−1(A)]+rank[pjh+1(A)]−2rank[pjh(A)]rjN_j(hr_j)=\frac{rank[p_j^{h-1}(A)]+rank[p_j^{h+1}(A)]-2rank[p_j^h(A)]}{r_j}Nj(hrj)=rjrank[pjh−1(A)]+rank[pjh+1(A)]−2rank[pjh(A)]其中1≤h≤kj(j=1,2...v).C1≤h≤k_j\,(j=1,2...v).C1≤h≤kj(j=1,2...v).C称为AAA的广义有理标准形.除去约当块和有理块的排列次序外,AAA的广义有理标准形是唯一的
(2)实数域上的情形:
(定理4的)推论2:设ᎯᎯᎯ是实数域RRR上nnn维线性空间VVV上的线性变换,如果ᎯᎯᎯ的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在R[λ]R[λ]R[λ]中的标准分解式为m(λ)=(λ−λ1)k1...(λ−λm)km(λ2+p1λ+q1)l1...(λ2+psλ+qs)lsm(λ)=(λ-λ_1)^{k_1}...(λ-λ_m)^{k_m}(λ^2+p_1λ+q_1)^{l_1}...(λ^2+p_sλ+q_s)^{l_s}m(λ)=(λ−λ1)k1...(λ−λm)km(λ2+p1λ+q1)l1...(λ2+psλ+qs)ls那么VVV中存在1个基,使得ᎯᎯᎯ在此基下的矩阵CCC是由约当块和有理块组成的分块对角矩阵.CCC中主对角元为λiλ_iλi的约当块总数N~i=n−rank(Ꭿ−λiI)\tilde{N}_i=n-rank(Ꭿ-λ_iℐ)N~i=n−rank(Ꭿ−λiI)其中ttt级约当块的个数为N~i(t)=rank(Ꭿ−λiI)t−1+rank(Ꭿ−λiI)t+1−2rank(Ꭿ−λiI)t\tilde{N}_i(t)=rank(Ꭿ-λ_iℐ)^{t-1}+rank(Ꭿ-λ_iℐ)^{t+1}-2rank(Ꭿ-λ_iℐ)^tN~i(t)=rank(Ꭿ−λiI)t−1+rank(Ꭿ−λiI)t+1−2rank(Ꭿ−λiI)t其中1≤t≤ki(i=1,2...m);C1≤t≤k_i\,(i=1,2...m);C1≤t≤ki(i=1,2...m);C中对应于λ2+pjλ+qjλ^2+p_jλ+q_jλ2+pjλ+qj的有理块的总数为Nj=n−rank[Ꭿ2+pjᎯ+qjI]2N_j=\frac{n-rank[Ꭿ^2+p_jᎯ+q_jℐ]}{2}Nj=2n−rank[Ꭿ2+pjᎯ+qjI]其中2h2h2h级有理块的个数为Nj(2h)=rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h−1]+rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h+1]−2rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h]2N_j(2h)=\frac{rank[(Ꭿ^2+p_jᎯ+q_jℐ)^{h-1}]+rank[(Ꭿ^2+p_jᎯ+q_jℐ)^{h+1}]-2rank[(Ꭿ^2+p_jᎯ+q_jℐ)^h]}{2}Nj(2h)=2rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h−1]+rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h+1]−2rank[(Ꭿ2+pjᎯ+qjI)h]其中1≤h≤lj(j=1,2...s).C1≤h≤l_j\,(j=1,2...s).C1≤h≤lj(j=1,2...s).C称为ᎯᎯᎯ的广义有理标准形.除去约当块和有理块的排列次序外,ᎯᎯᎯ的广义有理标准形是唯一的
(定理4的)推论3:设AAA是实数域RRR上的nnn级矩阵,如果AAA的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)在R[λ]R[λ]R[λ]中的标准分解式为m(λ)=(λ−λ1)k1...(λ−λm)km(λ2+p1λ+q1)l1...(λ2+psλ+qs)lsm(λ)=(λ-λ_1)^{k_1}...(λ-λ_m)^{k_m}(λ^2+p_1λ+q_1)^{l_1}...(λ^2+p_sλ+q_s)^{l_s}m(λ)=(λ−λ1)k1...(λ−λm)km(λ2+p1λ+q1)l1...(λ2+psλ+qs)ls那么AAA相似于1个由约当块和有理块组成的分块对角矩阵CCC.CCC中主对角元为λiλ_iλi的约当块总数N~i=n−rank(A−λiI)\tilde{N}_i=n-rank(A-λ_iI)N~i=n−rank(A−λiI)其中ttt级约当块的个数为N~i(t)=rank(A−λiI)t−1+rank(A−λiI)t+1−2rank(A−λiI)t\tilde{N}_i(t)=rank(A-λ_iI)^{t-1}+rank(A-λ_iI)^{t+1}-2rank(A-λ_iI)^tN~i(t)=rank(A−λiI)t−1+rank(A−λiI)t+1−2rank(A−λiI)t其中1≤t≤Ki(i=1,2...m);C1≤t≤K_i\,(i=1,2...m);C1≤t≤Ki(i=1,2...m);C中对应于λ2+pjλ+qjλ^2+p_jλ+q_jλ2+pjλ+qj的有理块的总数为Nj=n−rank(A2+pjA+qjI)2N_j=\frac{n-rank(A^2+p_jA+q_jI)}{2}Nj=2n−rank(A2+pjA+qjI)其中hrjhr_jhrj级有理块的个数为Nj(hrj)=rank[(A2+pjA+qjI)h−1]+rank[(A2+pjA+qjI)h+1]−2rank[(A2+pjA+qjI)h]2N_j(hr_j)=\frac{rank[(A^2+p_jA+q_jI)^{h-1}]+rank[(A^2+p_jA+q_jI)^{h+1}]-2rank[(A^2+p_jA+q_jI)^h]}{2}Nj(hrj)=2rank[(A2+pjA+qjI)h−1]+rank[(A2+pjA+qjI)h+1]−2rank[(A2+pjA+qjI)h]其中1≤h≤lj(j=1,2...s).C1≤h≤l_j\,(j=1,2...s).C1≤h≤lj(j=1,2...s).C称为AAA的广义有理标准形.除去约当块和有理块的排列次序外,AAA的广义有理标准形是唯一的
5.通过λ−λ-λ−矩阵求有理标准形
(1)λ−λ-λ−矩阵的初等因子与不变因子:
定理5:设A(λ)A(λ)A(λ)是F[λ]F[λ]F[λ]上的nnn级满秩矩阵,通过初等变换把A(λ)A(λ)A(λ)化成对角形,然后把主对角线上每个次数大于0的多项式分解成两两不等的不可约多项式的方幂的乘积,则所有这些不可约多项式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A(λ)A(λ)A(λ)的初等因子
(2)矩阵与特征矩阵相抵的判定:
定理6:F[λ]F[λ]F[λ]上2个满秩的nnn级矩阵相抵当且仅当它们有相同的初等因子
定理7:域FFF上2个nnn级矩阵的特征矩阵相抵的充要条件是它们有相同的不变因子或相同的初等因子
(3)矩阵的初等因子与不变因子:
(4)矩阵相似的判定:
定理8:域FFF上2个nnn级矩阵A,BA,BA,B相似的充要条件是它们的特征矩阵λI−A,λI−BλI-A,λI-BλI−A,λI−B相抵
定理9:域FFF上2个nnn级矩阵A,BA,BA,B相似的充要条件是它们有相同的不变因子或相同的初等因子
(5)矩阵的有理标准形:
定理10:域FFF上任一nnn级矩阵AAA都相似于1个由有理块组成的分块对角矩阵CCC,除去其中有理块的排列次序外,CCC由AAA唯一决定,称CCC是AAA的有理标准形
(定理10的)推论1:域FFF上nnn级矩阵AAA的最小多项式m(λ)m(λ)m(λ)等于AAA的最后1个不变因子dn(λ)d_n(λ)dn(λ)
(定理10的)推论2:设域E⊇FE\supseteq FE⊇F,则域FFF上2个nnn级矩阵A,BA,BA,B相似当且仅当把他们看成EEE上的矩阵后相似
该推论说明域FFF上nnn级矩阵间的相似性不随域的扩大而改变
附录2.定理11的证明
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- 高等代数 行列式(第2章)
零.2阶行列式 1.概念: 对二元一次方程组{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\a_{21}x_1+a ...
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一.一元多项式的根与复数域上的不可约多项式(7.6) 1.一元多项式的一次因式 (1)余数定理: 定理1:在K[x]K[x]K[x]中,用x−ax-ax−a去除f(x)f(x)f(x)所得的余式是f( ...
- 高等代数_第8章：证明_商空间的维数公式
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