Designing an optimal contest（博弈论+机制设计）论文阅读笔记

Designing an optimal contest 论文阅读笔记

一、基本信息
二、文章摘要
三、背景介绍
四、核心模型
五、核心结论
六、总结展望

一、基本信息

题目：设计一个最优竞赛
作者：Ani Dasgupta,Kofi O. Nti

二、文章摘要

以下内容取自原文摘要部分：
本文给竞赛研究带来一个机制设计的角度。我们考虑的问题是：当竞赛设计者也可能对奖项有估值时选择一个竞赛成功函数。我们表明：可以被凹且递增的竞赛成功函数实现的任意均衡结果都可以被线性竞赛成功函数复现。期望效用最大化的设计者应采用线性同构竞赛成功函数。我们明确地推导了风险中性设计的最优竞赛，并给出了比较的静态结果。图洛克竞赛当设计者对于奖项的估值很低时是最优的。
我的总结：竞赛模型特殊：奖项按比例分配、参赛者对奖项估值相同且固定、设计者对奖项也有估值且有一定概率保留奖项、分数与权重之间存在映射函数。在该设定下，凹递增CSF可用一线性CSF替代从而简化了分析。从设计者的效用函数出发，给出了具体且详尽的最优竞赛参数设计。

三、背景介绍

本文受激发于以下两点思考：
第一：我们希望拓宽基础的寻租行为的而范例，考虑这样的情况：提供可竞争租金的代理者可能也会对奖金进行估价。目前的领域研究现状是假设竞赛的组织者并不会对奖项产生估值。
第二：我们希望向竞赛研究领域带来机制设计的角度，从而对该领域中常用的几个竞赛成功函数提供一些决策理论验证。

四、核心模型

设想一个竞赛nnn位参赛者共同竞争一个价值为VVV的奖项，并且假设竞赛设计者对奖项有V0V_0V0的估值。参赛者iii选择的分数是xi≥0x_i\ge 0xi≥0，构成分数向量(x1,...,xn)(x_1,...,x_n)(x1,...,xn)。参赛者iii的获胜概率定义为：
Pi(x1,...,xn)=h(xi)s+∑j=1nh(xj)P_i(x_1,...,x_n)=\frac{h(x_i)}{s+\sum_{j=1}^n h(x_j)} Pi(x1,...,xn)=s+∑j=1nh(xj)h(xi)
参赛者iii选择分数xix_ixi，其获胜的可能性对应是h(xi)h(x_i)h(xi)。竞赛设计者不将奖项分配给任何一位参赛者的可能性是s≥0s\ge 0s≥0。那么参赛者iii的期望收益表示为：
πi(x1,...,xn)=Pi(x1,...,xn)V−xi=Vh(xi)s+h(xi)+∑j≠ihj−xi\pi_i(x_1,...,x_n)=P_i(x_1,...,x_n)V-x_i=\frac{Vh(x_i)}{s+h(x_i)+\sum_{j\neq i}h_j}-x_i πi(x1,...,xn)=Pi(x1,...,xn)V−xi=s+h(xi)+∑j=ihjVh(xi)−xi
该竞赛特点可总结为：1.奖项采取比例分配制。2.选择分数与权重之间存在映射函数h()h()h()。3.每位参赛者都需要支付自己所选择分数的代价（类似All-Pay）。4.所有参赛者对于奖项估值相同。5.设计者也存在奖项估值，因此存在奖项不分配的概率。
经典模型图洛克竞赛中h(x)=xrh(x)=x^rh(x)=xr，更高的rrr值会使得参赛者愿意付出更大分数，设计者就会获得更大的总分数。r<1r<1r<1对应的竞赛成功函数是凹的，r>1r>1r>1对应的竞赛成功函数是凸的。因此凸CSF会使得设计者获得更大的总分数，但凸CSF可能存在合谋现象。因此本文关注于凹CSF。除此之外，凹CSF能确保存在一个纯策略对称纳什均衡。

五、核心结论

Lemma表明：竞赛C(h,s)C(h,s)C(h,s)的每个均衡都是唯一且对称的。
Prorosition 1表明：假设x∗x^*x∗是竞赛C(h,s)C(h,s)C(h,s)唯一均衡的分数（n,V,sn,V,sn,V,s确定）。那么存在着一个线性函数h~(x)=ax+b,a>0,b≥0\tilde{h}(x)=ax+b,a>0,b\ge 0h~(x)=ax+b,a>0,b≥0，使得（1）x∗x^*x∗也是竞赛C(h~,s)C(\tilde{h},s)C(h~,s)的唯一均衡（2）h(x∗)=h~(x∗)h(x^*)=\tilde{h}(x^*)h(x∗)=h~(x∗)。
最优竞赛设计需要最大化设计者的期望效用。那么设计者的期望效用定义如下：
D=nhnh+sU(nx∗)+snh+sU(nx∗+V0)D=\frac{nh}{nh+s}U(nx^*)+\frac{s}{nh+s}U(nx^*+V_0) D=nh+snhU(nx∗)+nh+ssU(nx∗+V0)
其中nhnh+s\frac{nh}{nh+s}nh+snh表示奖项分配给参赛者的概率，U(nx∗)U(nx^*)U(nx∗)表示奖项分配给参赛者的效用；snh+s\frac{s}{nh+s}nh+ss表示奖项没有分配给参赛者的概率，U(nx∗+V0)U(nx^*+V_0)U(nx∗+V0)表示奖项没有分配给参赛者的效用。
Proposition 2表明：竞赛设计者为了最大化其效用D(x∗,h(x∗))D(x^*,h(x^*))D(x∗,h(x∗))，应用一个同质的线性函数h=ax,a>0h=ax,a>0h=ax,a>0就足够了。
Proposition 3表明：在已知sss的情况下，各种条件下应该对应选择什么a∗,x∗~a^*,\tilde{x^*}a∗,x∗~以获得最大的设计者效用D∗D^*D∗。
Proposition 5表明：如果α<1−(2/n)\alpha<1-(2/n)α<1−(2/n)那么设计者选择最优s∗=0s^*=0s∗=0，最优竞赛为比例图洛克竞赛。否则设计者应该选择一个任意的正值s∗s^*s∗并且根据Proposition 3来构建最优竞赛。

六、总结展望

原文总结：
本文中，我们证明采用凹递增竞赛成功函数得任意均衡结果都可以通过应用线性竞赛成功函数来复现。我们利用这个结果来构建最优竞赛，该竞赛设计者也可能对奖项有估值且最大化效用。我们表示竞赛设计者应该应用一个线性竞赛成功函数，为图洛克竞赛提供决策理论解释。我们明确地推导了风险中性设计的最优竞赛，并给出了比较的静态结果。当竞赛设计者的奖项估值足够低时，图洛克竞赛的参赛者返回是最优的，反之则不是最优的。当设计者足够在意奖项（但一般不会估值大于参赛者）时，他应该设计竞赛其中他以一个正值概率保留奖项，并且忽略参赛者的分数总和。
本文处理一种特定类型的竞赛，具体来说竞赛有着凹且递增的竞赛成功函数并且参赛者对奖项有着相同的估值。相关的问题自然而生：如果同时考虑进非凹竞赛成功函数会发生什么？这一点最近也被其他作者（Dasgupta,1998）所研究。初步结论表明虽然对于全部的竞赛成功函数，虽然无法提供线性竞赛成功函数复现均衡结果，但总是可以提供一个分段的线性函数（包含两段）来达到同样的目的。因此，参赛者需要跨过一个“门限”分数登记才能使得进一步的分数转化为胜利的正值概率。这个结果及其应用会在未来的文章中研究。未来本文的拓展可能考虑包含非对称奖项估值的最优竞赛设计。为设计者应用其他效用函数也可以被进一步研究。
我的启发：
1.创新性考虑设计者对奖项也有估值，之前未曾见闻。
2.设计者对奖项的估值体现在参数α,s\alpha,sα,s上，这两个值该如何确定？
3.设计者效用函数中并未考虑奖项带来的代价，有一定概率分配出奖项时，获得效用=总分数-奖项代价，互补概率未分配出奖项时，获得效用=总分数-奖项代价+设计者估值。奖项代价体现在设计者花钱制备奖项，而设计者估值体现在未分配出去砸手里时设计者的估值。
4.奖项未分配出去不是骗人吗？所有参赛者白白付出代价？
5.全支付竞赛是只要代价等于其全部分数即可，还是也要求奖项的分配方式是最高价者得。本文得竞赛可以称之为全支付竞赛吗？
6.本文设定极其简单，因此均衡易求得，从而最优竞赛设计也方便计算。

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