FFT原理——详细推导理解FFT变换
概要:
FFT(Fast Fourier transform):快速傅里叶变换,是DFT的工程化实现方法。
DFT直接求解太过于复杂,FFT方法根据DFT求解过程中旋转因子的性质并引入分治算法思想,大大简化计算过程,被广泛应用在频谱分析的工程实践中,如matlab,C,C++,CUDA等底层实现
一,DFT简介
频谱分析是信号处理中的重要环节,从傅里叶变换FT,到拉普拉斯变换LT,离散时间傅里叶变换DTFT,Z变换ZT,到我们所讲的离散傅里叶变换DFT(他们之间的联系和区别见我的其他博客)。
相比于其他变换,DFT被广泛应用的原因是其输入的时域信号是离散的,输出的频域结果也是离散的。这就极大方便了我们进行基于计算机的频谱计算,存储和分析,没办法数字信号处理是大趋势。
DFT变换的公式为:
X[k]=∑n=0N−1x[n]e−jk2πKn,k=0,1,2,...,K−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]{{e}^{-jk\frac{2\pi }{K}n}},k=0,1,2,...,K-1} X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jkK2πn,k=0,1,2,...,K−1
这里不同于一般课本上的是,kkk的取值不再与输入信号nnn的长度0∼N−10\sim N-10∼N−1相同,而是自己设置。这是为了突出kkk的设置本质上是为了对以上 2pi 为周期的连续频谱离散化(DFT是DTFT连续频域结果离散化处理后的结果),也即频谱采样。
但为了分析方便,在FFT的计算过程中,我们依然使用k=0∼N−1k = 0 \sim N-1k=0∼N−1的选取策略。也即,如下:
X[k]=∑n=0N−1x[n]e−jk2πNn,k=0,1,2,...,N−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]{{e}^{-jk\frac{2\pi }{N}n}},k=0,1,2,...,N-1} X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jkN2πn,k=0,1,2,...,N−1
上式直接求解当然可以,但是需要N2N^2N2次复数乘法和N(N−1)N(N-1)N(N−1)次复数加法:
X[k]=∑n=0N−1x[n]e−jk2πNn=∑n=0N−1x[n]WNknX\left[ k \right]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]{{e}^{-jk\frac{2\pi }{N}n}}\text{=}}\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]W_{N}^{kn}} X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jkN2πn=n=0∑N−1x[n]WNkn
其中,WWW是需要替换的旋转因子:WNkn=e−jk2πNn,W=e−j2πNW_{N}^{kn}={{e}^{-jk\frac{2\pi }{N}n}},W={{e}^{-j\frac{2\pi }{N}}}WNkn=e−jkN2πn,W=e−jN2π
使用FFT算法简化DFT计算过程就是依赖旋转因子WWW的一些性质,简化计算过程。
二、旋转因子WWW的性质
- 周期性:WNa+N=WNaW_{N}^{a+N}=W_{N}^{a}WNa+N=WNa
- 对称性:WNa+N/2=−WNaW_{N}^{a+N/2}=-W_{N}^{a}WNa+N/2=−WNa
- 缩放性:WN2=WN/21W_{N}^{2}\text{=}W_{N/2}^{1}WN2=WN/21
证明方法就是按旋转因子定义,直接拆开就行,就是代数变换。以上性质意味着值相同的就不用了再多计算一遍了,这就能简化DFT的计算过程。
三、FFT蝶形计算证明
FFT的计算过程运用了“分治算法”思想,并结合了旋转因子WWW的性质。具体证明过程如下:
- 首先,我们把输入的时域信号x[n],n=0,1,...,N−1x[n],n=0,1,...,N-1x[n],n=0,1,...,N−1根据索引分为奇偶两部分:
feven[n]=x[2n]{{f}_{even}}\left[ n \right]=x\left[ 2n \right] feven[n]=x[2n]
fodd[n]=x[2n+1]{{f}_{odd}}\left[ n \right]=x\left[ 2n+1 \right] fodd[n]=x[2n+1]
此时,索引范围为:n=0,1,2,...,N/2−1n=0,1,2,...,N/2-1n=0,1,2,...,N/2−1,
2. 对DFT公式(3)进行化简:
X[k]=∑n=0N−1x[n]WNkn,k=0,1,...,N−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]W_{N}^{kn}},k=0,1,...,N-1 X[k]=n=0∑N−1x[n]WNkn,k=0,1,...,N−1
得到:
X[k]=∑n为偶数x[n]WNkn+∑n为奇数x[n]WNknk=0,1,...,N−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{n为偶数}{x\left[ n \right]W_{N}^{kn}}+\sum\limits_{n为奇数}{x\left[ n \right]W_{N}^{kn}}k=0,1,...,N-1 X[k]=n为偶数∑x[n]WNkn+n为奇数∑x[n]WNknk=0,1,...,N−1
这个过程很简单,如下图,就是按奇偶索引把求和分成两部分
详细点写也即:
X[k]=∑m=0(N/2)−1x[2m]WNk⋅2m+∑m=0(N/2)−1x[2m+1]WNk⋅(2m+1),k=0,1,...,N−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{m=0}^{(N/2)-1}{x\left[ 2m \right]W_{N}^{k\centerdot 2m}}+\sum\limits_{m=0}^{(N/2)-1}{x\left[ 2m+1 \right]W_{N}^{k\centerdot \left( 2m+1 \right)}},k=0,1,...,N-1 X[k]=m=0∑(N/2)−1x[2m]WNk⋅2m+m=0∑(N/2)−1x[2m+1]WNk⋅(2m+1),k=0,1,...,N−1
根据旋转因子的缩放性,可以进一步换算:
X[k]=∑m=0(N/2)−1feven[m]WN/2k⋅m+WNk∑m=0(N/2)−1fodd[m]WN/2k⋅m,k=0,1,...,N−1X\left[ k \right]=\sum\limits_{m=0}^{(N/2)-1}{{{f}_{even}}\left[ m \right]W_{N/2}^{k\centerdot m}}+W_{N}^{k}\sum\limits_{m=0}^{(N/2)-1}{{{f}_{odd}}\left[ m \right]W_{N/2}^{k\centerdot m}},k=0,1,...,N-1 X[k]=m=0∑(N/2)−1feven[m]WN/2k⋅m+WNkm=0∑(N/2)−1fodd[m]WN/2k⋅m,k=0,1,...,N−1
也即:
X[k]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N−1X\left[ k \right]={{F}_{even}}\left[ k \right]+W_{N}^{k}{{F}_{odd}}\left[ k \right],k=0,1,...,N-1 X[k]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N−1
其中,Feven[k]{{F}_{even}}\left[ k \right]Feven[k]为偶数索引输入feven[n]{{f}_{even}}\left[ n \right]feven[n]的DFT结果,Fodd[k]{{F}_{odd}}\left[ k \right]Fodd[k]为奇数索引输入fodd[n]{{f}_{odd}}\left[ n \right]fodd[n]的DFT结果。
分析Feven[k]{{F}_{even}}\left[ k \right]Feven[k]和Fodd[k]{{F}_{odd}}\left[ k \right]Fodd[k]以便进一步转换:
无论Feven[k]{{F}_{even}}\left[ k \right]Feven[k]和Fodd[k]{{F}_{odd}}\left[ k \right]Fodd[k]两个哪一个,他们的时域输入长度都为(N/2)−1(N/2)-1(N/2)−1,但此时的$ k=0,1,…,N-1是输入信号长度的2倍。这就说明是输入信号长度的2倍。这就说明是输入信号长度的2倍。这就说明{{F}{even}}\left[ k \right]和和和{{F}{odd}}\left[ k \right]$都是周期性的(可以理解为,N个点里包含了2个$2\pi $周期的频谱采样),也即:
Feven[k+N/2]=Feven[k]{{F}_{even}}\left[ k+N/2 \right] = {{F}_{even}}\left[ k \right] Feven[k+N/2]=Feven[k]
Fodd[k+N/2]=Fodd[k]{{F}_{odd}}\left[ k+N/2 \right] = {{F}_{odd}}\left[ k \right] Fodd[k+N/2]=Fodd[k]
再次简化:
根据式(13)可以知道,最终结果的前半部分,可以直接被得到:
X[k]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N/2−1X\left[ k \right]={{F}_{even}}\left[ k \right]+W_{N}^{k}{{F}_{odd}}\left[ k \right],k=0,1,...,N/2-1 X[k]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N/2−1
又通过式(14,15),可以将(16)进一步转化:
X[k+N/2]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N/2−1X\left[ k+N/2 \right]={{F}_{even}}\left[ k \right]+W_{N}^{k}{{F}_{odd}}\left[ k \right],k=0,1,...,N/2-1 X[k+N/2]=Feven[k]+WNkFodd[k],k=0,1,...,N/2−1
通过,(16,17)可以看出:一个N点的DFT结果,可以被两个奇偶输入的DFT结果计算得到。举个例子也即,8点的DFT,可以被偶4点DFT结果和奇4点DFT结果计算得到,同理奇/偶4点DFT又可以被2点DFT结果计算得到,以此类推,分治求解。
四、FFT计算过程
步骤1:通过二进制镜像的方法,对时域信号的索引进行二进制编号,如下表最右列,从右向左反推输入计算序列,结果可以对应上图。
二进制:对应计算序列 | 转换 | 原始索引:对应二进制 |
---|---|---|
000:0 | ← | 0:000 |
100:4 | ← | 1:001 |
010:2 | ← | 2:010 |
110:6 | ← | 3:011 |
001:1 | ← | 4:100 |
101:5 | ← | 5:101 |
011:3 | ← | 6:110 |
111:7 | ← | 7:11 |
步骤2:奇偶项逐渐合并计算
五、其他说明
- 逆DFT过程也可以使用以上方法计算
- 以上方法为基2的方法,还有基4的方法,具体参考《数字信号处理——原理、算法与应用(第四版)》P380
- CSDN对Typora的md语法支持并不好,有些公式显示不出来,也没有标号,我已把PDF文档上传到了CSDN。
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