剑指Offer算法笔记（Java）剪绳子

11.剪绳子
描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],…,k[m] 。请问 k[1]k[2]…*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2≤n≤60
进阶：空间复杂度 O(1)，时间复杂度O(n)
输入描述：
输入一个数n，意义见题面。
返回值描述：
输出答案。
示例1
输入：
8

返回值：
18

说明：
8 = 2 +3 +3 , 2 *3 *3=18
示例2
输入：
2

返回值：
1

说明：
m>1，所以切成两段长度是1的绳子

方法一：动态规划

一旦分出一段长度为1的小段，只会减少总长度，还不能增加乘积，因此长度为2的绳子不分比分开的乘积大，长度为3的绳子不分比分开的乘积大，长度为4的绳子分成2*2比较大。前面的我们都可以通过这样递推得到，后面的呢？

同样递推！如果我有一个长度为nnn的绳子，我们要怎么确定其分出最大的乘积，我们可以尝试其中一段不可分的为jjj，那么如果另一段n−jn-jn−j最大乘积已知，我们可以遍历所有jjj找到这个最大乘积。因此用dp[i]表示长度为i的绳子可以被剪出来的最大乘积，那么后续遍历每个jjj的时候，我们取最大dp[i]=max(dp[i],j∗dp[i−j])就好

具体做法：

step 1：按照上述思路，不超过3的直接计算
step 2：超过3的不断累乘3，然后number不断减去3，直到最后不超过4。
step 3：最后乘上剩余的数字。

Java实现代码：

import java.util.*;public class Solution {/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可** * @param n int整型 * @return int整型*/public int cutRope (int n) {// write code hereif (n<3){return n-1;}int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;dp[4] = 4;for(int i = 5;i<= n;i++)for(int j = 1;j<i;j++)dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j]*dp[i-j]);return dp[n];}
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n^2)，两层遍历
空间复杂度：O(n)，辅助数组dp的空间

方法二：贪心

具体做法：

step 1：按照上述思路，不超过3的直接计算
step 2：超过3的不断累乘3，然后number不断减去3，直到最后不超过4。
step 3：最后乘上剩余的数字。

Java实现代码：

public class Solution {public int cutRope(int target) {//不超过3直接计算if(target <= 3) return target - 1;int res = 1;while(target > 4){//连续乘3res *= 3; target -= 3; }return res * target;   }
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中n为绳子的长度，最坏需要计算n/3次
空间复杂度：O(1)，常数级变量，无额外辅助空间

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