一下子看懂校验码，CRC，海明码

校验码

能够发现错误或者自动纠错的数据编码，也称为检错纠错码。校验码的原理是通过增加一些冗余码，来检错或纠错编码。
任意两个合法码字之间的最少变化的二进制位数，叫做码距。码距越大，检错、纠错能力越强，且检错能力>=纠错。

码距大于等于2的数据校验码，开始具有检错能力。

三种常见的校验码：

1、奇偶校验码

在首部增加一位二进制位（校验位），称为奇偶校验码，它可以检测出一位错误，而且只能是奇数位错误。它的码距为2。
通过数有效信息位和校验位的“1”的个数来判断是奇校验码还是偶校验码。奇校验码中1的总个数为奇数，偶校验码中1的个数为偶数。

缺点：具有局限性，只能检测出奇数位（比如3个数位）出错的情况，通过编码中1的个数的变化判断是都出错，但不能确定出错的位置，也不能纠正错误。

2、海明码：多重奇偶校验码，具有纠错能力。

能发现两位错误，纠正一位错误。

假设数据有n位，校验码有m位。则校验码一共有2m2^m2m种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下2m−12^m-12m−1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+m位，因此m应该满足：

2m−1≥n+m2^m-1 ≥ n+m2m−1≥n+m

求海明码的具体步骤

看例子：

【例】在n = 4，k = 3时，求1010的海明码?

1、确认海明码的位数：

在这里，n是有效信息位数，k是校验位数，应满足n+k+1<=2^k ，把k、n带入发现是有效的。
设信息位为D4D3D2D1(1010)，共4位，校验位有3位，设为P3P2P1。
对应的海明码为：H7H6H5H4H3H2H1，共7位（这只是说明有7个码组成，并没有确定具体每一位的值和属性）

2、确定校验位的位置：

规定校验位Pi(1<=i<=k)在海明位号为2^(i-1)的位置，其余为信息位。因此P1在海明位号为1的位置，即H1；
P2在编号为2的位置，即H2；P3在编号为4的位置，即H4；
海明码的分布为：D4D3D2P3D1P2P1（海明位号每位在序列H7H6H5H4H3H2H1中对应的下标数字，例如D2的海明位号为5）

3、分组，形成校验关系：

每个数据位用多个校验位进行校验，满足条件是：数据位的海明位号等于校验它的校验位的海明位号之和。
只需要看数据位就行了。比如：D1放在H3的位置上，3 = 0011由P1P2进行校验，因为P2P1的海明位号为2+1=3；
D2放在了H5上，就要由和是5 = 0101的校验位来校验，发现是片P1P3，因为他们的海明位号和为4+1=5；
D3放在了H6上，找和为6 = 0110的校验位，是P2P3，海明位号分别为4和2，4+2-6。
D4放在了H7，找和为7的校验位，发现7 = 0111，对应是P1P2P3，同理因为4+2+1=7。

4、校验位取值（也称编码）：

校验位Pi（1<=i<=k）的值为 被Pi校验过的数据位的异或值。
P1 = D1⊕D2⊕D4 = 0⊕1⊕1 = 0；
P2 = D1⊕D3⊕D4 = 0⊕0⊕1 = 1；
P3 = D2⊕D3⊕D4 = 1⊕0⊕1 = 0；
所以，1010对应的海明码为101(0)0(10)。小括号内为校验位。

5、译码方程，即用一个校验位和形成这个校验码的编码方程执行异或，通过检查S的结果，可以实现纠错检错的目的。若出错的数据位，对其求反则实现纠错，若出错的是校验位，不必理财。找出错误位置。

S1= P1⊕D1⊕D2⊕D4 = 0；
S2，S3类似……，若S3S2S1 = 000那么说明没出错；否则S3S2S1值为几就是那一位出错，
例如S3S2S1 = 001，则说明第一位出错，直接将该出错位取反就达到了纠错的目的。

3、循环冗余校验码Cyclic Redundancy Check，CRC：

在k位信息码后面增加r位校验码，整个编码长度为n。又称（N，K）码
（注意k和海明码代表的意义不一样）

能发现并纠正信息穿读写、存储、传送过程中的一位或者多位错误。

原理

基于线性编码理论，在发送端，将要发送的k位二进制信息码，向左移动r位，将它与生成多项式G(x)做模2除法，生成一个r位校验码，并附在信息码后面，构成一个新的二进制码（CRC）。共有K+R位。在接收端，利用生成多项式对接收到的编码做模2除法，以检测出错的位置，如无错误则删除。

生成多项式G(x)是发送端与接收端的一个约定。G(x)的最高项为R，则转化为二进制数有R+1位。

例子

生成多项式G(x)，做模2除法。
G(x) = x^3 + x^2 + 1，信息码为101001，求其CRC码？

1、生成多项式的最高次幂是3，则说明r = 3。由题意知k = 6，n = k + r = 9。G(x)对应的二进制码为 1101
2、移位，将原信息码向左移r位，低位补零，得到101001000
3、相除，模2除法，产生余数，也就是异或运算。将上一步得到的移位码对G(x)的二进制码做模2运算。
当每一步异或之后得到的余数最高位为1时，商为1，最高位为0，商为0。除数右移，跟除法运算差不多。
当余数位数小于除数(1101)的时候，该余数是最终余数。把这个余数加到信息位的最后,得到CRC码。
4、检错纠错。将得到的CRC码和生成多项式做模2除法，如果余数为0，则没出错。
否则哪一位不为0，哪一位就出错了，取反即可。