点积和叉积在计算机图形学的应用

点积和叉积在计算机图形学中，是最为基础且重要的概念，初学者弄清它的概念的应用，是很重要的。最后一节，是为了加强理解记录，如果不看也是可以的，大家选择观看，有兴趣可以去看原视频，结合我的笔记。

前置知识

列向量
以下均采用列向量的表示方法，和线性代数书本上的行向量不同，采用列向量表示，则表达为列向量左乘矩阵，只是定义的不同，其他含义没有什么不同。列向量写法如下：
a→=(xyz)\overrightarrow{a} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \end{gathered} \right) a=⎝⎛xyz⎠⎞
单位化
将向量的各分量除以向量的模即得单位向量，单位指模为1的向量。
向量加减法的几何意义
行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积（二维）或体积（三维）的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

点积

点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。点积的结果是一个数。

a→⋅b→=∣a∣∣b∣cosθ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| a \right| \left| b \right| cos {\theta} a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

相当于a向量的转置矩阵乘以向量b：
a→⋅b→=a→Tb→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b} a⋅b=aTb

以二维向量为例：
a→⋅b→=(xaya)T(xayb)=xaxb+yayb\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = {x_{a}\choose y_{a}}^T {x_{a}\choose y_{b}} = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} a⋅b=(yaxa)T(ybxa)=xaxb+yayb

几何意义

a向量在b向量上投影的长度乘以 b向量的长度（模）就是点积的结果。
点乘是存在交换律的，所以也等同于：
b向量在a向量上投影的长度乘以 a向量的长度就是点积的结果。

在图形学的应用

求两个向量的夹角
当a→\overrightarrow{a}a与b→\overrightarrow{b}b都是单位向量（单位化），两个向量点积就是cos⁡θ\cos {\theta}cosθ，在通过arccos⁡\arccosarccos 就可以求出夹角。
求投影
将a→\overrightarrow{a}a单位化，a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}a⋅b就是b→\overrightarrow{b}b在a→\overrightarrow{a}a上的投影长度。
《计算机图形学》书上有这么一个举例，利用投影将向量w分解成两个向量和：
比较两个向量的接近程度（方向上）
也就是向量是否两个向量间的夹角大小，在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。
也常会用来判断两向量是否为同方向：

举个例子

判断一个点是都在某图形内：

叉积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
∣v→×w→∣=∣v∣∣w∣sinθ\left| \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \right| = \left| v \right| \left| w \right| sin {\theta} ∣∣∣v×w∣∣∣=∣v∣∣w∣sinθ
这只确定了叉积的长度，众所周知向量有长度，还有方向的，方向为垂直于两个向量的方向，但是呢，垂直方向有两个。
这里我们采用右手螺旋定则确定方向。v到w的方向就是右手四指弯曲的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。

二维向量的叉积是个标量，看起来违背了定义，先假设二维向量得出来的叉积是z，如果把二维向量看作成z轴值恒为0的三维向量，它们的叉积就(0,0,z)T(0,0,z)^T(0,0,z)T，三维空间被压缩成了二维，叉积就只是一个标量了。

v→⋅w→=xvyw−yvxw\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = x_vy_w - y_vx_w v⋅w=xvyw−yvxw

三维向量的叉积的结果是个向量：

v→⋅w→=(yvzw−zvywzvxw−xvzwxvyw−yvxw)\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} y_v z_w - z_v y_w \\ z_vx_w - x_vz_w \\ x_vy_w - y_vx_w \end{matrix} \end{gathered} \right) v⋅w=⎝⎛yvzw−zvywzvxw−xvzwxvyw−yvxw⎠⎞
这个看起来很难记忆，我们随后再讲解。444额方法

几何意义

在二维空间，两个向量叉积就是两向量形成的平行四边形的面积，正负要引入Z轴，由右手螺旋定则确定，如果大拇指指向Z正轴就为正，反之为负；
在三维空间，两个向量叉积就是垂直于两向量形成的平面的向量（称为法向量）采用右手螺旋定则确定方向。v到w的方向就是右手四指弯曲的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。

坐标系的问题

如果我们已知x坐标轴和y坐标轴，可以推导出z坐标轴。可能大家都听说过有左手坐标系和右手坐标系这两种说法，可以用x、y轴叉积与z轴的关系确定。
右手坐标系：
x→×y→=z→\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = \overrightarrow{z} x×y=z
左手坐标系：
x→×y→=−z→\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{z} x×y=−z

在图形学的应用

二维空间判断左右

这个判断又可以衍生出如何判断一条路径存在交叉
2. 三维空间求法向量
法向量在计算图形学的应用很广泛，很多地方都会利用到，比如求已知入射角度OB→\overrightarrow{OB}OB求一个平面的反射角度BP→\overrightarrow{BP}BP。取平面上不共线的三个点ABC，求得法线
AB→×AC→=Z→（法线）\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{Z} （法线） AB×AC=Z（法线）

BP→=OB→−Z→\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{Z} BP=OB−Z

再举个例子

判断一个点是都在某图形内

以线性变换去看点乘和叉乘

这部分我是基于B站的一部分的视频总结的，如果觉得作者讲解不够好，可以去看原视频。

点乘

先来看两向量的点乘另一种求法，a向量的转置矩阵乘以向量b：
a→⋅b→=a→Tb→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b} a⋅b=aTb
以二维空间为例，定义两个基向量组成的矩阵

(21)=2i→+j→\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)= 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} (21)=2i+j
点乘就是从二维空间到数轴的线性变换，将空间投影到给定的数轴来定义。
a→T\overrightarrow{a}^TaT矩阵作用就是，将基变量在a→\overrightarrow{a}a上投影为两个数字，而不是向量，将此作为基变量去做线性变换，从而进行空间压缩。

叉乘

截了视频的两张图，

[xyz]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right]⎣⎡xyz⎦⎤表示一个随机变量，也可理解为一个为向量的变量。
上图是一个变量为向量的函数。根据v w 可以求常量 p

有没有觉得p→\overrightarrow{p}p与u→×v→\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}u×v 叉积一模一样，那么我们认定p→\overrightarrow{p}p就是u→×v→\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}u×v的叉积，来解释叉积的几何意义。

先看左边，p→\overrightarrow{p}p与随机变量的点积，其实就随机变量在p→\overrightarrow{p}p的投影长度，再乘以p→\overrightarrow{p}p的模。（1）

再看看右边，是一个行列式，表示这三个向量组成的立方体的体积大小。（2）

我们再回顾下，体积的求法，高✖️底面积（u v 组成底面）（3）

高为随机变量在平面垂直方向的投影长度。（4）

由（2）（3）（4）得到右边为随机变量在平面垂直方向的投影长度，再乘以u v 组成的平面面积（5）

由（1）（5）得到，p→\overrightarrow{p}p为，模长为两向量组成的平面面积，且为这个平面的法线。

这个叉积的几何意义不就是这样的嘛。

字丑的那些图都是我画的，除了一张小手手，请各位见谅，最后感谢我的首席插画师 yc君画的那种小手手的插图，O(∩_∩)O哈哈~。