参数估计、点估计、极大似然估计
快速了解:
参数估计,估计的是随机变量分布的参数。可以先去博主的另一篇文章了解随机变量及其分布。
所谓分布的参数,例如正态分布XXX~N(u,σ2)N(u,\sigma^2)N(u,σ2),u,σu,\sigmau,σ就是正态分布的参数。
后面要讲的点估计就是已知总体的一个样本,估计分布的参数。例如知道正态分布的一个样本,估计总体参数uuu,σ\sigmaσ。
参数估计指估计分布的参数。
点估计,是已知一个样本集的情况下,估计分布的参数。
1 参数估计
随机变量XXX的分布函数已知,但它的一个或多个参数未知,根据已有样本,估计XXX分布的参数。
2 点估计
根据XXX的一个样本集估计总体未知参数的问题称为参数的点估计问题。
点估计问题的一般提法为:
设总体XXX的分布函数F(x;θ)F(x;\theta)F(x;θ)的形式已知,θ\thetaθ是待估参数。
X1,X2,⋅⋅⋅,XnX_1,X_2,\cdot \cdot \cdot,X_nX1,X2,⋅⋅⋅,Xn是XXX的一个样本集,x1,22,⋅⋅⋅,xnx_1,2_2,\cdot \cdot \cdot,x_nx1,22,⋅⋅⋅,xn是对应的样本值。
点估计问题就是要构造一个估计量θ^(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)\widehat \theta(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot,X_n)θ(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn),用它的观察值θ^(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)\widehat \theta(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot,x_n)θ(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)作为未知参数θ\thetaθ的近似值。我们称θ^(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)\widehat \theta(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot,X_n)θ(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)为θ\thetaθ的估计量,θ^(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)\widehat \theta(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot,x_n)θ(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)为θ\thetaθ的估计值。不致混淆的情况下将估计量和估计值统称为估计,并都简记为θ^\widehat\thetaθ。
由上面对点估计问题的描述,可以看出估计量是样本集的函数,对于不同的样本集θ\thetaθ的估计值一般不同。
下面的极大似然估计法即用于构造估计量。
3 极大似然估计
快速了解
以离散型随机变量为例,进行快速总结:
- X1,X2,⋅⋅⋅,XnX_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_nX1,X2,⋅⋅⋅,Xn的联合分布律
X1,X2,⋅⋅⋅,XnX_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_nX1,X2,⋅⋅⋅,Xn是XXX的样本集,则X1,X2,⋅⋅⋅,XnX_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_nX1,X2,⋅⋅⋅,Xn的联合分布律为
∏i=1np(xi;θ).\prod_{i=1}^np(x_i;\theta).i=1∏np(xi;θ). - 事件{X1=x1,X2=x2,⋅⋅⋅,Xn=xnX_1=x_1,X_2=x_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n=x_nX1=x1,X2=x2,⋅⋅⋅,Xn=xn}发生的概率为下式,该事件的概率(L(θ)L(\theta)L(θ))称为样本的似然函数。
L(θ)=L(x1,x2,⋅⋅⋅,xn;θ)=∏i=1np(xi;θ)L(\theta)=L(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n;\theta)=\prod_{i=1}^np(x_i;\theta)L(θ)=L(x1,x2,⋅⋅⋅,xn;θ)=i=1∏np(xi;θ) - 使似然函数L(θ)L(\theta)L(θ)达到最大的参数值θ^\widehat \thetaθ,称为参数θ\thetaθ的最大似然估计值。
- p(xi;θ)p(x_i;\theta)p(xi;θ)关于θ\thetaθ可微,这时θ^\widehat \thetaθ可通过下述方程(对似然函数求导,令其等于0)获得
ddθL(θ)=0\frac{d}{d\theta}L(\theta)=0dθdL(θ)=0 - 因为L(θ)L(\theta)L(θ)与lnL(θ)lnL(\theta)lnL(θ)在同一θ\thetaθ处取到极值,因此,θ\thetaθ的最大似然估计也可以从下面的方程求得。从这一方程求解往往更简便。下面的方程称为对数似然方程。
ddθL(lnθ)=0\frac{d}{d\theta}L(ln\theta)=0dθdL(lnθ)=0
关于极大似然估计,下面贴上笔者标注后的浙江大学版《概率论与数理统计》的原文,这篇文章的解释实在是太过棒棒了,经典至极。
至此,困惑笔者已久的极大似然估计,通过随机变量及其分布和本文的复习总结,总算是明白了。呼~ 轻松嘤~
趣味阅读:极大似然估计的能力体现
给出一堆线性数据,用线性回归模拟,线性回归的参数很容易就能求得。
若给出另一堆数据,中间多,两边少,用线性回归就很难模拟,这适合用高斯分布曲线模拟。可是高斯分布的参数难求,这时就显示出极大似然估计的能力了。
参照网址:对数损失函数是如何度量损失的
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