python离散余弦变换_数字图像处理（三）—

离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)本质上也是离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)，但是只有实数部分。有这样一个性质：如果信号

$x[n]$ 在给定区间内满足狄利赫里条件，且为实对称函数，则可以展开成仅含有余弦项的傅里叶级数，即离散余弦变换。所以，我们在构造离散信号的周期函数的时候，要对其进行偶延拓。

1. 一维离散余弦变换

首先，我们回想一下，信号

$x[n]$ 离散傅里叶变换为

${X}(k) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x[n] e^{ - j k \frac{2 \pi}{N} n} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x[n] \left \{ \mathrm{cos}(k \frac{2 \pi}{N} n) - i \mathrm{sin}(k \frac{2 \pi}{N} n) \right \}$ 。

设信号长度为

$N$ ，然后对其进行偶延拓。

如果序列中不包含0点，即定义域为

$[1, 2, \cdots, N ]$ ，则偶延拓后其对称中心为

$0$ 点，即

$x[n] = x[-n]$ ，此时其傅里叶变换可写为

$\begin{align} {X}(k) &= \frac{1}{2N} \sum_{n=-N}^{N} x[n] \left \{ \mathrm{cos}(k \frac{2 \pi}{2 N} n) - i \mathrm{sin}(k \frac{2 \pi}{2 N} n) \right \} \\ &= \frac{1}{2N} \sum_{n=1}^{N} x[n] \left \{ [ \mathrm{cos}(k \frac{ \pi}{N} n) + \mathrm{cos}(- k \frac{\pi}{N} n) ] - i [ \mathrm{sin}(k \frac{\pi}{N} n) - \mathrm{sin}(k \frac{ \pi}{N} n)] \right \} \\ &=\frac{1}{2N} \sum_{n=1}^{N} x[n] \left \{ 2 [ \mathrm{cos}(k \frac{\pi}{N} n) ] \right \} \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x[n] \mathrm{cos}(k \frac{\pi}{N} n) \end{align}$ 。

而如果序列包含0点，即定义域为

$[0, 1, \cdots, N-1 ]$ ，偶延拓方式为

$x[n] = x[-n-1]$ ，即对称中心为

$-\frac{1}{2}$ 。为方便，把

$x[n]$ 右移

$\frac{1}{2}$ 变为

$x[m]$ ，则

$x[m] = x[n]$ ，且

$m = n + \frac{1}{2}$ 。此时自变量

$m$ 的定语域为

$[1, 2, \cdots, M]$ ，则其傅里叶变换可写为

$\begin{align} {X}(k) &= \frac{1}{2M} \sum_{m=-M}^{M} x[m] \left \{ \mathrm{cos}(k \frac{\pi}{N} m) - i \mathrm{sin}(k \frac{\pi}{N} m) \right \} \\ &= \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} x[m] \mathrm{cos}(k \frac{\pi}{N} m) \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot \mathrm{cos} [k \frac{\pi}{N} (n + \frac{1}{2}) ] \end{align}$ 。

因为计算机一般从0开始，所以DCT的标准公式为

$\begin{align} {X}(k) &= \sqrt{ \frac{2}{N} } \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot a_{k} \mathrm{cos} [k \frac{\pi}{N} (n + \frac{1}{2}) ] \\ \text{s. t.} a_{k} &= \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} , k=0 \\ 1, k \neq 0 \end{matrix}\right. \end{align}$ 。

系数是为了单位化基底，推导过程可参考这里。将标准DCT公式展开

$\begin{bmatrix} X(0), \cdots , X(N-1) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(0), \cdots , x(N-1) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{0, 0} & \cdots & C_{0, N-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{N-1, 0} & \cdots & C_{N-1, N-1} \end{bmatrix}$ ，

其中

$\bm{C}$ 是系数矩阵

$\bm{C} = \sqrt{\frac{2}{N}} \begin{bmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}} & \mathrm{cos}(\frac{1}{2} \frac{\pi}{N}) & \cdots & \mathrm{cos}[(N-1) \frac{1}{2} \frac{\pi}{N} ] \\ \sqrt{\frac{1}{2}} & \mathrm{cos}(\frac{3}{2} \frac{\pi}{N}) & \cdots & \mathrm{cos}[(N-1) \frac{3}{2} \frac{\pi}{N} ] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sqrt{\frac{1}{2}} & \mathrm{cos}(\frac{2N-1}{2} \frac{\pi}{N}) & \cdots & \mathrm{cos}[(N-1) \frac{2N-1}{2} \frac{\pi}{N} ] \end{bmatrix}$ ，

矩阵内的元素为

$C_{n, k} = \sqrt{ \frac{2}{N} } a_{k} \mathrm{cos} [k \frac{\pi}{N} (n + \frac{1}{2}) ]$ 。(有兴趣的同学也可以验证一下，

$\bm{C}$ 是单位正交矩阵)

逆DCT变换为

$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} X(k) a_{k} \mathrm{cos}[ k \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})]$ 。(与逆傅里叶变换原理完全相同，不再赘述)

2. 二维离散余弦变换

先给出二维DCT的公式

$\begin{align} {X}(k_{1}, k_{2}) &= \frac{2}{\sqrt{N_{1}, N_{2}} } \sum_{n_{1}=0}^{N_{1}-1} \sum_{n_{2}=0}^{N_{2}-1} x[n_{1}, n_{2}] \cdot a_{k_{1}} a_{k_{2}} \mathrm{cos} [k_{1} \frac{2 \pi}{N_{1}} (n_{1} + \frac{1}{2}) ] \mathrm{cos} [k_{2} \frac{2 \pi}{N_{2}} (n_{2} + \frac{1}{2}) ] \end{align}$ 。

将上述DCT的公式展开

$\begin{bmatrix} X(0, 0) & \cdots & X(0, N_{2}-1)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ X(N_{1}-1, 0) & \cdots & X(N_{1}-1, N_{2}-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{0, 0} & \cdots & C_{0, N_{2}-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{N_{1}-1, 0} & \cdots & C_{N_{1}-1, N_{2}-1} \end{bmatrix} ^{T} \begin{bmatrix} x(0, 0) & \cdots & x(0, N_{2}-1)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x(N_{1}-1, 0) & \cdots & x(N_{1}-1, N_{2}-1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{0, 0} & \cdots & C_{0, N_{1}-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{N_{2}-1, 0} & \cdots & C_{N_{2}-1, N_{1}-1} \end{bmatrix}$

将

$\bm{x}$ 看作是原始图像，则

$\bm{X}$ 为DCT的结果。

在数字图像处理中，处理的图像基本上都为方阵，即

$N_{1} = N_{2}$ ，所以二维DCT可写为

$\bm{X} = \bm{C}^{T} \bm{x} \bm{C}$ 。

二维逆DCT变换为

$x[n] = \sum_{k_{1}=0}^{N-1} \sum_{k_{2}=0}^{N-1} X(k_{1}, k_{2}) a_{k_{1}} a_{k_{2}}\mathrm{cos}[ k_1 \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})] \mathrm{cos}[ k_2 \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2}) ]$ 。

3. 二维图像的DCT

我们先总结一下，DCT没有虚部，本质是傅里叶变换(无损)

$\Rightarrow$ 图像从空间域快速(没有虚部)的变换到了频率域。好像很好用的样子~

先来试一下效果：对Lena进行DCT与iDCT，结果如图1所示。

# 离散余弦变换，并获取其幅频谱

img_dct = cv2.dct(np.float32(image))

img_dct_log = 20 * np.log(abs(img_dct))

# 逆离散余弦变换，变换图像回至空间域

img_back = cv2.idct(img_dct)图1 Lena的DCT与iDCT

从图1中可以看到，左上角亮度高，即Lena的主要能量集中在左上角；而且，从其逆变换可看出，DCT为无损变换。

其次，为了确定哪种能量、有多少能量集中在左上角，我对图1中的DCT of Lena以128像素为步长进行了裁剪，

# 裁剪DCT of Lena

for i in range(image_dct_1.shape[0]):

for j in range(image_dct_1.shape[1]):

if i > (256+128) or j > (256+128):

image_dct_1[i, j] = 0 # 裁剪的实质为像素置0

if i > 256 or j > 256:

image_dct_2[i, j] = 0 # 裁剪的实质为像素置0

if i > 128 or j > 128:

image_dct_3[i, j] = 0 # 裁剪的实质为像素置0

然后再对其进行逆DCT变换，结果如图2所示。图2 压缩(裁剪)DCT后进行iDCT的结果

随着压缩比例的增大，图片中的细节部分逐渐消失。在back Lena 1中还可以明显的看到sharp的边缘，而back Lena 3中，虽然主要的信息还在，但明显的高频信息丢失了。因此，DCT使图片的低频成分集中在左上角。(对，你可能猜到了，这在图像压缩领域用的很多～)

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