一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法

【技术领域】

[0001] 本发明涉及一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，它是一种线性时不变 系统的最优降阶方法，是针对单输入单输出系统给出的一种使得降阶前后系统频域响应误 差最小的模型降阶方法，用于处理高阶线性系统，简化控制律设计，属于自动控制技术领 域。

【背景技术】

[0002] 伴随着现代工程技术的飞速发展，出现了诸如飞行控制系统、电力系统、超大规模 集成电路等复杂的高阶系统。描述这些线性系统的微分方程个数众多，给系统的数值仿真 和控制设计带来巨大的挑战。通过对这些高阶系统进行有效的模型降阶处理可以降低系统 分析的难度，减少计算负载，方便仿真模拟。降阶是指通过较少个数的微分方程描述的低阶 系统，在特定的频率区间上近似高阶系统，保证降阶前后两个系统的动态响应尽可能接近。

[0003] 系统降阶的关键在于如何找到一个简单的低阶系统来逼近复杂的高阶系统。两个 系统的逼近程度可以通过二者在频域上的传递函数脉冲响应偏差来衡量。现有的模型降方 法包括Pade近似法、Routh近似法、奇异值分解的平衡法、Krylov子空间模型降阶方法。其 中前两种方法基于系统的暂态响应或者稳态响应，大大限制了其应用范围。奇异值分解的 平衡法根据原系统的奇异值进行截断降解，能够确保降阶后系统的稳定性，但是在实施过 程中需要求解两个高阶次的Lyapunov方程。Krylov子空间方法是最常用的降阶方法，它通 过构造适当的变换矩阵，使得变换矩阵的列向量所张成的空间能包含在适当的Krylov子 空间中，保证得到的降阶系统传递函数能与原系统传递函数在特定插值点处的项匹配。由 于存在无穷多个可行的插值点，在不同的插值点处采用同样的Krylov子空间降阶方法得 到的模型是不一样的，相应的系统响应品质和原来的系统差别也是很大的。可以通过非线 性规划方法，求解最优插值点，找到系统的最优降阶模型。

【发明内容】

[0004] 1、发明目的

[0005] 本发明的目的是提供一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，它是：针对 单输入单输出的线性是不变系统，构建系统降解的误差指标，利用非线性规划策略求解满 足最优指标的降阶插值点，最后得到最优降阶模型的传递函数。

[0006] 2、技术方案

[0007]为了达到上述目的，本发明结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技 术方案。

[0008] 本发明是一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，该方法具体步骤如下：

[0009] 步骤1 :降阶问题描述

[0010] 本发明所针对的是高阶单输入单输出线性系统。高维系统的分析和控制律设计都 十分困难。通过适当的降阶方法，使得低阶模型在相同的脉冲输入激励情况下，输出响应尽 可能接近原来系统，在一定频域范围内代替原来系统。

[0011] 步骤2 :系统最优降阶指标

[0012] 尽管系统降阶的方法各不相同，但是可以定义一个通用的范数误差指标 来衡量降阶前后系统传递函数输出品质差异。对比分析范数误差的各个组成部 分，要求两个系统在降阶模型传递函数Gm (s)的极点镜像对称处即点处越接近越好。

[0013] 步骤3 :Arnoldi降阶方法

[0014] 基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法，可以在不计算传递函数展开式各项系数 的情况下，满足项匹配的要求。给出原系统的状态矩阵A，B，C，输入矩阵B，输出矩阵C，插值 点0 = { 0 ^ 0 2,…，0nJ，降阶误差阈值e = 1〇1,初始矩阵Vj= □，初始下标变量j= 0。经过降阶算法，先构造krylov投影子空间V，之后得到降阶模型Am=VTAV，Bm=VTB，Cm =CV。式中符号说明如下：Am代表降阶以后的状态矩阵，Bm代表降阶以后的输入矩阵，Cm代 表降阶以后的输出矩阵。

[0015] 步骤4:非线性规划求解最优插值点

[0016] 对于不同的插值点，采用Arnoldi降阶算法得到的降阶模型是不一样的，因此对 于原来系统的逼近程度也是不一样的。如果采用传统的牛顿迭代方法，只能求解得到一 个插值点。但是通过非线性规划函数Fmincon可以找到一个插值点集合，满足系统最优 降阶指标所定义的三个必要条件。求出插值点对应的特征方程系数向量{Pi，P2，…，PJ， 然后利用Matlab自带的RootsO函数求解对应的根即为插值点{ 〇u〇 2，…，〇J。然 后采用Arnoldi降阶方法，求出所有插值点对应的降阶模型。使得二范数指标n= |G(s)-Gm(S) | |2最小的插值点，为需要求解的最优插值点。最优插值点对应的降阶模型， 即为系统最优降阶模型。式中符号说明如下：G(s)和Gm(s)分别代表原来高阶系统的传递 函数和降阶以后系统的传递函数，II?I|2表示?的二范数。

[0017] 步骤5 :仿真实验检验降阶性能

[0018] 为了验证所提出的系统最优降阶方法的有效性，检验降阶后系统的响应品质和原 模型的偏差，利用matlab7. 0仿真软件，进行仿真实验。首先选取一个4阶随机模型，将其降 低为1阶，分析发现找到了多个插值点，克服了牛顿迭代方法只能找到一个插值点的缺点， 并且在低频和高频段都有较好的逼近效果。之后选取一个标准的测试模型，BuildTOE。原 来高阶系统n= 120,降阶为m= 6的低阶系统。

[0019] 步骤6:设计结束

[0020] 整个设计过程分为六大步骤。第一步确定了高阶线性系统降阶的目的和数学描 述；第二步确立了系统降阶的误差范数指标，为最优降阶方法的提出做准备；第三步得到 了基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法；第四步提出了基于非线性规划的最优插值点求 解方法，得到最优降阶模型；第五步是对设计的系统最优降阶方法进行仿真验证。经过上述 各步骤后，设计结束。

[0021] 3、优点及功效

[0022] 本发明的优点在于针对工程领域常见的高阶数学模型，提供了一种系统最优降阶 方法，可以找到一个在频域上尽可能逼近原系统响应品质的低阶系统，显著地降低系统数 值仿真和控制律设计难度。通过非线性规划方法，找到了最优降阶模型，克服了传统的牛顿 迭代方法只能找到单一插值点的缺点，在高频和低频段都能达到很好的降阶效果。

【附图说明】

[0023] 图1本发明实施步骤流程框图。

[0024] 图2本发明中非线性规划求解插值点原理示意图。

[0025] 图3本发明随机系统降阶仿真示意图。

[0026] 图4本发明标准BuildPDE系统降阶仿真示意图。

[0027] 图中符号说如下：

[0028] 图2中P"P2,卩3分别表示约束方程式(17)的三个不同根。

[0029] 图3中G(s)，匕(s)，G2 (s)，G3(s)分别表示原来4阶随机系统以及3个降阶系统。

[0030] 图4中GQ(s)，GQi(s)(i= 1，一，5)分别原来标准BuildPDE系统系统以及5个降 阶系统。

【具体实施方式】

[0031] 下面将结合技术方案和附图对本发明做进一步的详细说明。见图1，本发明是一种 基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，该方法具体步骤如下：

[0032] 步骤1 :系统降阶问题描述

[0033] 考虑如下单输入单输出线性时不变系统：

【主权项】

1. 一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，其特征在于：该方法具体步骤如 下： 步骤1:降阶问题描述 这里所针对的是高阶单输入单输出线性系统，高维系统的分析和控制律设计都十分困 难，通过降阶的方法，使得低阶模型在相同的脉冲输入激励情况下，输出响应尽可能接近原 来系统，并在预定频域范围内代替原来系统； 步骤2 :系统最优降阶指标 尽管系统降阶的方法各不相同，但是定义一个通用的范数误差指标||G-Gm|^来衡量 降阶前后系统传递函数输出品质差异；对比分析范数误差的各个组成部分，要求两个系统 在降阶模型传递函数Gm(s)的极点镜像对称处即点-^处越接近越好； 步骤3 :Arnoldi降阶方法 基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法，在不计算传递函数展开式各项系数的情况 下，满足项匹配的要求；给出原系统的状态矩阵A，B，C，输入矩阵B，输出矩阵C，插值点〇 ={01，02,…，0nJ，降阶误差阈值e =瓜8,初始矩阵Vj=□，初始下标变量j= 〇 ;经 过降阶算法，先构造krylov投影子空间V，之后得到降阶模型Am=VTAV，Bm=VTB，Cm=CV; 式中符号说明如下：Am代表降阶以后的状态矩阵，Bm代表降阶以后的输入矩阵，Cm代表降阶 以后的输出矩阵； 步骤4 :非线性规划求解最优插值点 对于不同的插值点，采用Arnoldi降阶算法得到的降阶模型是不一样的，因此对于原 来系统的逼近程度也是不一样的，如果采用传统的牛顿迭代方法，只能求解得到一个插值 点；但是通过非线性规划函数Fmincon能找到一个插值点集合，满足系统最优降阶指标 所定义的三个必要条件；求出插值点对应的特征方程系数向量{Pi，P2，…，PJ，然后利用 Matlab自带的RootsO函数求解对应的根即为插值点{op〇2，…，〇m}，然后采用Arnoldi 降阶方法，求出所有插值点对应的降阶模型，使得二范数指标n= | |G(s)-Gm(S) | |2最小的 插值点，为需要求解的最优插值点；最优插值点对应的降阶模型，即为系统最优降阶模型； 式中符号说明如下：G(s)和Gm(s)分别代表原来高阶系统的传递函数和降阶以后系统的传 递函数，II?I|2表示?的二范数； 步骤5 :仿真实验检验降阶性能 为了验证所提出的系统最优降阶方法的有效性，检验降阶后系统的响应品质和原模型 的偏差，利用matlab7. 0仿真软件，进行仿真实验；首先选取一个4阶随机模型，将其降低为 1阶，分析发现找到了多个插值点，克服了牛顿迭代方法只能找到一个插值点的缺点，并且 在低频和高频段都有较好的逼近效果，之后选取一个标准的测试模型，BuildTOE，原来高 阶系统n= 120,降阶为m= 6的低阶系统； 步骤6 :设计结束 整个设计过程分为六大步骤：第一步确定了高阶线性系统降阶的目的和数学描述；第 二步确立了系统降阶的误差范数指标，为最优降阶方法的提出做准备；第三步得到了基于 krylov子空间的Arnoldi降阶方法；第四步提出了基于非线性规划的最优插值点求解方 法，得到最优降阶模型；第五步是对设计的系统最优降阶方法进行仿真验证；经过上述各 步骤后，设计结束。

【专利摘要】一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，该方法有六大步骤：步骤1：降阶问题描述；步骤2：系统最优降阶指标；步骤3：Arnoldi降阶方法；步骤4：非线性规划求解最优插值点；步骤5：仿真实验检验降阶性能；步骤6：设计结束。第一步确定了高阶线性系统降阶的目的和数学描述；第二步确立了系统降阶的误差范数指标，为最优降阶方法的提出做准备；第三步得到了基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法；第四步提出了基于非线性规划的最优插值点求解方法，得到最优降阶模型；第五步是对设计的系统最优降阶方法进行仿真验证；经过上述各步骤后，设计结束。本发明用于处理高阶线性系统，简化控制律设计。

【IPC分类】G05B13-04

【公开号】CN104614985

【申请号】CN201410710029

【发明人】刘金琨, 杨柳

【申请人】北京航空航天大学

【公开日】2015年5月13日

【申请日】2014年11月27日