探索的乐趣（物理笔记）

文章目录

前言
运动学的基地
- 确定参考系
- 矢量求导的定义（狭义）
- 单位矢量求导
- re⃗r\vec ere 求导
- - 从这里我们可以知道为什么曲线运动可以看成很多个圆周运动？
  - 自然坐标系为什么在轨迹已知的情况下会简化问题？
  - 极坐标系和自然坐标系的异同
- 应用
牛顿的建筑
- 运动学和动力学的小差别
- 科里奥利力
- - 矢量积形式证明
  - 矩阵形式证明
- 动量定理、动量守恒定律
- - 质点动量定理
  - - 应用
  - 质点系动量定理
- 质心相关定理
- - 质心定义
  - - 离散质点系的质心
    - 质量连续分布的物体的质心
  - 质心运动定理
  - 质心动量定理
- 动能定理
- - 功的定义
  - 质点动能定理
  - 质点系动能定理
- 机械能守恒定律
- - 保守力
  - 势场
  - - 方向导数
    - 梯度定理
    - 由梯度求势函数
- 质点角动量和角动量定理
- - 定义
  - 力矩和角动量定理
- 质点系的角动量定理
- 刚体力学
- - 转动相关的物理量
  - 转动惯量
  - 平行轴定理
  - 角动量定理
  - 扭矩（刚体静态平衡分析）
狭义相对论
- 基本假设
- 洛伦兹变换
- - 事件
  - 公式推导
- 洛伦兹变换的推论和应用
- - 差值形式和速度的洛伦兹变换
  - 同时性不再绝对
  - 钟慢效应
  - 尺缩效应
  - 一些悖论和佯谬
静力学
- - 库伦定律
  - 电荷守恒局部修正性
  - 电荷量子化
  - 如何验证库伦定律
  - 比较引力和库仑力的大小
  - 库仑力满足叠加原理
- 电场
- 电场线
- - 偶极子的精确解
  - 偶极子在电场
  - 无限长均匀带电杆的电场分布
  - 无限延伸的均匀带电平面的电场分布
- 高斯定理
- - 用高斯定理证明无限长均匀带电杆的电场分布
- 导体
- 电势
- - 引入电势的好处
  - 电荷系的静电能（互能）
  - 静电场中的导体
- D的高斯定律
- 电容
- 电流

前言

这篇文章呢，是用来记录学习物理过程中的一些笔记和想法，持续更新。可能是有点强迫症吧，不知道定理的来龙去脉就很难受，所以本文会有比较多的数学推导。

篇幅较长，有时间再把它分成几篇吧。

运动学的基地

同一个矢量在不同坐标系下的坐标是不同的。

极坐标下的矢量求导可利用直角坐标系下的规则进行引入，更进一步我们引入求导的法则。

总的来说，我想弄明白矢量的求导和代表的意义，以及变量和矢量相乘后的求导法则，从而为运动学提供一个严密的数学基础。

确定参考系

确定参考系，其实就是先确定一个坐标原点（参照物），选定一组基向量（建立坐标系），其他向量都可以被这组基向量表示出来。

我更愿意让这组基不随时间运动（也就是主观上刻意让其保持绝对静止）。因为只有基不随时间不变化才有下面 狭义的矢量求导定义 和 单位矢量的求导形式。

至于自然坐标系，主要用到的坐标系的性质还是 其他向量都可以被这组基向量表示出来，而在进行求导运算的时候并没有把自然坐标系的基向量看成绝对静止，而是把这组基看成一个无形的绝对静止的坐标系下的普通向量。因此对这组基求导并不是等于零，而是满足下面的向量求导公式。

了解到有张量这个概念，更能反应几何对象的本质，还不是很懂。

矢量求导的定义（狭义）

以下成立有一个前提：i⃗,j⃗,k⃗不随时间变化\vec i,\vec j, \vec k 不随时间变化i,j,k不随时间变化，否则无法合并同类项得到下面的第三行，也就无法得到最终的结果。
dr⃗dt=lim⁡Δt→0r⃗(t+Δt)−r⃗(t)Δt=lim⁡Δt→0x(t+Δt)−x(t)Δti⃗+y(t+Δt)−y(t)Δtj⃗+z(t+Δt)−z(t)Δtk⃗=dxdti⃗+dydtj⃗+dzdtk⃗\begin{aligned} & \ \ \ \ \ \frac{d \vec r}{dt} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec r(t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t} \\ & = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} \ \vec i+ \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t} \ \vec j + \frac{z(t + \Delta t) - z(t)}{\Delta t} \ \vec k \\ & = \frac{dx}{dt} \vec i + \frac{dy}{dt} \vec j + \frac{dz}{dt} \vec k \end{aligned} dtdr=Δt→0limΔtr(t+Δt)−r(t)=Δt→0limΔtx(t+Δt)−x(t) i+Δty(t+Δt)−y(t) j+Δtz(t+Δt)−z(t) k=dtdxi+dtdyj+dtdzk
显然矢量求导后表示了瞬时变化的快慢(矢量的模)和趋势(矢量的方向)。

单位矢量求导

单位矢量可以表示为 e⃗=cosθ(t)i⃗+sinθ(t)j⃗\vec e = cos\theta(t) \vec i + sin\theta(t) \vec je=cosθ(t)i+sinθ(t)j , 其表示的轨迹是圆弧，表示的运动是圆周运动。由上述的矢量求导定义对单位矢量进行求导可以得到：
e⃗.=(−sinθ(t)i⃗+cosθ(t)j⃗)θ.=θ.e⃗n=ω⃗×e⃗\mathop{\vec e}\limits^. = (-sin\theta (t)\vec i + cos\theta(t)\vec j) \mathop{\theta}\limits^. = \mathop{\theta}\limits^. \vec e_n = \vec\omega \times \vec e e.=(−sinθ(t)i+cosθ(t)j)θ.=θ.en=ω×e
可以看到，e⃗e⃗.=e⃗e⃗n=0\vec e \mathop{\vec e}\limits^. = \vec e \vec e_n = 0ee.=een=0, 即相互垂直，e⃗\vec ee求导得到的向量大小为角速度的大小。

re⃗r\vec ere 求导

如果是标量乘以矢量求导，则遵循求导的乘法法则，证明如下：
dre⃗dt=lim⁡Δt→0r(t+Δt)e⃗(t+Δt)−r(t)e⃗(t)Δt=lim⁡Δt→0r(t+Δt)e⃗(t+Δt)−r(t+Δt)e⃗(t)+r(t+Δt)e⃗(t)−r(t)e⃗(t)Δt+=lim⁡Δt→0r(t+Δt)[e⃗(t+Δt)−e⃗(t)]Δt+lim⁡Δt→0e⃗[r(t+Δt)−r(t)]Δt=re⃗.+r.e⃗\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}r \vec e}{\mathrm{d}t} &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(t + \Delta t)\ \vec e(t +\Delta t) - r(t) \ \vec e(t)}{\Delta t} \\ & = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(t + \Delta t)\ \vec e(t + \Delta t) - r(t + \Delta t)\ \vec e(t) + r(t + \Delta t)\ \vec e(t) - r(t) \ \vec e(t)}{\Delta t} + \\ & = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{r(t + \Delta t)[\vec e(t + \Delta t) - \vec e(t)]}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec e [r(t + \Delta t) - r(t)]}{\Delta t} \\ & = r \mathop{\vec e}\limits^. + \mathop{r}\limits^. \vec e \end{aligned} dtdre=Δt→0limΔtr(t+Δt) e(t+Δt)−r(t) e(t)=Δt→0limΔtr(t+Δt) e(t+Δt)−r(t+Δt) e(t)+r(t+Δt) e(t)−r(t) e(t)+=Δt→0limΔtr(t+Δt)[e(t+Δt)−e(t)]+Δt→0limΔte[r(t+Δt)−r(t)]=re.+r.e

进一步展开变换，我们可以得到
dr⃗dt=dre⃗dt=r.e⃗+re⃗.=r.(cosθ(t)i⃗+sinθ(t)j⃗)+r(−sinθ(t)i⃗+cosθ(t)j⃗)θ.=r.e⃗+rθ.e⃗n\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}\ r \vec e}{\mathrm{d}t} \\ & = \mathop{r}\limits^. \vec e + r \mathop{\vec e}\limits^. \\ & = \mathop{r}\limits^.( cos\theta(t) \vec i+ sin\theta(t) \vec j) + r(-sin\theta (t)\vec i + cos\theta(t)\vec j) \mathop{\theta}\limits^. \\ & = \mathop{r}\limits^. \vec e + r \mathop{\theta}\limits^. \vec e_n \end{aligned} dtdr=dtd re=r.e+re.=r.(cosθ(t)i+sinθ(t)j)+r(−sinθ(t)i+cosθ(t)j)θ.=r.e+rθ.en
这说明任意一个矢量求导后得到的也是一个矢量，而且这个矢量可以分解两个矢量，一个方向和被求导矢量的方向一致，另一个方向与被求导矢量的方向垂直（至于垂直于哪个方向，找一个邻近的矢量相减一下，得到的矢量的方向就是其大致方向，或者简单说指向凹侧，或者通过叉乘判断），大小分别为 r⃗.\mathop{\vec r}\limits^.r. 和 rθ.r\mathop{\theta}\limits^.rθ.。

这个 θ.\mathop{\theta}\limits^.θ. 指的是 被求导矢量 绕某个固定参照点旋转的速度，逆时针为正。

从这里我们可以知道为什么曲线运动可以看成很多个圆周运动？

首先看一下我们如何求出极短时间内偏转的 θ\thetaθ 。

如图所示，曲线运动在极短时间内可以近似于圆周运动，两条半径可以近似等长。

同时矢量可以平移，那么矢量一定可以绕任意一个固定点旋转，而且旋转情况都相同，只不过旋转速率不一定是均匀的。

自然坐标系为什么在轨迹已知的情况下会简化问题？

首先我们需要从一个角度来理解坐标系：坐标系就是先确定几个单位向量，然后任何向量都能被这几个基向量线性表出。或者说我们可以把任意一个向量分解到这几个基的方向上。

所以在已知轨迹的时候，各点的速度我们也都知道了，所以就以各点的速度矢量作为一个基，因为我们需要的加速度一般为了方便计算等其他原因只需要分解到这个基方向以及此基的垂直方向，也就是另一个基。此时如果我们仅仅把视野放在自然坐标系内，我们需要的矢量（加速度）正交分解在基上后，子向量（切向和法向）都有很好的物理含义。我们只需关注两个基的方向即可。

其实自然坐标系一直被使用在高中物理结题上，只是过于显然反而把它忽略了。

极坐标系和自然坐标系的异同

其实可以把极坐标系看成自然坐标系的一个特殊情况，只不过极坐标系除了有径向单位矢量和切向单位矢量之外，还有一个固定的参考点和极轴，作用是用来确定 θ=0\theta = 0θ=0 的位置。

应用

后一个式子的函数分别都是前一个式子的原函数，同时还得满足一个条件:
t=0,v=v0t = 0, v = v_0t=0,v=v0

写成这种变上限积分满足了两个条件，简洁又巧妙。

牛顿的建筑

运动学和动力学的小差别

运动学的参考系可任意选取的，而动力学不能，因为牛顿定律只适合惯性参考系。

科里奥利力

矢量积形式证明

矩阵形式证明

动量定理、动量守恒定律

质点动量定理

动量的定义
P⃗=mv⃗\vec P = m\vec vP=mv
从不定积分的角度看一下力和动量的关系
从力的定义出发,F⃗=dP⃗dtF⃗dt=dP⃗∫F⃗dt=∫dP⃗∫F⃗dt=P⃗(t)+C\begin{aligned} 从力的定义出发, \ \ \ \vec F &= \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t}\\\\ \vec F\mathrm{d}t &= \mathrm{d}\vec P \\ \int \vec F\mathrm{d}t &= \int \mathrm{d}\vec P \\ \int \vec F\mathrm{d}t &= \vec P(t) + C \\ \end{aligned} 从力的定义出发, FFdt∫Fdt∫Fdt=dtdP=dP=∫dP=P(t)+C
那么我们可得到一段时间内力的积分I=∫t1t2F⃗dt=∫F⃗dt∣t1t2=P⃗(t2)−P⃗(t1)I=\int_{t_1}^{t_2} \vec F \mathrm{d}t = \int \vec F \mathrm{d}t |_{t_1}^{t_2} = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) I=∫t1t2Fdt=∫Fdt∣t1t2=P(t2)−P(t1)
这就是质点的动量定理：一段时间内的冲量等于动量变化量。

动量定理在分量上有相同的表述形式。

应用

F⃗ˉ=ΔP⃗Δt=P⃗2−P⃗1t2−t1\bar{\vec F} = \frac{\Delta \vec P}{\Delta t} = \frac{\vec P_2 - \vec P_1}{t_2 - t_1}Fˉ=ΔtΔP=t2−t1P2−P1

用一根细线吊一重物，重物质量为5kg，重物下再系一根同样的细线，细线只能经到起70N的拉力，现在突然瞬时用力向下拉一下下面的线，设此力最大值为50N，则（D）

A.上面的线先断 B.两根线一起断 C.下面的线先断 D.两根线都不断

解析：作用时间很短，由动量定理，物体的动量几乎不变，所以物体位移很小，因此上边绳子的形变量很小，没达到 70N的作用力，所以不会断。
下面绳子只受到 50N的拉力，也不会断。但是如果要缓慢拉下面绳子结果就不同了。上面绳子会断。

质点系动量定理

思路

系统中的某个质点所受的合力可以分成两部分，一部分是合外力，另一部分是质点系内其他质点对该质点的合内力。

由牛顿第三定律可知，两个系统内质点对对方施加的内力大小相同且方向相反，那么质点系的内力和可以两两抵消。所以质点系受力之和就是质点系合外力。

同时我们用动量对时间的导数表示力，然后求和，可以得到总动量对时间的导数，也等于质点系合外力。

设有一个含 nnn 个质点的质点系。

质点系内力和为零，F⃗i\vec F_iFi 指每个质点受到的合力， P⃗i\vec P_iPi 指每个质点的动量。

F⃗合=∑i=1nF⃗i=∑i=1n(F⃗i外+∑j=1j≠inf⃗ij)=F⃗外=∑i=1ndP⃗idt=d∑i=1nP⃗idt=dP⃗dt\begin{aligned} \vec F_合 &= \sum_{i = 1}^n \vec F_i = \sum_{i = 1}^n(\vec F_{i外} + \sum_{j = 1 \atop j \not=i}^n \vec f_{ij}) = \vec F_{外}\\ &= \sum_{i = 1}^n \frac{\mathrm{d}\vec P_{i}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\sum_{i = 1}^n \vec P_{i}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t} \end{aligned} F合=i=1∑nFi=i=1∑n(Fi外+j=ij=1∑nfij)=F外=i=1∑ndtdPi=dtd∑i=1nPi=dtdP
所以
F⃗外=dP⃗dt\vec F_外 = \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t}\\ F外=dtdP
积分形式为
I=∫t1t2F⃗外dt=∫F⃗外dt∣t1t2=P⃗(t2)−P⃗(t1)I=\int_{t_1}^{t_2} \vec F_外 \mathrm{d}t = \int \vec F_外 \mathrm{d}t |_{t_1}^{t_2} = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) I=∫t1t2F外dt=∫F外dt∣t1t2=P(t2)−P(t1)
由此，我们得到质点系的动量定理：质点系的动量增量等于质点系所受合外力的冲量。

当质点系所受的合外力为0，即 F⃗合=0\vec F_合 = 0F合=0
dP⃗dt=0\frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t} = 0 dtdP=0P⃗=C⃗\vec P = \vec C P=C
此时系统总动量保持不变，从而得到 动量守恒定律。

分量式具有相同的表达形式。

相对 同一惯性系 使用动量守恒定律。

在非惯性系中使用动量定理需要考虑惯性力的冲量。

质心相关定理

质心定义

质心的定义与坐标原点的选择有关。

质心包含两个信息，一个是质心的位置，另一个是质心含有的质量。

离散质点系的质心

质心的位置其实是在空间上位置矢量的加权平均，指标为质量大小。
mc=∑mi，r⃗c=∑r⃗imi∑mim_c= \sum m_i，\vec r_c = \frac{\sum \vec r_i m_i}{\sum m_i} mc=∑mi，rc=∑mi∑rimi
至于为什么把加权平均定义为质心，因为这样定义的质心具有很好的性质。具体性质见 质心运动定理 和 质心动量定理。

质量连续分布的物体的质心

物体质量为 m，质心位移矢量为
r⃗c=∫d⃗mm=∭Vρr⃗dV∭VρdV\vec r_c = \frac{\int \vec \mathrm{d}m}{m} =\frac{ \iiint\limits_V \rho \vec r\mathrm{d}V}{\iiint\limits_V \rho\mathrm{d}V} rc=m∫dm=V∭ρdVV∭ρrdV

质心运动定理

预备知识：

质心的定义
(af(x))(n)=af(n)(af(x))^{(n)} = af^{(n)}(af(x))(n)=af(n)
求导加法法则的正逆应用

F⃗外\vec F_外F外是质点系所受合外力。
F⃗外=dP⃗dt=d(∑miv⃗i)dt=∑d(miv⃗i)dt=∑mid2r⃗idt2=∑d2(mir⃗i)dt2=d2(∑mir⃗i)dt2=d2(mcr⃗c)dt2=mcdr⃗cdt2=mcac\begin{aligned} \vec F_外 &= \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t}\\\\ &= \frac{\mathrm{d}(\sum m_ i\vec v_i)}{\mathrm{d}t}\\\\ &= \sum \frac{\mathrm{d}(m_i\vec v_i)}{\mathrm{d}t}\\\\ &= \sum m_i \frac{\mathrm{d}^2\vec r_i}{\mathrm{d}t^2}\\\\ &= \sum\frac{\mathrm{d}^2(m_i\vec r_i)}{\mathrm{d}t^2}\\\\ &= \frac{\mathrm{d}^2(\sum m_i\vec r_i)}{\mathrm{d}t^2}\\\\ &= \frac{\mathrm{d}^2(m_c\vec r_c)}{\mathrm{d}t^2}\\\\ &= m_c\frac{\mathrm{d}\vec r_c}{\mathrm{d}t^2}\\\\ &= m_ca_c \end{aligned} F外=dtdP=dtd(∑mivi)=∑dtd(mivi)=∑midt2d2ri=∑dt2d2(miri)=dt2d2(∑miri)=dt2d2(mcrc)=mcdt2drc=mcac

所以当合外力为 0 时，质心的运动状态保持不变。

此外，如果质点系平动(什么是平动？)，那么可以用质心的运动来代表质点系内其他质点的运动。

质心动量定理

F⃗外=mcac=mcdvcdt=dPcdt\vec F_外 = m_ca_c = m_c\frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}P_c}{\mathrm{d}t} F外=mcac=mcdtdvc=dtdPc
所以
∫t1t2F⃗外dt=P⃗c(t2)−P⃗c(t2)\int_{t_1}^{t_2} \vec F_外 \mathrm{d}t = \vec P_c(t_2) - \vec P_c(t_2) ∫t1t2F外dt=Pc(t2)−Pc(t2)

动能定理

功的定义

W=∫LF⃗ds⃗W = \int_L \vec F \mathrm{d}\vec s W=∫LFds

质点动能定理

对一个质量为 mmm，速度为 vvv 的质点定义动能
Ek=12mv⃗2E_k = \frac{1}{2} m\vec v^2 Ek=21mv2
两边对时间求导
dEkdt=mv⃗dv⃗dtdEkdt=F⃗v⃗\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} &= m\vec v\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t}\\\\ \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} &= \vec F \vec v \end{aligned} dtdEkdtdEk=mvdtdv=Fv
接下来以二维空间为例，建立不随时间运动的直角坐标系，因此我们可以得到
F⃗(t)=Fx(t)i⃗+Fy(t)j⃗v⃗(t)=vx(t)i⃗+vy(t)j⃗\begin{aligned} \vec F(t) &= F_x(t) \vec i + F_y(t) \vec j \\\\ \vec v(t) &= v_x(t) \vec i + v_y(t) \vec j \end{aligned} F(t)v(t)=Fx(t)i+Fy(t)j=vx(t)i+vy(t)j
从而得到
dEkdt=Fx(t)vx(t)+Fy(t)vy(t)Ek=∫[Fx(t)vx(t)+Fy(t)vy(t)]dt\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} = F_x(t)v_x(t) + F_y(t)v_y(t)\\ E_k = \int[F_x(t)v_x(t) + F_y(t)v_y(t)]\mathrm{d}t dtdEk=Fx(t)vx(t)+Fy(t)vy(t)Ek=∫[Fx(t)vx(t)+Fy(t)vy(t)]dt
所以根据牛顿莱布尼茨公式我们可以得到
∫LF⃗ds⃗=∫LFxdx+∫LFydy=∫αβFx(t)x′(t)dt+∫αβFy(t)y′(t)dt=∫αβ[Fx(t)vx(t)dt+Fy(t)vy(t)]dt=∫[Fx(t)vx(t)dt+Fy(t)vy(t)]dt∣αβ=Ek(β)−Ek(α)\begin{aligned} \int_L \vec F\mathrm{d}\vec s &= \int_L F_x\mathrm{d}x + \int_L F_y\mathrm{d}y\\\\ &= \int_\alpha^\beta F_x(t)x'(t)\mathrm{d}t + \int_\alpha^\beta F_y(t)y'(t)\mathrm{d}t\\\\ &= \int_\alpha^\beta [F_x(t)v_x(t)\mathrm{d}t + F_y(t)v_y(t)]\mathrm{d}t\\\\ &= \int [F_x(t)v_x(t)\mathrm{d}t + F_y(t)v_y(t)]\mathrm{d}t |_\alpha^\beta\\\\ &= E_k(\beta) - E_k(\alpha)\\\\ \end{aligned} ∫LFds=∫LFxdx+∫LFydy=∫αβFx(t)x′(t)dt+∫αβFy(t)y′(t)dt=∫αβ[Fx(t)vx(t)dt+Fy(t)vy(t)]dt=∫[Fx(t)vx(t)dt+Fy(t)vy(t)]dt∣αβ=Ek(β)−Ek(α)其中t从α单调变化到β时，质点从L的起点运动到终点；第一行到第二行用了一个定理（工数P139）。其中 t 从 \alpha 单调变化到 \beta时，质点从L 的起点运动到终点；\\ 第一行到第二行用了一个定理（工数P139）。其中t从α单调变化到β时，质点从L的起点运动到终点；第一行到第二行用了一个定理（工数P139）。
至此，我们就得到了质点的动能定理：一段时间内质点动能的增量等于质点合外力在这段时间内所做的功。

当合外力为 0⃗\vec 00 时，质点的动能保持不变。

质点系动能定理

设有一个含有 nnn 个质点的质点系。

F⃗i外\vec F_{i外}Fi外为某个质点所受外力，fijf_{ij}fij 为系内质点iii 受到系内质点jjj 的作用力, LiL_iLi 是质点iii 的路径。

由质点的动能定理有
ΔEki=∫LiF⃗i外ds⃗i+∑j=1j≠in∫Lif⃗ijds⃗i\Delta E_{ki} = \int_{Li}\vec F_{i外}\mathrm{d}\vec s_i + \sum_{j = 1 \atop j \not= i}^n\int_{L_i}\vec f_{ij}\mathrm{d}\vec s_i ΔEki=∫LiFi外dsi+j=ij=1∑n∫Lifijdsi
记
Ai=∫LiF⃗i外ds⃗iA_i = \int_{L_i}\vec F_{i外}\mathrm{d}\vec s_i\\ Ai=∫LiFi外dsiAij=∫Lif⃗ijds⃗iA_{ij} = \int_{L_i}\vec f_{ij}\mathrm{d}\vec s_i Aij=∫Lifijdsi
所以总动能变化量为
∑i=1nΔEk=∑i=1nAi+∑i=1n∑j=1j≠inAij\sum_{i = 1}^{n}\Delta E_k = \sum_{i = 1}^n A_i + \sum_{i=1}^n\sum_{j = 1 \atop j \not= i}^nA_{ij} i=1∑nΔEk=i=1∑nAi+i=1∑nj=ij=1∑nAijΔEk=Aout+Ain\Delta E_k = A_{out} + A_{in} ΔEk=Aout+Ain
由此我们得到了质点系的动能定理。

与质点系的动量定理不同，内力会对总动能产生影响。

机械能守恒定律

保守力

如果一个力做的功只和路径的起点和终点有关，那么称这个力为 保守力。

数学表达如下
∫L1F⃗dr⃗=∫L2F⃗dr⃗其中L1，L2起点和终点相同。\int_{L_1} \vec F\ \mathrm{d}\vec r = \int_{L_2} \vec F\ \mathrm{d}\vec r\\ 其中L_1，L_2起点和终点相同。 ∫L1F dr=∫L2F dr其中L1，L2起点和终点相同。

因为可以在任何闭合曲线上取两个不同的点，把曲线分成两条同起点终点的路径。同时第二类曲线积分还有这个性质:∫−LF⃗dr⃗=−∫LF⃗dr⃗\int_{-L} \vec F \ \mathrm{d}\vec r = -\int_L \vec F \ \mathrm{d}\vec r∫−LF dr=−∫LF dr
我们设 Ar0rA_{r_0r}Ar0r 为质点从 r0r_0r0 运动到 rrr 保守力做的功，我们可以证明（思路很简单，假设质点从 r1r_1r1 运动到 r2r_2r2，路径为 LLL ，做的功为 Ar1r2=∫LF⃗dr⃗A_{r_1r_2} = \int_L \vec F\mathrm{d}\vec rAr1r2=∫LFdr，然后在保守力场不变的情况下原路返回，由上面提到的线积分性质可以得到：原路返回保守力做的功为 ∫−LF⃗dr⃗=−∫LF⃗dr⃗\int_{-L} \vec F \ \mathrm{d}\vec r =- \int_{L} \vec F \ \mathrm{d}\vec r∫−LF dr=−∫LF dr ；再由保守力做功与路径无关的性质可以得到 Ar2r1=∫−LF⃗dr⃗=−Ar1r2A_{r_2r_1} = \int_{-L} \vec F \ \mathrm{d}\vec r = -A_{r_1r_2}Ar2r1=∫−LF dr=−Ar1r2）Ar1r2=−Ar2r1A_{r_1r_2} = -A_{r_2r_1}Ar1r2=−Ar2r1 也就是把起点和终点互换后（与路径无关），保守力做的功代数和为 000。

所以保守力沿闭合曲线做的功为0：
∮LF⃗dr⃗=0\oint_L \vec F \ \mathrm{d}\vec r = 0 ∮LF dr=0

我们来看一个典型的保守力：有心力。有心力是指任何一点 PPP 处的力 F⃗\vec FF 所在直线都经过同一个点 OOO，且 F⃗\vec FF 的大小是 r⃗=OP⃗\vec r = \vec {OP}r=OP 的函数，即
F⃗=f(r)e⃗r\vec F = f(r)\vec e_r F=f(r)er
接下来我们进行证明。设 OOO 为参考点，质点受到有心力 F⃗\vec FF ，运动轨迹为 L:r⃗=r⃗(t)L: \vec r = \vec r(t)L:r=r(t)，起点 AAA ，终点 BBB。则
AAB=∫Lf(r)e⃗rdr⃗=∫tAtBf(r)e⃗rr⃗.dt=∫tAtBf(r)r.dt=∫r(tA)r(tB)f(r)dr=F(r(tB))−F(r(tA))A_{AB} = \int_L f(r)\vec e_r\ \mathrm{d}\vec r = \int_{t_A}^{t_B} f(r)\vec e_r \mathop{\vec r}\limits^{.}\mathrm{d}t = \int_{t_A}^{t_B} f(r)\mathop{r}\limits^.\mathrm{d}t = \int_{r(t_A)}^{r(t_B)}f(r)\mathrm{d}r \\ =F(r(t_B)) - F(r(t_A)) AAB=∫Lf(r)er dr=∫tAtBf(r)err.dt=∫tAtBf(r)r.dt=∫r(tA)r(tB)f(r)dr=F(r(tB))−F(r(tA))
可见功的大小只与起点和终点相关，而与路径无关。

用到的性质有

第二类曲线积分的参数形式求法；
e⃗r(t)⋅r⃗′(t)=e⃗r⋅dre⃗rdt=e⃗r⋅(r.e⃗+re⃗r.)=r.\vec e_r(t) \cdot \vec r\ '(t) = \vec e_r \cdot \frac{\mathrm{d}r\vec e_r}{\mathrm{d}t} = \vec e_r \cdot (\mathop{r}\limits^.\vec e +r \mathop{\vec e_r}\limits^.) = \mathop{r}\limits^. er(t)⋅r ′(t)=er⋅dtdrer=er⋅(r.e+rer.)=r.

势场

保守力做的功可用一个单值标量场的差表示，即
（r⃗1,r⃗2分别是L的起点和终点\vec r_1, \vec r_2 分别是L的起点和终点r1,r2分别是L的起点和终点）
Ar1r2=∫LF⃗dr⃗=V(r⃗1)−V(r⃗2)A_{r_1r_2} = \int_L \vec F\ \mathrm{d}\vec r = V(\vec r_1) - V(\vec r_2) Ar1r2=∫LF dr=V(r1)−V(r2)
证明的思路就是把这个标量场函数找出来

V(r⃗)=V0−Ar0rV(\vec r) = V_0 - A_{r_0r} V(r)=V0−Ar0r
同时由保守力做功与路径无关的性质和 AAA 可得
Ar1r2=Ar1r0+Ar0r2A_{r_1r_2} = A_{r_1r_0} + A_{r_0r_2} Ar1r2=Ar1r0+Ar0r2
所以
V(r⃗1)−V(r⃗2)=V0−Ar0r1−(V0−Ar0r2)=Ar1r0+Ar0r2=Ar1r2\begin{aligned} V(\vec r_1) - V(\vec r_2) &= V_0 - A_{r_0r_1} -(\ V_0 - A_{r_0r_2})\\\\ &= A_{r_1r_0} + A_{r_0r_2}\\\\ &= A_{r_1r_2} \end{aligned} V(r1)−V(r2)=V0−Ar0r1−( V0−Ar0r2)=Ar1r0+Ar0r2=Ar1r2

我们引入这个标量函数 V(x⃗)V(\vec x)V(x) 并称为势场。

V0=V(r⃗0)V_0 = V(\vec r_0)V0=V(r0)，当我们令 V0=0V_0 = 0V0=0 时，我们就选择了 r⃗0\vec r_0r0 作为零势能参考点。

方向导数

n⃗\vec nn 为单位方向向量，则方向导数可表示如下
∂u∂l=▽u⋅n⃗\frac{\partial u}{\partial l} = \triangledown u \cdot \vec n ∂l∂u=▽u⋅n

梯度定理

梯度定理：一个可微标量函数 u(x⃗)u(\vec x)u(x) 的梯度延任何路径从起点 xix_ixi 到终点 xfx_fxf（角标 iii 表示 initial， fff 表示 final）。第二类线积分的结果等于该函数在末位置的函数值减去初位置的函数值．可以用下式表示
∫xixf▽udx⃗=u(xf)−u(xi)\int _{x_i}^{x_f} \triangledown u \ \mathrm{d}\vec x = u(x_f) - u(x_i) ∫xixf▽u dx=u(xf)−u(xi)

接下来证明该公式。

我们把 (x1,⋯,xn)(x_1, \cdots , x_n)(x1,⋯,xn) 记作 x⃗\vec xx；
λ=max⁡0≤i≤n{∣x⃗i+1−x⃗i∣}\lambda = \max\limits_{0 \le i \le n}\{|\vec x_{i+1} - \vec x_i|\}λ=0≤i≤nmax{∣xi+1−xi∣}；
ξ⃗i∈ΔLi\vec \xi_i \in \Delta L_iξi∈ΔLi，其中我们用小线段 x⃗i+1−x⃗i\vec x_{i+1}- \vec x_ixi+1−xi 近似代替小曲线 ΔLi\Delta L_iΔLi；
把 du=∑i=1n∂u∂xidxi\mathrm{d}u = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\mathrm{d}x_idu=∑i=1n∂xi∂udxi 记作 du=▽u⋅dx⃗\mathrm{d}u = \triangledown u \cdot\mathrm{d}\vec xdu=▽u⋅dx；
Δu=▽u⋅dx⃗+o(∣dx⃗∣)=du+o(∣dx⃗∣)\Delta u = \triangledown u \cdot \mathrm{d}\vec x + o(|\mathrm{d}\vec x|) = \mathrm{d}u + o(|\mathrm{d}\vec x|)Δu=▽u⋅dx+o(∣dx∣)=du+o(∣dx∣)。

那么有
∫x⃗ix⃗f▽u⋅dx⃗=lim⁡λ→0∑i=0n▽u(ξ⃗i)⋅(x⃗i+1−x⃗i)=lim⁡λ→0∑i=0n[u(x⃗i+1)−u(x⃗i)−o(∣dx⃗∣)]=lim⁡λ→0[u(x⃗i+1)−u(x⃗i)−o(∣dx⃗∣)]=u(x⃗n+1)−u(x⃗0)=u(x⃗f)−u(x⃗i)\begin{aligned} \int_{\vec x_i}^{\vec x_f} \triangledown u \cdot \mathrm{d}\vec x &= \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 0}^n\ \triangledown u(\vec\xi_i)\cdot(\vec x_{i+1} - \vec x_i) \\\\ &=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 0}^n\ [\ u(\vec x_{i+1}) - u(\vec x_i) - o(|\mathrm{d}\vec x|)\ ] \\\\ &= \lim_{\lambda \to 0}\ [\ u(\vec x_{i+1}) - u(\vec x_i) - o(|\mathrm{d}\vec x|)\ ] \\\\ &= u(\vec x_{n+1}) -u(\vec x_0) \\\\ &= u(\vec x_{f}) -u(\vec x_i) \end{aligned} ∫xixf▽u⋅dx=λ→0limi=0∑n ▽u(ξi)⋅(xi+1−xi)=λ→0limi=0∑n [ u(xi+1)−u(xi)−o(∣dx∣) ]=λ→0lim [ u(xi+1)−u(xi)−o(∣dx∣) ]=u(xn+1)−u(x0)=u(xf)−u(xi)

我们对势函数应用梯度定理
∫rirf▽Vdr⃗=V(rf)−V(ri)\int _{r_i}^{r_f} \triangledown V \ \mathrm{d}\vec r = V(r_f) - V(r_i) ∫rirf▽V dr=V(rf)−V(ri)
势函数和保守力做功的关系有
Ar1r2=∫rirfF⃗dr⃗=V(r⃗i)−V(r⃗f)A_{r_1r_2} = \int_{r_i}^{r_f} \vec F\ \mathrm{d}\vec r = V(\vec r_i) - V(\vec r_f) Ar1r2=∫rirfF dr=V(ri)−V(rf)
所以
F⃗=−▽V\vec F = -\triangledown V F=−▽V
也就是说保守力的方向是对应的势能场的函数值下降最快的方向。

由梯度求势函数

由梯度定理可得
∫r0r▽Vdr⃗=V(r)−V(r0)\int _{r_0}^{r} \triangledown V \ \mathrm{d}\vec r = V(r) - V(r_0) ∫r0r▽V dr=V(r)−V(r0)
所以
V(r)=V(r0)+∫r0r▽Vdr⃗=V(r0)−∫r0rF⃗dr⃗\begin{aligned} V(r) &= V(r_0)+\int_{r_0}^r \triangledown V \mathrm{d}\vec r\\ &= V(r_0) - \int _{r_0}^r \vec F\ \mathrm{d}\vec r \end{aligned} V(r)=V(r0)+∫r0r▽Vdr=V(r0)−∫r0rF dr
因此如果要求势函数，我们可以先确定一点势能参考点 r0r_0r0 （也就是 V(r0)V(r_0)V(r0) 已知），然后求从 r0r_0r0 到任意某个点 rrr 保守力做的功，然后相减便得到某一点的势能。

质点角动量和角动量定理

角动量是描述质点运动的另一个重要物理量。之所以重要，是因为它在某些条件下满足守恒定律，简化问题。

定义

质点到某一固定点的矢径为 r⃗\vec rr，具有动量 P⃗\vec PP，则定义角动量
L⃗=r⃗×P⃗\vec L = \vec r \times \vec PL=r×P（至于为什么这样定义，个人认为更自然的定义可以参见刚体旋转部分的解释，而这里这样定义的好处是可以很自然地推导出一系列的结论，比如推出力矩；从方向上看，角动量的方向实际上是过参考点转轴的方向）

力矩和角动量定理

我们知道，质点的线动量变化率是由合外力决定的，或者说对于单个质点，我们定义 F⃗=dP⃗dt\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t}F=dtdP。同样，我们可以类比，看一下到底是什么在影响角动量的变化率，或者给角动量的变化率定义一个新概念。接下来我们就推导一下。
dL⃗dt=d(r⃗×p⃗)dt=r⃗×dp⃗dt+dr⃗dt×p⃗\frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(\vec r\times \vec p) }{\mathrm{d}t} =\vec r \times \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} \times \vec p dtdL=dtd(r×p)=r×dtdp+dtdr×p
注意 r⃗×dp⃗dt=r⃗×F⃗\vec r \times \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} = \vec r \times \vec Fr×dtdp=r×F，而 dr⃗dt×p⃗=v⃗×p⃗=0⃗\frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} \times \vec p = \vec v \times \vec p = \vec 0dtdr×p=v×p=0（因为速度和动量方向相同，叉乘为零向量）

所以我们得到
r⃗×F⃗=dL⃗dt\vec r \times \vec F = \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} r×F=dtdL

定义力矩
M⃗=r⃗×F⃗\vec M = \vec r \times \vec F M=r×F
力矩这个概念的出现帮助我们更简单地处理转动问题，因为从数学上看，叉乘之后 M⃗=r⃗×(F⃗n+F⃗τ)=r⃗×F⃗τ\vec M = \vec r \times (\vec F_n + \vec F_\tau) = \vec r \times \vec F_\tauM=r×(Fn+Fτ)=r×Fτ，有心力的作用就被消除了（当物体只受有心力时的运动是一种稳态，也就是做圆周或者椭圆运动），这样方便我们分析影响稳态的其他因素，也就是除有心力之外的其他力。

最终我们得到 角动量量定理
M⃗=dL⃗dt\vec M = \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} M=dtdL

进而，我们也得到了 质点的角动量守恒：当质点不受合外力矩时，角动量不变。

同时我们可以得到角动量定理的另一种表现形式：不受外力矩作用的质点的 掠面速度 不变（可类比不受合外力物体速度保持不变），在天文上则体现为 开普勒第二定律。

接下来进行证明：

质点不受外力矩，那么角动量的大小和方向都不变，从角动量和动量或者速度的关系可以知道，物体一定在一个平面内运动。（可以用反证法，如果物体不在一个平面内运动，那么与运动平面垂直的角动量方向就会改变，也就不守恒了。）

我们来定义一下掠面速度。
s=lim⁡Δt→0ΔSΔt=dSdts = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} s=Δt→0limΔtΔS=dtdS
掠面速度的另一种等价描述（从积分的角度来定义）
S=∫t0tsdtS = \int_{t_0}^t s\ \mathrm{d}t S=∫t0ts dt

那么这个 ΔS\Delta SΔS 具体是什么形式呢？否则我们也没办法计算呀。这里可以先说出来，我们需要证明在很短时间内的 ΔS\Delta SΔS 可近似为 12r∣Δr⃗∣sin⁡α\frac12 r|\Delta \vec r|\sin \alpha21r∣Δr∣sinα。为什么要近似成这样？因为这样近似之后我们可以很自然地证明出开普勒第二定律。

首先我们夸张点，如上图，质点从左到右运动，也就是从 r⃗1\vec r_1r1 运动得到 r⃗2\vec r_2r2。

那么橙色弧线和矢径围成的面积就是精确的面积，我们设为 ΔS\Delta SΔS。

再看一下两个近似极端（近似的方法是把实际的面积看成是小扇形的面积，因为我们能够精算计算小扇形的面积），红色弧线围成的面积我们设为 ΔSsmall\Delta S_{small}ΔSsmall，蓝色弧线围成的面积我们设为 ΔSbig\Delta S_{big}ΔSbig。

最后我们设绿色边围成的三角形面积为 ΔStriangle\Delta S_{triangle}ΔStriangle。

再设一下较短矢径为 r⃗1\vec r_1r1，较长矢径为 r⃗2\vec r_2r2，绿线与左侧黄线的较小夹角为 α′\alpha'α′，r1r_1r1 处矢径和速度的夹角为 α\alphaα，质点绕定点转过的角度为 Δθ\Delta \thetaΔθ，那么我们可以得到
ΔSsmall=Δθ2ππr12=12r12Δθ\Delta S_{small} = \frac{\Delta \theta}{2\pi}\pi r_1^2 = \frac12 r_1^2 \Delta \theta ΔSsmall=2πΔθπr12=21r12ΔθΔSbig=Δθ2ππr22=12r22Δθ\Delta S_{big} = \frac{\Delta \theta}{2\pi}\pi r_2^2 = \frac12 r_2^2 \Delta \theta ΔSbig=2πΔθπr22=21r22Δθ ΔStriangle=12r1∣Δr⃗∣sin⁡α′\Delta S_{triangle} = \frac12 r_1 |\Delta \vec r|\sin \alpha' ΔStriangle=21r1∣Δr∣sinα′
有两点需要注意
r⃗2→r⃗1，Δt→0\vec r_2 \to \vec r_1，\Delta t \to 0 r2→r1，Δt→0α′→α，Δt→0\alpha' \to \alpha，\Delta t \to 0 α′→α，Δt→0
所以
lim⁡Δt→0ΔSsmallΔt=lim⁡Δt→0ΔSbigΔt=12r⃗12ω\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S_{small}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S_{big}}{\Delta t} = \frac12\vec r_1^2\omega Δt→0limΔtΔSsmall=Δt→0limΔtΔSbig=21r12ωlim⁡Δt→0ΔStriangleΔt=12r1vsin⁡α=12r⃗12ω\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S_{triangle}}{\Delta t} = \frac12r_1v\sin \alpha = \frac12\vec r_1^2\omega Δt→0limΔtΔStriangle=21r1vsinα=21r12ω
有一个地方需要我们注意，v=rωv = r\omegav=rω 针对的是圆周运动，也就是说知道质点相对某个定点角速度（ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt\omega = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t}ω=Δt→0limΔtΔθ）和质点离此定点的距离，用公式求得的速度大小并不是物体的实际速度大小（浅绿色矢量，对应上面的 vvv），而是以此距离做圆周运动的速度大小（深绿色矢量，对应上面的 vsin⁡αv\sin\alphavsinα）。根本原因在于 v=rωv = r\omegav=rω 是从圆周运动上推导出来的。

因为
ΔSsmallΔt<ΔStriangleΔt<ΔSΔt<ΔSbigΔt\frac{\Delta S_{small}}{\Delta t} < \frac{\Delta S_{triangle}}{\Delta t} < \frac{\Delta S}{\Delta t} < \frac{\Delta S_{big}}{\Delta t} ΔtΔSsmall<ΔtΔStriangle<ΔtΔS<ΔtΔSbig
由夹逼定理可知，当 Δt→0\Delta t \to 0Δt→0 时，上面四个表达式的极限相同，均表示瞬时掠面速度。因此我们可以用 lim⁡Δt→0ΔStriangleΔt=12rvsin⁡α\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S_{triangle}}{\Delta t} = \frac12rv\sin \alphaΔt→0limΔtΔStriangle=21rvsinα 来计算 lim⁡Δt→0ΔSΔt\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}Δt→0limΔtΔS。矢量形式为 s⃗=12r⃗×v⃗\vec s = \frac12 \vec r \times \vec vs=21r×v

接下来终于可以开始 证明开普勒第二定律 了
L=rpsin⁡α=2m⋅12rvsin⁡α=2msL = rp\sin \alpha = 2m\cdot \frac12rv\sin \alpha = 2ms L=rpsinα=2m⋅21rvsinα=2ms
如果质点所受合外力矩为零，那么角动量守恒，掠面速度也不会改变。

这里给出 v=rωv = r\omegav=rω 的严格推导：

质点做半径为 rrr 的圆周运动，在 Δt\Delta tΔt 时间内，我们设 Δs\Delta sΔs 是质点走过的一小段弧长，Δr⃗\Delta \vec rΔr 是质点的一小段位移。
Δs=rΔθ，由正弦定理得∣Δr⃗∣=2rsin⁡Δθ2\begin{aligned} \Delta s = r\Delta \theta，由正弦定理得|\Delta \vec r| = 2r\sin \frac{\Delta \theta}2 \end{aligned} Δs=rΔθ，由正弦定理得∣Δr∣=2rsin2Δθ
我们很容易得到
lim⁡Δt→0ΔsΔt=rθ′\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} = r\theta' Δt→0limΔtΔs=rθ′
但 lim⁡Δt→0ΔsΔt\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}Δt→0limΔtΔs并不是 v⃗\vec vv 的定义，也就不严格相等。接下来我们要判断 lim⁡Δt→0∣Δr⃗∣Δt=∣v⃗∣=rθ′\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta \vec r| }{\Delta t} =| \vec v |= r\theta'Δt→0limΔt∣Δr∣=∣v∣=rθ′ 是不是也成立呢？如果成立的话 v=rωv =r\omegav=rω 才算严格成立，也就满足以直代曲。（我们从概念入手很容易得到 ∣lim⁡Δt→0Δr⃗Δt∣=lim⁡Δt→0∣Δr⃗∣Δt=∣v⃗∣|\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}| =\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta \vec r| }{\Delta t} = |\vec v|∣Δt→0limΔtΔr∣=Δt→0limΔt∣Δr∣=∣v∣。）

接下来我们就来证明看看（主要用到三角函数展开和复合函数求导）
lim⁡Δt→0∣Δr⃗∣Δt=lim⁡Δt→02rsin⁡θ(t+Δt)−θ(t)2Δt=2rlim⁡Δt→0sin⁡θ(t+Δt)2cos⁡θ(t)2−cos⁡θ(t+Δt)2sin⁡θ(t)2Δt=2rlim⁡Δt→0sin⁡θ(t+Δt)2cos⁡θ(t)2−sin⁡θ(t)2cos⁡θ(t)2+sin⁡θ(t)2cos⁡θ(t)2−cos⁡θ(t+Δt)2sin⁡θ(t)2Δt=2r{lim⁡Δt→0cos⁡θ(t)2[sin⁡θ(t+Δt)2−sin⁡θ(t)2]Δt−lim⁡Δt→0sin⁡θ(t)2[cos⁡θ(t+Δt)2−cos⁡θ(t)2]Δt}=2r(cos⁡θ2dsin⁡θ2dθdθdt−sin⁡θ2dcos⁡θ2dθdθdt)=rdθdt\begin{aligned} \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta \vec r| }{\Delta t} &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2r \sin \frac{\theta(t+\Delta t)-\theta (t)}{2}}{\Delta t}\\\\ &= 2r \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\sin \frac{\theta(t+\Delta t)}{2}\cos\frac{\theta(t)}{2} - \cos \frac{\theta(t+\Delta t)}{2}\sin\frac{\theta(t)}{2}}{\Delta t}\\\\ &= 2r \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\sin \frac{\theta(t+\Delta t)}{2}\cos\frac{\theta(t)}{2} - \sin \frac{\theta(t)}{2} \cos \frac{\theta(t)}{2}+\sin \frac{\theta(t)}{2} \cos \frac{\theta(t)}{2}- \cos \frac{\theta(t+\Delta t)}{2}\sin\frac{\theta(t)}{2}}{\Delta t}\\\\ &= 2r\{ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\cos \frac{\theta (t)}{2}[\ \sin \frac{\theta(t+\Delta t)}2 - \sin \frac{\theta (t)}2]}{\Delta t} - \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \frac{\theta (t)}{2}[\ \cos \frac{\theta(t+\Delta t)}2 - \cos \frac{\theta (t)}2]}{\Delta t}\}\\\\ &= 2r(\cos \frac{\theta}2 \frac{\mathrm{d}\sin \frac{\theta}2}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} - \sin \frac{\theta}2 \frac{\mathrm{d}\cos \frac{\theta}2}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t})\\\\ &= r \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \end{aligned} Δt→0limΔt∣Δr∣=Δt→0limΔt2rsin2θ(t+Δt)−θ(t)=2rΔt→0limΔtsin2θ(t+Δt)cos2θ(t)−cos2θ(t+Δt)sin2θ(t)=2rΔt→0limΔtsin2θ(t+Δt)cos2θ(t)−sin2θ(t)cos2θ(t)+sin2θ(t)cos2θ(t)−cos2θ(t+Δt)sin2θ(t)=2r{Δt→0limΔtcos2θ(t)[ sin2θ(t+Δt)−sin2θ(t)]−Δt→0limΔtsin2θ(t)[ cos2θ(t+Δt)−cos2θ(t)]}=2r(cos2θdθdsin2θdtdθ−sin2θdθdcos2θdtdθ)=rdtdθ
所以 ∣v⃗∣=rω|\vec v| = r\omega∣v∣=rω 严格成立。

质点系的角动量定理

刚体力学

刚体在运动中内部点的之间的距离不会改变。刚体的运动可以分成平动和旋转。平动在上面的质点运动中已经研究，接下来我们单独研究刚体的转动。

转动相关的物理量

我们给刚体一个轴，此时我们可以用一个物理量来描述刚体的转动：刚体中每个点偏转的角度 θ\thetaθ。

进而引出 角速度 ω=dθdt\omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}ω=dtdθ，而且对于刚体中的每个点的角速度都是相同的。与速度的关系为 v⃗=ω⃗×r⃗\vec v = \vec \omega \times \vec rv=ω×r。

角加速度 α⃗=dω⃗dt\vec \alpha = \frac{\mathrm{d}\vec \omega}{\mathrm{d}t}α=dtdω。

考虑旋转刚体的动能，其中 rir_iri 指某个质点到旋转轴的距离。
Ek=12∑miv⃗i2=12∑miri2ω2=12Iω2E_k = \frac12\sum m_i\vec v_i^2 = \frac12\sum m_ir_i^2\omega^2 = \frac12I\omega^2 Ek=21∑mivi2=21∑miri2ω2=21Iω2

类比质量，我们称 J=mr2J = mr^2J=mr2 为 转动惯量。

类比 P⃗=mv⃗\vec P = m\vec vP=mv，我们得到 角动量 L⃗=Jω⃗=r⃗×P⃗\vec L = J\vec \omega = \vec r \times \vec PL=Jω=r×P。

类比 F⃗=dP⃗dt=ma⃗\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec P}{\mathrm{d}t} = m\vec aF=dtdP=ma，我们得到力矩 M⃗=dL⃗dt=Jα⃗=r⃗×F⃗\vec M = \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = J \vec \alpha = \vec r \times \vec FM=dtdL=Jα=r×F。

转动惯量

对于一个刚体，只有给定点后才能求出它的转动惯量。以下是几个典型刚体的转动惯量，质量均为 mmm。

杆长 LLL，定点为端点，I=mL23I = \frac{mL^2}{3}I=3mL2；
杆长 LLL，定点为中点（质心），I=mL212I = \frac{mL^2}{12}I=12mL2；
圆环半径为 RRR，定点为圆心（质心），I=mR2I = mR^2I=mR2；
圆盘半径为 RRR，定点为圆心（质心），I=mR22I = \frac{mR^2}{2}I=2mR2；

平行轴定理

I=Ic+md2I = I_c + md^2I=Ic+md2

可类比 柯尼希定理

角动量定理

为研究转动，需要在转动情况下找到一个守恒量。

扭矩（刚体静态平衡分析）

当刚体保持静止时，合外力为0，合外力矩也为0，此时选任一参考点计算出的合外力矩总为0。
∑Fi=0,∑Fixi=0⇒∑Fi(xi+a)=∑Fixi+a∑Fi=0\sum F_i = 0,\sum F_ix_i = 0 \Rightarrow \sum F_i(x_i+a) = \sum F_ix_i+a\sum F_i =0 ∑Fi=0,∑Fixi=0⇒∑Fi(xi+a)=∑Fixi+a∑Fi=0

对于具体问题，抽离出刚体，受力分析，取未知但不求的力所在点为参考点，列力矩平衡方程，若要求其他力或者方程不够，再列受力平衡方程。

狭义相对论

基本假设

相对性原理：物理定律对所有惯性观测者都是等价的。也就是说在不同惯性参考系的观测者可以通过实验得到相同的物理定律。
光速不变原理。

我们能够证明牛顿第二定律满足相对性原理。前提是时空绝对。不同惯性参考系对同一物体测得的位移不同，但推出的加速度是相同的，那么 ma=ma′ma = ma'ma=ma′，同时引力 F=f(x2−x1)F = f(x_2-x_1)F=f(x2−x1) 只与两个物体之间的距离有关，那么由于空间绝对，推出同一组的引力也相同，这样对于这种与距离相关的力的牛顿定律 F=maF = maF=ma 就在不同惯性系中有相同的表述。

洛伦兹变换

事件

在某组坐标系当中，我们用 (x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t) 这一时空坐标来表示某个事件的发生。

为什么时间能成为新的坐标？而事件当中的其他内容（比如你的发型等等）不是坐标分量之一？因为在狭义相对论当中，一个人和另一个人的时间和空间有了新的联系（而在伽利略变换、牛顿时空观里，不同惯性系的时间流逝是相同的，不同惯性系里测得的同一对物体之间的距离也是相同的），而且在这个新联系（其实就是洛伦兹变换）中，时间与空间有关，因此时间成为了新的坐标分量，而时间中的其他内容则没有体现这种相关性（比如你的发型并不会改变时间的流逝快慢和空间的形变）。

公式推导

在两个坐标系原点重合之时，将时钟同时清零。在蓝色坐标系下，红色坐标系向右以 uuu 速度匀速运动。（以下讨论若涉及“你”我“，”我“均在蓝色惯性系，”你“均在红色惯性系）。

我们要构造一组特殊事件来推导公式。

第一个事件：两坐标原点重合，在原点的光源发出闪光，坐标 x=0,t=0x = 0,t = 0x=0,t=0 和 x′=0,t′=0x' = 0, t' = 0x′=0,t′=0

第二个事件：在蓝色坐标系下的 ttt 时刻和红色坐标系下的 t′t't′ 时刻，有遍布 xxx 轴的光探测器在 (x,t)(x,t)(x,t) 和 (x′,t′)(x',t')(x′,t′) 检测到光。

那么有x′=γ(x−ut)x=γ(x′+ut′)\begin{aligned} x' = \gamma (x -ut)\\\\ x = \gamma (x' + u t') \end{aligned} x′=γ(x−ut)x=γ(x′+ut′)
为什么要引入 γ\gammaγ ? 因为光速对于任何惯性系都是不变的。假设我将一束光脉冲向右（我认为的你的运动方向）发射，我相对地面静止，你相对地面以 34c\frac34c43c 向右运动。按道理你测得的光速是 14c\frac14c41c，我测得的光速是 ccc，然而你测得的光速却仍然是 ccc。因为速度是由位移和时间间隔推算出来的，那么我会认为你的米尺变短了（你的单位距离相对我来说变短了，在此例中相当于光走的距离不变，你原来和我一样长的米尺缩短为我的 14\frac1441，我认为光走了1米，你却认为走了4米），或者你的时钟变慢了（你的时间流逝变慢了，我认为光走了4秒，你却认为光走了1秒）。反过来，你向左（你认为的我的运动方向）发射光脉冲，会得到我的米尺变短，我的时间变慢。我们会互相认为对方的米尺变短，时钟变慢。

以第一行公式为例，x′x'x′ 是你测得的光点的坐标，x+utx+utx+ut 是我根据我测得的光点坐标、你相对我的速度和我的时间流逝推断出的你测得的光点坐标。然而你不认同我推测出的数据，认为需要再乘上一个因子后才是正确的。

两式相乘，解得 γ=11−u2c2\gamma = \frac1{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}}γ=1−c2u21
x′=x−ut1−u2c2，t′=t−uc2x1−u2c2x' = \frac{x-ut}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}}，t' = \frac{t - \frac{u}{c^2}x}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} x′=1−c2u2x−ut，t′=1−c2u2t−c2uxx=x′+ut′1−u2c2，t=t′+uc2x′1−u2c2x = \frac{x'+ut'}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}}，t = \frac{t' + \frac{u}{c^2}x'}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} x=1−c2u2x′+ut′，t=1−c2u2t′+c2ux′

洛伦兹变换的推论和应用

使用相对论来解决问题时，要把问题看成由两个或者两个以上的事件构成，以事件的观点来描述和解决问题。接下来我们将得到一些有趣的推论。

差值形式和速度的洛伦兹变换

设有两个事件发生，比如第一个事件：在原点零时开枪，坐标 (x1,t1)(x1′,t1′)(x_1,t_1)(x_1',t_1')(x1,t1)(x1′,t1′)；第二个事件：击中墙，坐标 (x2,t2)(x2′,t2′)(x_2,t_2)(x_2',t_2')(x2,t2)(x2′,t2′)

根据洛伦兹变换
x1′=x1−ut11−u2c2，t1′=t1−uc2x11−u2c2x'_1 = \frac{x_1-ut_1}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}}，t'_1 = \frac{t_1 - \frac{u}{c^2}x_1}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} x1′=1−c2u2x1−ut1，t1′=1−c2u2t1−c2ux1x2′=x2−ut21−u2c2，t2′=t2−uc2x21−u2c2x'_2 = \frac{x_2-ut_2}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}}，t'_2 = \frac{t_2 - \frac{u}{c^2}x_2}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} x2′=1−c2u2x2−ut2，t2′=1−c2u2t2−c2ux2
相减可以得到 差值形式的洛伦兹变换
Δx′=x2′−x1′=Δx−uΔt1−u2c2\Delta x' = x_2' - x_1' = \frac{\Delta x-u\Delta t}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} Δx′=x2′−x1′=1−c2u2Δx−uΔtΔt′=t2′−t1′=Δt−uc2Δx1−u2c2\Delta t' = t_2' - t_1' = \frac{\Delta t - \frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c2}}} Δt′=t2′−t1′=1−c2u2Δt−c2uΔx
将上式相除取极限可得到 速度的洛伦兹变换
w=Δx′Δt′=Δx−uΔtΔt−uc2Δx=ΔxΔt−u1−uc2ΔxΔt=v−u1−uc2vw = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x - u\Delta t}{\Delta t - \frac{u}{c^2}\Delta x} = \frac{\frac{\Delta x}{\Delta t}-u}{1-\frac{u}{c^2}\frac{\Delta x}{\Delta t}} = \frac{v-u}{1 - \frac{u}{c^2}v} w=Δt′Δx′=Δt−c2uΔxΔx−uΔt=1−c2uΔtΔxΔtΔx−u=1−c2uvv−u

同时性不再绝对

假设有两个事件，在我看来它们同时发生，那么有 Δt=0\Delta t = 0Δt=0，但如果这两个事件不在同一地点发生，那么在你看来这两个事件的时间差 Δt′=Δt−uc2Δx1−u2c2=−uc2Δx1−u2c2≠0\Delta t' = \frac{\Delta t - \frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c^2}}} = \frac{- \frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt {1-\frac{u^2}{c^2}}} \not = 0Δt′=1−c2u2Δt−c2uΔx=1−c2u2−c2uΔx=0，也就是在你看来这两个事件没有同时发生。只有两件事同时同地发生，才会在所有惯性系看来都同时发生。

这是怎么回事呢？

有一个著名的例子：
假设你站在一辆向右匀速行驶的火车正中间，然后同时向火车两端水平发射光脉冲。

在你看来，两束光速度大小都是 ccc，发射点到两端的距离也相同，所以两束光会同时到达两端。

然而在我看来，两束光的速度大小仍然是 ccc，但火车后端与光相向而行，而前端则被光追，那么我的结论一定是光脉冲先到达后端，再到达前端。

钟慢效应

假设我拿着时钟静止，此后你上了火车随火车向右匀速运动。我们假设之后发生两个事件：第一个事件是我手里的时钟”滴“，(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)；第二个事件是我手里的时钟”答“，(0,τ0)(0,τ0′)(0,\tau_0)(0,\tau_0')(0,τ0)(0,τ0′)。

那么根据差值形式的洛伦兹变换以及时钟始终在我手里（Δx=0\Delta x = 0Δx=0），我们可以得到 τ0′=γτ0\tau_0' = \gamma \tau_0τ0′=γτ0。因为 γ>1\gamma > 1γ>1，所以 τ0′>τ0\tau'_0>\tau_0τ0′>τ0，我根据公式推出你测得的时钟间隔比我的时钟间隔大，也就是在我看来，你观测到的时钟变慢了（比如在我看来时钟滴答1秒过去，而你看到的钟还没滴答完呢，如果你接近光速运动，在你眼里，我和我手里的钟几乎就是静止的）。

同样，如果你手里拿一个钟，你会觉得我观测到的时钟变慢。

这里也有一个著名的例子：构造一块光表在你手上

你看到的表
我看到的表

那么你我看到的表的周期不同，我看到的表周期大，较慢。

对于其他种类的表也应遵循同样的规律，因为如果只有这只光表会出现周期随观测者而不同，那么我们就可以把一块其他表和光表的周期进行对比，然后可以推测出自己是运动还是静止，但我们的假设是对于惯性系中的人是无法区分是自己运动还是其他惯性系运动。

更神奇的是，你本身就是一块生物钟，你的身体也会遵循同样的规律。如果你接近光速旅行

注意钟慢效应指的是我根据公式推测出相对于我运动的你看到的我手里的钟会比我看到的我手里的钟慢。

因此静止的钟最快，相对于钟运动的惯性系看到的钟都慢了。

尺缩效应

如果你拿着一把尺子向右匀速运动，那么我看到的尺子长度比你看到的尺子长度短（我更愿意用另一种表述：我根据我测到的尺子长度推测出你测到的长度比我长，而尺子相对于你静止。而在你看来，我运动，并且你推测出我测到的尺子比你测到的尺子短）

我们可以把测量尺子看成两个事件：第一个事件，测量尺子左端坐标，(x0,t0)(x0′,t0′)(x_0,t_0)(x_0',t_0')(x0,t0)(x0′,t0′)；第二个事件，测量尺子右端坐标，(x1,t0)(x1′,t1′)(x_1,t_0)(x_1',t_1')(x1,t0)(x1′,t1′)。

对于我，虽然尺子在运动，但这两个事件同时发生，x1−x0x_1-x_0x1−x0就是我测到的尺子长度 LLL；对于你，尺子是静止的，所以不论两个事件是不是同时发生，x1′−x0′x_1'-x_0'x1′−x0′ 同样是你测到的尺子长度 L′L'L′。

根据差值形式的洛伦兹变换，L′=γLL' = \gamma LL′=γL，所以 L′>LL' > LL′>L。

一些悖论和佯谬

双生子佯谬（需要考虑加速度的影响）
倒车悖论（体现了同时性的失效）

如何利用 F=maF = maF=ma 测任意物体的质量？

随便找一个物体，定义它的质量为 1kg1kg1kg，然后找一弹簧，一段系在墙上，另一端系在这个物体上，然后拉长一定的距离，放开，测量很短时间内物体加速度，近似为瞬时加速度 aMa_MaM。

现在对我们要测质量的物体做同样的事，得到它的瞬时加速度为 aaa，那么由于弹簧拉的长度相同，所以认为力相同，那么就有 1⋅aM=ma1\cdot a_M = ma1⋅aM=ma。

静力学

库伦定律

F⃗=q1q24πϵR⃗R3\vec F = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon} \frac{\vec R}{R^3}F=4πϵq1q2R3R14πϵ=9×10−9\frac 1{4\pi \epsilon} = 9 \times 10^{-9} 4πϵ1=9×10−9

电荷守恒局部修正性

电荷守恒只能是局部的，一个系统内的电荷不能瞬移，换句话说，某个点 AAA 上的电荷突然消失，与此同时，在另外一个点 BBB 上出现。为什么呢?

由于相对论，同时性不再绝对，假设在一个惯性系 OOO 里电荷瞬移，满足上述的描述，那么在其他惯性系比如 O′O'O′，AAA 点的电荷消失和 BBB 点的电荷出现就可能不是同时的，这样的话 O′O'O′ 就不满足电荷守恒了。

因此电荷守恒而且是局域的，也就是电荷的运动可以被追踪，从一个点运动到另一个点。

电荷量子化

1.6×10−191.6\times 10^{-19}1.6×10−19

为什么所有的电子和质子都相同？答案由量子场论给出。

如何验证库伦定律

为什么两个相同的球接触后电荷会平分。假设接触后电荷可以自由流动，那么根据对称性，如果你给出一个球比另一个球电荷多的理由，我同样可以给你另一个球比这个球电荷多的原因，这样就产生了矛盾。

如何给出标准电荷？利用库伦定律，把两个电荷放置距离 1m1m1m，然后测量多大力刚好使它们保持不动，根据库伦定律就能算出电荷大小。

比较引力和库仑力的大小

选择两个基本粒子：电子和质子，计算引力和库仑力的比值。从量级上看，引力是电磁力的 10−4010^{-40}10−40 倍。引力这么小，我们怎么发现引力呢？因为电荷可以被抵消，大多数物体是中性的。

库仑力满足叠加原理

这是实验事实，在逻辑上无法得到这个结论

电场

库伦定律在电荷运动时不再生效，为什么？因为相对论限制了信息传递的速度。假设有两个相同电荷在银河系的两端，其中一个电荷在某个很短时间内远离另一个一小段距离，但实际上电场传播速度不是无限快的，所以另一个电荷受到该电荷的力不变，然而距离发生了改变，所以此时库伦定律不成立。

电场线

显然电场线能反映电场的方向，但大小呢？由疏密反映。原理很巧妙：让 qqq 库伦的点电荷发出 NqNqNq 条电场线，然后定义电场线密度为 ρ=Nq4πr2\rho = \frac {Nq}{4\pi r^2}ρ=4πr2Nq，分母是半径为 rrr 球面的面积。这个密度相对距离的衰减程度和电场力的衰减程度相同（或者说密度和电场力大小成正比），因此可以通过密度来反映电场力的大小。

+2q与−q+2q 与 -q+2q与−q

偶极子的精确解

偶极矩 p⃗=qr⃗\vec p = q\vec rp=qr，在电荷连线上电场为 E⃗≈p⃗2πϵ0x3(x>>∣p⃗∣)\vec E \approx \frac{\vec p}{2\pi \epsilon_0x^3}(x >>|\vec p|)E≈2πϵ0x3p(x>>∣p∣)

偶极子在电场

无限长均匀带电杆的电场分布

无限延伸的均匀带电平面的电场分布

高斯定理

橙色球壳为 SSS，紫色球壳为 S′S'S′

从图像上看，穿过 SSS 的电场线数目显然等于穿过 S′S'S′ 电场线的数目。

从前面可以知道电场线密度和电场大小成正比。
ρ=cE(R)\rho = cE(R) ρ=cE(R)
穿过 SSS 的电场线数目
Φs=ρS=cEs⋅4πR2\Phi_{s} =\rho S = cE_s\cdot4\pi R^2 Φs=ρS=cEs⋅4πR2
穿过 S′S'S′的电场线数目
Φs′=∯s′ρ⃗dA⃗=c∯s′E⃗dA⃗\Phi_{s'} = \oiint_{s'}\vec\rho\ \mathrm{d}\vec A = c \oiint_{s'}\vec E\ \mathrm{d}\vec A Φs′=∬s′ρ dA=c∬s′E dA
因为Φs=Φs′\Phi_s = \Phi_{s'} Φs=Φs′
所以 cEs⋅4πR2=c∯s′E⃗dA⃗Es⋅4πR2=∯s′E⃗dA⃗qε0=∯s′E⃗dA⃗\begin{aligned} cE_s\cdot4\pi R^2 &= c \oiint_{s'}\vec E\ \mathrm{d}\vec A \\\\ E_s\cdot4\pi R^2 &= \oiint_{s'}\vec E\ \mathrm{d}\vec A \\\\ \frac{q}{\varepsilon_0} &= \oiint_{s'}\vec E\ \mathrm{d}\vec A \end{aligned} cEs⋅4πR2Es⋅4πR2ε0q=c∬s′E dA=∬s′E dA=∬s′E dA
由于电场具有叠加性质，我们看看两个电荷的情况

∯s′E⃗dA⃗=∯s′E⃗1dA⃗+∯s′E⃗2dA⃗=q1ε0+q2ε0\oiint_{s'}\vec E\ \mathrm{d}\vec A = \oiint_{s'}\vec E_1\ \mathrm{d}\vec A+ \oiint_{s'}\vec E_2\ \mathrm{d}\vec A = \frac{q_1}{\varepsilon_0} + \frac{q_2}{\varepsilon_0} ∬s′E dA=∬s′E1 dA+∬s′E2 dA=ε0q1+ε0q2
我们可以推广到包含任意多个电荷的情况
∯s=∂VE⃗dA⃗=∑i=0,i∈VNqiε0\oiint_{s = \partial V}\vec E\ \mathrm{d}\vec A = \sum_{i = 0,i\in V}^N \frac{q_i}{\varepsilon_0} ∬s=∂VE dA=i=0,i∈V∑Nε0qi
同时我们也可以得到连续的情况
∯s=∂VE⃗dA⃗=1ϵ0∭VρdV\oiint_{s = \partial V}\vec E\ \mathrm{d}\vec A =\frac1{\epsilon_0} \iiint_V \rho\ \mathrm{d}V ∬s=∂VE dA=ϵ01∭Vρ dV

用高斯定理证明无限长均匀带电杆的电场分布

导体

金属导体内部场强为0

表面场强与表面垂直，大小为 σε0\frac{\sigma}{\varepsilon_0}ε0σ（可通过高斯定理证明，使用小圆柱）

在内部部分空心金属的空心部分放置电荷，金属外表面会辐射出相应的电场，也就是说在外部能够观察到内部放置电荷的影响，同时金属内部电场仍然为零。

如果内部没有放置电荷，那么内表面一定没有电荷。如果有电荷存在，那么在空心处会有电场线，而在导体内部没有电场线，两点之间不可能做功不同，所以空心处没有电场线，所以内表面没有电荷。

电势

要验证电场力是保守力，只需研究单个电荷形成的电场是不是保守的，然后利用电场的叠加原理和第二类线积分的线性性质可以推出任意静电场下都是保守的，而电场乘 qqq 就是电场力了。于是我们可以引入电势。注意电势乘以 qqq 才是势能场。

正电荷电势公式推导

V(2)=V(1)−14πε0∫R1R2QR2=V(1)+q4πε0(R2−R1)\begin{aligned} V(2) &= V(1) - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{Q}{R^2} \\\\ &= V(1) + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(R_2 - R_1)\\\\ \end{aligned} V(2)=V(1)−4πε01∫R1R2R2Q=V(1)+4πε0q(R2−R1)令 R1→+∞,V(1)→0R_1 \to +\infty,V(1) \to 0R1→+∞,V(1)→0
V(2)=q4πε01R2V(2) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R_2} V(2)=4πε0qR21

推广到多个电荷的情况
V(R⃗)=∑i=1nq4πε01∣R⃗−R⃗i∣V(\vec R) = \sum_{i = 1}^n \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{|\vec R - \vec R_i|} V(R)=i=1∑n4πε0q∣R−Ri∣1（为什么电势可以叠加？应该是因为电场可以叠加。是不是导数满足叠加原理，原函数就满足叠加原理？）

引入电势的好处

求标量的叠加比求矢量的叠加简单。

利用电势我们可以很方便求解出偶极子在任何点的电场。

我们先求出偶极子的电势分布（标量相加），然后求电势的梯度，梯度的反向就是电场了。

电荷系的静电能（互能）

把一系列的电荷集中在一起需要的能量。

先随便确定一个电荷，称为 q1q_1q1；
q2q_2q2 需要克服 q1q_1q1 的电场力做功；
q3q_3q3 需要克服 q1q_1q1、q2q_2q2 的电场力做功；
⋯\cdots⋯

W=12∑j=1N∑i=1Nqiqj4πε0RijW = \frac12\sum_{j = 1}^N\sum_{i = 1}^{N} \frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0 R_{ij}}W=21∑j=1N∑i=1N4πε0Rijqiqj

写成另一种形式更好应用
W=12∑i=1nqiφiW = \frac12\sum_{i = 1}^nq_i\varphi_iW=21∑i=1nqiφi，φi\varphi_iφi 是 qiq_iqi 所在处其他电荷产生的电势。

推广到连续的电荷系，可以得到
W=12∭VφρdV=12∫qφdqW = \frac12\iiint_V \varphi\rho \ \mathrm{d}V = \frac12\int_q\varphi \ \mathrm{d}qW=21∭Vφρ dV=21∫qφ dq，等是最左边只是一种记法而已，在数学上不严格，也不便于计算。

引入电场能量密度，还可以表示为 W=∭Vε0E22dVW = \iiint_V\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\ \mathrm{d}VW=∭V2ε0E2 dV
如果考虑电解质，则 W=∭Vε0εrE22dVW = \iiint_V\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r E^2}{2}\ \mathrm{d}VW=∭V2ε0εrE2 dV

那么把 QQQ 的电荷从无穷远均匀放到一个半径为 RRR 的圆上需要做多少功？（也可以直接套公式）

我们可以看一下中间过程：假设圆上已经有了 qqq 的电量，然后考虑再放入 Δq\Delta qΔq 需要消耗多少能量? ΔW=q4πε0RΔq\Delta W = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\Delta qΔW=4πε0RqΔq。∑ΔW=∑q4πε0RΔq\sum \Delta W = \sum \frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\Delta q∑ΔW=∑4πε0RqΔq，qqq 从0逐渐增加到 QQQ，将 Δq\Delta qΔq 无限缩小，也就是将 QQQ 无限细分，显然 W=lim⁡Δq→0∑q4πε0RΔq=∫0Qq4πε0Rdq=Q28πε0RW = \lim_{\Delta q \to 0}\sum \frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\Delta q = \int_0^Q \frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\ \mathrm{d}q = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}W=limΔq→0∑4πε0RqΔq=∫0Q4πε0Rq dq=8πε0RQ2

静电场中的导体

导体的电场电势分布特性：所有导体都是等电势的。这使得电场线会终结于导体表面，且垂直于导体表面。

等势面垂直于电场线。导体表面也垂直于电场线。所以我们可以把某个导体放入某个电场模型的和它表面形状相同的等势面上，求出该等势面上的电场分布，然后利用 E=σε0E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}E=ε0σ 求出导体表面的电荷密度分布。

利用高斯定理，终结于导体表面的电场线等于穿过该闭合等势面的电场线，所以可以不用对电荷密度积分直接得到导体表面的电荷量一定等于被替代的点电荷量(镜像电荷量)。

简单说，就是找到点电荷的电场分布，使得其中有一个等势面的形状和导体表面形状一致，那么导体电荷量和被包的电荷量（镜像电荷量）一致，求电场，即可求电荷密度。

而且在数学上可以证明，通过这种方法得到的电荷分布是满足以上条件的唯一分布。

这次还是有一个无限的平面导体，但不接地。在距离平面一定距离放置一个正点电荷。那么负电荷会按之前提到地那样分布，而正电荷会在整个平面上均匀分布，这样才能保证平面为等势（因为这样可以把正电荷的电场忽略，电场分布变成接地的情况）。此时电荷密度为 σ=qs→0\sigma = \frac{q}s \to 0σ=sq→0，所以正电荷的电场为 E=σε0→0E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \to 0E=ε0σ→0，是一个很小的背景常量。

考虑接地球状导体的电荷分布情况

如果不接地呢？

负电荷(同样的量)以同样的方式分布，但正电荷会怎么分布呢？答案是均匀分布。因为有2个要求需要得到满足：1.保持球体仍然等势；2.保证电场线垂直于导体表面。而正电荷均匀分布可以满足这两个要求。

此时导体的电势不再为0。因为导体接地电势是0，但此时多了正电荷，根据球壳电荷的电势分布可以知道，叠加后的电势为 0+−q′4πϵ0a0+\frac{-q'}{4\pi\epsilon_0a}0+4πϵ0a−q′

总结一下：

解决这类问题，运用电势的叠加性质可以简化问题，先计算典型电势分布，然后再叠加起来，结合约束条件（如导体等电势）来列等式。
唯一性定理。把具体物体抽离，只剩下电势和电量在空间的分布，作为边界条件(金属导体的表面和无穷远的表面)，从而使用镜像电荷来寻找解，找到即唯一。
在球形金属壳上即使电荷分布不均匀，但累加后在中心的电势始终不变。

D的高斯定律

本质
∯sE⃗ds⃗=qin′+q0inε0\oiint_s \vec E\ \mathrm{d}\vec s = \frac{q'_{in} + q_{0in}}{\varepsilon_0}∬sE ds=ε0qin′+q0in

再结合 qin′=∯sP⃗ds⃗q'_{in} = \oiint_s \vec P \ \mathrm{d}\vec sqin′=∬sP dsP⃗=ϵ0(ϵr−1)E⃗\vec P = \epsilon_0(\epsilon_r - 1)\vec EP=ϵ0(ϵr−1)E

令D⃗=E⃗+P⃗=ϵ0ϵrE⃗\vec D = \vec E + \vec P = \epsilon_0\epsilon_r\vec ED=E+P=ϵ0ϵrE

即可得到
∯sD⃗ds⃗=q0in\oiint_s \vec D \ \mathrm{d}\vec s = q_{0in} ∬sD ds=q0in

利用 DDD 的高斯定律以及对称性，我们可以先根据自由电荷量 q0inq_{0in}q0in 求出 D⃗\vec DD 的分布，再根据 D 和 E 的关系求出 E的分布。又因为总电场是自由电荷电场和束缚电荷电场的叠加，我们可以先求出自由电荷电场分布，即可求出束缚电荷电场分布，利用特殊情况下电场分布和电荷分布的关系，求出束缚电荷分布（面密度）（或者直接用 σ′=P⃗⋅e⃗n\sigma' = \vec P \cdot \vec e_nσ′=P⋅en）

电容

导体转移的电荷除以导体间的电势差定义为电容。

转移电荷，就会形成电势差，电势差越大，转移消耗的功越多。

求平板电容。平板面积 AAA，相距 ddd

U=Ed=σdε0=QdAε0U = Ed = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0} = \frac{Qd}{A\varepsilon_0}U=Ed=ε0σd=Aε0Qd
C=QU=Aε0dC = \frac{Q}{U} = \frac{A\varepsilon_0}{d}C=UQ=dAε0

平板电容蕴含的能量
为什么能用定积分来算呢？可以这样思考：假设平板电容最终转移了 Q0Q_0Q0 的电荷量，我们要求转移消耗了多少能量，那么就先把 Q0Q_0Q0 分成一小份一小份，然后一份一份转移，那么每份转移时消耗的能量都取决于当前已转移的电荷量所形成的电势差。又定积分有一种表达式为 lim⁡Δx→0n→+∞f(x0+nΔx)Δx=∫x0x1f(x)dx,Δ\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop n \to +\infty}f(x_0 + n\Delta x)\Delta x = \int_{x_0}^{x_1}f(x)\ \mathrm{d}x, \Deltan→+∞Δx→0limf(x0+nΔx)Δx=∫x0x1f(x) dx,Δ。所以W=lim⁡Δq→0n→+∞U(0+nΔq)Δq=∫0Q0U(q)dqW = \lim\limits_{\Delta q \to 0 \atop n \to +\infty}U(0 + n\Delta q)\Delta q = \int_{0}^{Q_0}U(q)\ \mathrm{d}qW=n→+∞Δq→0limU(0+nΔq)Δq=∫0Q0U(q) dq。

但这样的想法似乎有点矛盾，如果直接转移 Q0Q_0Q0，岂不是没消耗能量了？我的简单猜测是移动很小的电荷量时忽略了电荷脱离导体花费的能量，而当一次移动的电荷量很大时，这个能量就不能忽略了。但这样也说感觉有点问题。

柱形电容器、球型电容器

电容计算方法：运用D的高斯定律。

孤立导体球的电容可由球型电容器推出，C=4πε0RC = 4\pi\varepsilon_0RC=4πε0R

电流

这里先补充一下关于通量的知识。

对于三维空间中的一小块面积，它具有两个要素：1. 面积大小；2. 所在平面。人们发现用向量来表示这么一小块面积很方便。我们需要先对小面积的边缘人为赋予方向，然后根据右手定则确定出向量的方向，而这个向量的模长是面积大小，记作A⃗\vec AA。

有一个流体在管道内，它的速度是 v⃗\vec vv，Φ=A⃗⋅v⃗\Phi = \vec A\cdot \vec vΦ=A⋅v，单位是 m3/sm^3/sm3/s。液体的通量不应该因截面的选取而不同，这个矢量式其实就是把垂直于流体速度的平面的单位时间通量作为一个参考值，用它来衡量流量。

电流 I=AvneI = AvneI=Avne，每秒流过某导线截面的电荷量。

电流密度 J⃗=IA=v⃗ne\vec J = \frac{I}{A} = \vec vneJ=AI=vne，每秒流过某导线单位截面的电荷量。

I=∬σJ⃗⋅dA⃗I = \iint_{\sigma} \vec J \cdot \mathrm{d}\vec AI=∬σJ⋅dA，相当于先把一块面积分成很多i小份，然后每份的电流密度均匀，然后相乘得到单位时间流过这一小面积的电荷量，然后累加，取极限，就得到电流了。