相关系数——皮尔逊相关系数的公式及其理解

一些前置知识，期望、方差、协方差概念及其相关公式参见带你深入理解期望、方差、协方差的含义

定义

皮尔逊相关系数，简称相关系数，严格来说，应该称为“线性相关系数”。这是因为，相关系数只是刻画了X，Y之间的“线性”关系程度。换句话说，假如X与Y有其它的函数关系但非线性关系时，用相关系数来衡量是不合理的。
相关系数定义为：
ρX,Y=cov⁡(X,Y)σXσY=E[(X−EX)(Y−EY)]σXσY=E(XY)−E(X)E(Y)E(X2)−E2(X)E(Y2)−E2(Y)\rho_{X, Y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E\left[\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)\right]}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E(X Y)-E(X) E(Y)}{\sqrt{E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)} \sqrt{E\left(Y^{2}\right)-E^{2}(Y)}}ρX,Y=σXσYcov(X,Y)=σXσYE[(X−EX)(Y−EY)]=E(X2)−E2(X)E(Y2)−E2(Y)E(XY)−E(X)E(Y)
covcovcov为协方差，σ\sigmaσ为标准差。

应用

实际应用中，通常用rrr表示相关系数，假如我们有一组样本点 (x,y)，怎么计算它们的相关系数？
基于样本对期望、方差、协方差进行估计，也就是：
E(X)=Xˉ=1n∑i=1nXiE(X)=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_iE(X)=Xˉ=n1i=1∑nXiσX2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sigma_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}σX2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2cov⁡(X,Y)=1n−1∑ni=1(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)\operatorname{cov}(X, Y)=\frac{1}{n-1}{\sum_{n}^{i=1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}cov(X,Y)=n−11n∑i=1(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ) （之所以除以n-1而不是除以n，是因为我们是用样本去估计总体，除n-1才是统计学上的“无偏估计”，这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差）

上面的任何一个公式看不懂可以看这篇博客

将上述公式代入定义中得，
r=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑i=1n(Xi−Xˉ)2∑i=1n(Yi−Yˉ)2r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}r=∑i=1n(Xi−Xˉ)2∑i=1n(Yi−Yˉ)2∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)

当计算出相关系数后，可以通过以下取值范围判断变量的相关强度：

\|r\|	相关强度
0.8-1.0	极强相关
0.6-0.8	强相关
0.4-0.6	中等程度相关
0.2-0.4	弱相关
0.0-0.2	极弱相关或无相关

理解

协方差的定义是从方差而来的，XXX的方差是E(X−EX)E(X-EX)E(X−EX)与(X−EX)(X-EX)(X−EX)的乘积的期望，如今把一个(X−EX)(X-EX)(X−EX)换为(Y−EY)(Y-EY)(Y−EY)，其形式接近方差，又有X，YX，YX，Y二者的参与，由此得出协方差的名称。

从功能上来说，其实协方差（Covariance）就足以刻画两个变量的相关关系。解释参见：协方差的意义

但是协方差是带有“单位”的，它和X,YX,YX,Y的数值有关，假如XXX的数值量级整体都远远大于YYY，那么就会使得计算出来的协方差很大，它的值是不可比较的，并不能统一地度量。所以我们需要将其无量纲化（单位化），以消除数值量级差异的影响，于是就引入了皮尔逊相关系数，其在协方差的基础上除以各自的标准差，这样就消除了单位，使得计算出来的值介于-1和1之间，相互之间是可比较的，不用受单位的影响。

其它理解角度：https://www.zhihu.com/question/19734616

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