高等数学：第一章 函数与极限（6）极限存在准则、两个重要极限
§1.7 极限存在准则、两个重要极限
一、两边夹准则
如果数列
、
及
满足下列条件：
(1)、
(2)、
那末数列的极限存在，且
。
【证明】因 
，据数列极限定义，有
；
对于上述
， 
，
故可取
则当 
时，有 
，
同时成立，亦即：
从而有 
亦即 
成立
这就是说， 
准则一还可推广到函数极限的情况：
如果函数
，
及
满足下列条件：
（1）、
（且 
），（或 
）时，有
成立；
（2）、
那么，
存在，且等于 
。
二、重要极限之一 
证明： 记 
， 由于 
， 我们不妨只究 
这一情形加以证明，如下图所示：
从几何图形上可清楚地看出：
于是有两边夹的不等式 
而 
事实上， 当 
， 有：
据两边夹准则， 我们有： 
而 是偶函数， 故 
由函数的左右极限的性质知，
下面， 我们给出当
从1开始，以 
为步长减少而趋近于
时， 
的图象的动画演示。
【例1】用两边夹法则证明：半径为
的圆面积为
。
正多边形的面积公式为 
，
是正多边形的周长，
是边心距。
如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积
，n表示正多边形的边数。
显然有：
，而
我们可得到圆的面积公式
至此，利用两边夹法则与１极限，用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m，可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。
【例2】试证明：圆的周长与圆的直径之比为常数
。
我们知道，
时，
(圆的周长), 
，故
三、单调有界准则
单调有界数列必有极限。
这一准则在几何上是非常显然的。例如：设数列
单调增加且有上界A。在数轴上将数列的各项画出来， 它们严格地依次从左向右延伸， 且前方有点 A 挡住去路， 因此，这些点必在某点处产生“凝聚”，即：数列 收敛。
四、重要极限之二 
记 
利用二项展开式， 我们有：
这表明数列 
有界， 它位于(0，3)之间。
另一方面， 仿上面的形式， 不难写出：
这说明，数列是单调增加的。
据准则二， 
存在，记作： 
。
由的展开式有：
，因此， 常数
。
由 
有
运行matlab程序gs0104.m，可得出
时，对应的数列项
的近似值。
极限还可推广到更一般的情形：
利用变量替换 
，则 
，原极限可变成一种新的形式： 
【例3】求 
解： 
， 令 
， 而 
，
且 
原式 = 
【例4】求极限 
解： 令 
， 
通过四个例子，可总结出如下求极限技巧。
转自：
https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm
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