使用合取范式进行整数规划建模的方法

2024-06-03 05:36:48

本文通过一个实例，介绍使用合取范式进行整数规划建模的通用方法。

根据决策变量的含义，写出其约束关系。

决策变量

变量	含义
xi,kx_{i, k}xi,k	iii 在集合 kkk 内
yi,jy_{i, j}yi,j	iii 和 jjj 在同一集合

真值表

xi,kx_{i, k}xi,k	xj,kx_{j, k}xj,k	yi,jy_{i, j}yi,j
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	-

真值表取反

xi,kx_{i, k}xi,k	xj,kx_{j, k}xj,k	yi,jy_{i, j}yi,j
1	1	0
1	0	1
0	1	1

约束推导

若要决策变量满足真值表中的情况，则需取反后的真值表的各行情形均不出现即可，即：
(¬xi,k∨¬xj,k∨yi,j)∧(¬xi,k∨xj,k∨¬yi,j)∧(xi,k∨¬xj,k∨¬yi,j)(\neg x_{i, k} \lor \neg x_{j, k} \lor y_{i, j}) \land (\neg x_{i, k} \lor x_{j, k} \lor \neg y_{i, j}) \land (x_{i, k} \lor \neg x_{j, k} \lor \neg y_{i, j}) (¬xi,k∨¬xj,k∨yi,j)∧(¬xi,k∨xj,k∨¬yi,j)∧(xi,k∨¬xj,k∨¬yi,j)

改写为约束条件，即为：
(1−xi,k)+(1−xj,k)+yi,j≥1(1−xi,k)+xj,k+(1−yi,j)≥1xi,k+(1−xj,k)+(1−yi,j)≥1(1 - x_{i, k}) + (1 - x_{j, k}) + y_{i, j} \geq 1 \\ (1 - x_{i, k}) + x_{j, k} + (1 - y_{i, j}) \geq 1 \\ x_{i, k} + (1 - x_{j, k}) + (1 - y_{i, j}) \geq 1 (1−xi,k)+(1−xj,k)+yi,j≥1(1−xi,k)+xj,k+(1−yi,j)≥1xi,k+(1−xj,k)+(1−yi,j)≥1

参考资料

Integer linear programming formulation of formula in DNF

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