6319. 【省选组】【USACO 2019 February Platinum】Problem 3. Mowing Mischief
题目
思考历程
有个小插曲:我很久之后才发现要先保证点的数量尽量多。
将每个点以横坐标为第一关键字,以纵坐标为第二关键字,排序。
“尽量多”显然就是找最长上升子序列。
设fif_ifi表示以第iii个点结尾的最长上升子序列长度,随便预处理出来。
设gig_igi表示以第iii个结尾的最小答案。
转移的时候,为了保证选的点集是个最长上升子序列,在转移的条件中多加一条限制:gjg_jgj转移到gig_igi时,必须要满足fj+1=fif_j+1=f_ifj+1=fi(当然之前二维偏序的限制也要保证)
于是简单的O(n2)O(n^2)O(n2)做法就出炉了。
接下来还有些想法,但是有些漏洞,就不讲了。
正解
考虑将fi=kf_i=kfi=k的点丢到集合SkS_kSk。将SkS_kSk中的点按照xxx坐标排序。
可以发现,SkS_kSk中的点一定是随着xxx递增,yyy递减的(即全是逆序对)。
证明:如果出现了二维偏序,于是右上方的那个点可以被更新。
对于点iii而言,Sfi−1S_{f_i-1}Sfi−1中能够转移到它的点形成一个区间。
转移时新增的贡献为(xi−xj)(yi−yj)(x_i-x_j)(y_i-y_j)(xi−xj)(yi−yj),拆开,除去只跟iii或者只跟jjj有关的项,于是变成了找wj−xiyj−xjyiw_j-x_iy_j-x_jy_iwj−xiyj−xjyi最小,其中wjw_jwj是只跟jjj有关的值。
接下来可以证明一个性质:
对于SkS_kSk中的某个点iii和jjj,满足i<ji<ji<j,若有p,q∈Sk−1p,q\in S_{k-1}p,q∈Sk−1且p<qp<qp<q且p,qp,qp,q都能转移到i,ji,ji,j,
如果对于iii而言,ppp比qqq优,则对于jjj而言,ppp仍然比qqq优。
证明:
对于iii而言ppp比qqq优,即wp−xiyp−yixp<wq−xiyq−yixqw_p-x_iy_p-y_ix_p<w_q-x_iy_q-y_ix_qwp−xiyp−yixp<wq−xiyq−yixq
即(wp−wq)−xi(yp−yq)−yi(xp−xq)<0(w_p-w_q)-x_i(y_p-y_q)-y_i(x_p-x_q)<0(wp−wq)−xi(yp−yq)−yi(xp−xq)<0
由yp−yq>0,xp−xq<0y_p-y_q>0,x_p-x_q<0yp−yq>0,xp−xq<0得:
当iii增大到jjj时,xix_ixi增加,yiy_iyi减少,不等式左边的后面两项都减少,于是ppp仍然比qqq优。
根据决策单调性转移:
先考虑一个特殊情况,假设Sk−1S_{k-1}Sk−1中每个点都可以转移到SkS_kSk中每个点。
维护一个队列,前面的比后面的大,并且前面的比后面的优。在指针从后往前扫的时候,维护队列中两两之间优劣关系的变化,如果一个元素比下一个元素劣,就把它删掉。
我的做法是这样:对于队列中相邻两个元素,在它们拼接上来的那一刻通过二分计算它们优劣关系改变的时间;然后将这些时间都丢进一个堆(或
set
)里面,指针移动的时候维护。
古爷说:队列中间的大小关系不会改变。这是一个1d1d
的板子,它和斜率优化的区别是不能直接算出优劣关系改变的时间,所以需要二分。
我:中间的关系不会变的话,那直接扫过去,只判断队头啊。
古爷:你试试(
我:。。。
总之古爷太强了,比不过比不过。
但是有个问题是对于每个iii,能转移到它的点集不一定相同。
就是说可能在算jjj的时候,之前对于iii来说,最优的ppp不能转移到jjj。
古爷的做法:直接暴力线段树分治……
将每个ppp能覆盖的iii的区间挂在线段树上,这样在线段树上每个节点的区间上,每个连向它的ppp都能转移到整个区间。
题解的做法很巧妙:
将SkS_kSk分成若干块,满足对于每个p∈Sk−1p\in S_{k-1}p∈Sk−1,它必定跟其中两个块相交(其实题解的说法似乎不是很准确,应该说,每个ppp覆盖的区间中有且仅有一个分界点,包括边界)
于是对于某个块来说,ppp覆盖的区间是一段前缀或者是一段后缀。前缀和后缀分开处理,对于每个块,连向它的ppp所能覆盖的区间的起点相同。用个单调队列扫一遍就可以算出答案。
当然我并没有完全看懂题解。因为它还有个二分找区间什么鬼的,不知道在讲啥。
考虑如何分块:将所有ppp能转移到的区间列出来,可以发现随着ppp递增,区间的左右端点都在递增。
将第一个区间的右端点作为分界点,然后将包含这个分界点的区间去掉,继续做下去。
这个贪心感觉是对的。
于是总的时间复杂度O(nlgn)O(n\lg n)O(nlgn)
代码没写。
总结
决策单调性,这个东西好像好久没有玩过了。
该好好补一下。
话说我还记得四边形不等式么……
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