matlab z变换

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19.90 积分

第六章 离散系统的z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,§6.1 z 变换,从拉普拉斯变换到z变换 z变换定义 收敛域,一、从拉普拉斯变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT) →f(k) ，得,二、z变换定义,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z) = Z[f(k)] , f(k)= Z-1[F(z)] ； f(k)←→F(z),三、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=?(k) ↓k=0 (2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1},解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f2(k)的双边z 变换为,F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收敛域为0?z? ∞,f2 (k)的单边z 变换为,收敛域为?z? 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0?z?∞，有时它在0或/和∞也收敛。,例2 求因果序列,解：根据定义,的z变换,可见，仅当?az-1??a? 时，其z变换存在。,收敛域为|z||a|,,例3 求反因果序列,解,的z变换,可见，?b-1z?1,即?z??b?时，其z变换存在，,收敛域为|z| |b|,,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解,的z变换,可见，其收敛域为?a??z??b? (显然要求?a??b?，否则无共同收敛域),,序列的收敛域大致有一下几种情况： (1)对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； (2)对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； (3)对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； (4)对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；,注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。,例,f1(k)=2k?(k)←→F1(z)=,, ?z?2,f2(k)= –2k?(– k –1)←→F2(z)=,, ?z?2,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。,常用序列的z变换：,?(k) ←→ 1 ，?z?0,?(k),，?z?1,，?z?1,–?(– k –1),,,§6.2 z变换的性质,线性性质 移位特性 z域尺度变换 卷积定理 z域微分,z域积分 k域反转 部分和 初值定理 终值定理,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,一、线性性质,若 f1(k)←→F1(z) ?1?z??1, f2(k) ←→ F2(z) ?2?z??2 对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k) ←→ a1F1(z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z) 与F2(z)收敛域的相交部分。,例： 2?(k)+ 3?(k) ←→,，?z?1,2 +,二、移位特性,单边、双边差别大！,双边z变换的移位：,若 f(k) ←→ F(z) , ?0，则,f(k?m) ←→ z?mF(z), ??z??,证明：Z[f(k+m)]=,单边z变换的移位：后向移位,若 f(k) ←→ F(z), |z| ?，且有整数m0, 则,f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1,前向移位,f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z,证明： Z[f(k – m)]=,上式第二项令k – m=n,特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→ z-mF(z),例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解,?z?1,例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z).,解,f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k),zF(z) – zf(0) = F(z) +,F(z)=,三、序列乘ak(z域尺度变换),若 f(k) ←→ F(z) , ??z?? ， 且有常数a?0,则 akf(k) ←→ F(z/a) , ??a??z???a?,证明： Z[akf(k)]=,例1：akε(k) ←→,例2：cos(?k)ε(k) ←→?,cos(?k)ε(k)=0.5(ej ?k+ e-j ?k)ε(k) ←→,四、卷积定理,若 f1(k) ←→F1(z) ?1?z??1, f2(k) ←→ F2(z) ?2?z??2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z),对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列,其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z).,解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1),五、序列乘k(z域微分),若 f(k) ←→F(z) , ??z?? 则,, ??z??,例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z).,解：,六、序列除(k+m)(z域积分),若 f(k) ←→F(z) , ?0，,则,, ??z??,若m=0 ,且k0，则,例：求序列 的z变换。,解,七、 k域反转 (仅适用双边z变换),若 f(k) ←→F(z) , ??z?? 则 f( –k) ←→ F(z-1) , 1/??z?1/?,例：已知,，|z| a,求a –k?( –k – 1)的z变换。,解,，|z| a,，|z| 1/a,乘a得,，|z| 1/a,八、部分和,若 f(k) ←→F(z) , ??z??，则,, max(?,1)?z??,证明,例：求序列(a为实数) (k≥0)的z变换。,解,，|z|max(|a|,1),九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)←→F(z) ，??z?∞ 则序列的初值,对因果序列f(k)，,证明,两边乘zM得,zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+…,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) ←→ F(z) ，??z? ?且0??1 则序列的终值,含单位圆,§6.3 逆z变换,求逆z变换的常用方法有：幂级数展开法、部分分式展开法等。,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)?(–k – 1) + f(k) ?(k) 相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， ? |z| ?,已知象函数F(z)及其收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得原序列f(k)。,一、幂级数展开法,F1(z)= Z[f(k)?(k)]=,，|z| ?,F2(z)=Z[f(k)?(–k –1)]=,，|z| ?,可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。,例：已知象函数,其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 (1) |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2,解,(1) 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …,f(k)={1，1，3，5，…} ↑k=0,(2) 由于F(z)的收敛域为?z?1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)(按升幂排列)展开为z的幂级数:,z2/( –2 – z –z2)=,(3) F(z)的收敛域为1?z?2，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有,第一项属于因果序列的项函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，,，?z? 1,，?z? 2,即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有,↑,难以写成闭合形式。,二、部分分式展开(真分式),(1)F(z)均为单极点，且不为0,可展开为：,根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(?z??)和F2(z)(?z??)两部分，根据已知的变换对，如,?(k)←→1,例1：已知象函数,其收敛域分别为：(1)?z?2 (2) ?z?1 (3) 1?z?2,解 部分分式展开为,(1)当?z?2，故f(k)为因果序列,(2) 当?z?1，故f(k)为反因果序列,(3)当1?z?2，,例2：已知象函数,,1?z?2,的逆z变换。,解,由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足?z?1，后两项满足?z?2。,(2) F(z)有共轭单极点,如z1,2=c?jd=?e?j?, 则,令K1=?K1?ej?,若?z? ? , f(k)=2?K1??kcos(?k+?)?(k) 若?z? ? , f(k)= –2?K1??kcos(?k+?)?(– k – 1),(3) F(z)有重极点,F(z)展开式中含 项(r1)，则逆变换为,若?z?? ,对应原序列为,以?z??为例： 当r=2时，为 kak-1?(k)；当r=3时，为,可这样推导记忆： Z[ak?(k)]=,两边对a求导得 Z[kak-1?(k)]=,再对a求导得Z[k(k-1)ak-2?(k)]=,故Z[0.5k(k-1)ak-2?(k)]=,例：已知象函数,，?z?1,的原函数。,解,f(k)=[k(k-1)+3k+1]?(k),§6.4 z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的变换解,设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。,取单边z变换得,,令,称为系统函数,h(k)←→H(z),例1：若某系统的差分方程为 y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2) 已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f(k)= ?(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。,解,方程取单边z变换,Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z),解得,例2： 某系统，已知当输入f(k)=(– 1/2)k?(k)时，其零状态响应,求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。,解,h(k)=[3(1/2)k –2(– 1/3)k]?(k),二、系统的z域框图,另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和z域框图相同。,例3： 某系统的k域框图如图，已知输入f(k)= ?(k)。(1) 求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yzs(k)。(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应yzi(k),解:(1)画z域框图,z-1,z-1,F(z),Yzs(z),设中间变量X(z),X(z),z-1X(z),z-2X(z),X(z)=3z-1X(z) – 2z-2X(z) +F(z),Yzs(z)=X(z) – 3z-1X(z)= ( 1 – 3z-1)X(z),h(k) = [ 2 – (2)k]?(k),当f(k)= ?(k)时，F(z)= z/(z-1),yzs(k) = [ 2k + 3 –2 (2)k]?(k),yzi(k) = Czi1 + Czi2 (2)k,由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有,Czi1 + Czi2 (2)-1= 0,Czi1 + Czi2 (2)-2= 0.5,,Czi1 =1, Czi2 = - 2,yzi(k) = 1 – 2 (2)k,(2)由H(z)可知，差分方程的特征根为?1=1， ?2=2,三、利用z变换求卷积和,例：求2k ?(–k)*[2-k ?(k)],解：,原式象函数为,原式=,1* [2-k ?(k)]？,四、s域与z域的关系,z=esT,式中T为取样周期,如果将s表示为直角坐标形式 s = ?+j? ，将z表示为极坐标形式 z = ?ej?,= e?T ， ? = ?T,由上式可看出： s平面的左半平面(?z平面的单位圆内部(?z?=?0)-z平面的单位圆外部(?z?=?1) s平面的j?轴(?=0)-z平面中的单位圆上(?z?=?=1) s平面上实轴(?=0)-z平面的正实轴(?=0) s平面上的原点(?=0，?=0)--z平面上z=1的点(?=1，?=0),五、离散系统的频率响应,由于z = esT ， s=?+j?，若离散系统H(z)收敛域含单位园，则,若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应,离散系统频率响应定义为,存在。,令?T = ?，称为数字角频率。,式中?H(ej?)?称为幅频响应,偶函数； ?(?)称为相频响应,奇函数。,只有H(z)收敛域含单位园才存在频率响应,设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应,yzs(k)=h(k)*f(k),当f(k)=ej?k时,若输入f(k)=Acos(?k+?),则其正弦稳态响应为,ys(k)= 0.5A ej ? ej ?k H(ej?) + 0.5A e-j ? e-j ?k H(e-j?),= 0.5A ej ? ej ?k |H(ej?)|ej?(?) + 0.5A e-j ? e-j ?k |H(e-j?)| e-j?(?),=A |H(ej?)| cos[ ?k + ?+ ?(?) ],= 0.5Aej ?k ej ? + 0.5Ae-j ?k e-j ?,由z变换定义、DTFT定义，有,例 图示为一横向数字滤波器。 (1)求滤波器的频率响应； (2)若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos(?0t)+3cos(2?0t)经取样得到的离散序列f(k)，已知信号频率f0=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k),解 (1)求系统函数,Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z),H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3,，|z|0,令?=?TS，z取e j ?,H(ej?) =1+ 2e-j?+2e-j2?+ e-j3?,=e-j1.5?[2cos(1.5?)+ 4cos(0.5?)],(2)连续信号f(t) =1+2cos(?0t)+3cos(2?0t),经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz ),f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k?0Ts)+3cos[k(2?0Ts)],令 ?1=0 , ?2=?0Ts=?/3 , ?3=2?0Ts= 2?/3,所以 H(ej?1)=6 ，H(ej?2)=3.46e-j?/2 , H(ej?3)= 0,稳态响应为,yss(t)= H(ej?1)+2? H(ej?2)?cos[k?0Ts+?(?2)] +3? H(ej?3)?cos[2k?0Ts+?(?3)],= 6 + 6.92cos(k?/3-?/2),可见消除了输入序列的二次谐波。, 关 键 词： matlabz变换

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