二重积分matlab算法,基于MATLAB的二重积分计算方法
第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋,谢鹏燕,张 鹏 (北京石油化工学院数理系,北京102617) 收稿日期:2011-05-06;修改日期:2012-02-23 基金项目:北京市 URT计划项目子项目(2010J00067) 作者简介:王若鹏(1975-),男,副教授,主要从事优化理论与方法的教学与研究.Email:wangruopeng@bipt.edu.cn 夏赞勋(1989-),男,信息与计算科学专业2008级本科在读.Email:xiazanxun@bipt.edu.cn 摘 要 运用 MATLAB 软件,通过对 MATLAB 内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 MATLAB 命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分. 关键词 二重积分;MATLAB;数值积分 中图分类号 O172.2 文献标识码 A 文章编号 1008-1399(2012)02-0061-03 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题[ 1-2] I = D f ( x , y ) d x d y = ∫ b a d x ∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . ( 1) 这里考虑f ( x , y )= xy , a =1, b =2, c ( x )=sin x , d ( x )=cos x . 为叙述方便,不妨记 g ( x )=∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . MATLAB7.0提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法[ 3]. 符 号 解 法 是 使 用MATLAB内部命令int计算两次一重积分,其结果往往是符号,要计算积分值,必须使用vpa计算其数值,在2009a版本中,也可以利用quad2d计算二重积分值,但是对稍微复杂的二重积分,这两个命令无法计算其积分值.而数值解法是利用dblquad函数,但要求内外积分限都是常函数,即只能计算矩形区域上的二重积分.对于一般区域上的二重积分计算,文 [ 2, 4-5]建 议 使 用 美 国 学 者 Howard Wilson 和 Bryce Gardner开发的数值积分工具箱中的函数 gquadzdggen. 事实上,通过对 MATLAB中相关计算重积分的函数加以改造,就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作.文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、dblquad函数的改造以及quadl命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题. 1 二重积分的计算方法 1.1 一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时,MATLAB 没有相应的内部函数,可借用一元函数数值积分的方法进行求解.数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等,这里只讨论梯形公式. 对于二重积分( 1),利用梯形法将区间[ a , b ]等 分为 m 份,记 hx = b - a m , xi = a + ihx ( i =1, 2,…, m ), 则有 I ≈ h ( x g ( a )- g ( b ) 2 +∑ m -1 i =1 g ( xi )) , 其中 g ( xi )=∫ d ( xi ) c ( xi ) f ( xi , y ) d y
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