对泊松分布的一点理解

如题，自从知道（或者说听说更恰当）了泊松分布之后，就一直很奇怪它的原理。所以找了一些资料来帮助理解。

果然，像老师说的那样：概率统计并不好学，觉得简单的人只不过是还没有完全掌握。

泊松分布和二项分布

泊松分布和二项分布之间有极限近似关系，就说明它们之间一定存在着一些本质上的联系：

二项分布是说，已知某件事情发生的概率是p，那么做n次实验，事情发生的次数就服从二项分布。

泊松分布是指，某段连续的时间内某件事情发生的次数。而在这个情形下，“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如，5min5min5min内电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。

Poisson分布的两种定义

要讨论Poisson分布的本质，不妨从它的定义入手

定义一

一个随机变量X，只能取非负整数（X = 0, 1, 2, …），且相应的概率为
e−λλxx!e^{-\lambda}\frac{\lambda ^x}{x!} e−λx!λx
则称该变量服从Poisson分布。

这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的Poisson随机变量的定义

定义二（Poisson Process的定义）

假定一个事件在一段时间内随即发生，且符合以下条件：

将该时间段无限分割成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段内，该事件发生一次的概率于这个极小时间段的长度成正比。
在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。
该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。

则该事件称为Poisson Process。

为什么现实生活中的情况（例如医院的例子）会服从Poisson分布的第一定义？

以第二定义作为桥梁，就容易理解了。在现实生活中的情况，如果事件是相互独立的，那么很容易就能符合Poisson分布的第二定义，因此也就符合Poisson分布

公式的推导

将一段时间TTT做划分，等分为nnn份。假设在每一段时间内，事件发生的概率为ppp。则在TTT时间内，事件发生kkk次的概率为：
lim⁡n→∞Cnkpk(1−p)n−k(1)\lim_{n\to \infty}C^k_np^k(1-p)^{n-k}\tag1 n→∞limCnkpk(1−p)n−k(1)
这里的概率ppp需要求解，方法如下：

显然(1)(1)(1)式服从二项分布，二项分布的期望为：
E(X)=np=λE(X)=np=\lambda E(X)=np=λ
那么：
p=λn(2)p = \frac{\lambda}{n}\tag2 p=nλ(2)
将(2)(2)(2)式回代入(1)(1)(1)式，得到：
lim⁡n→∞Cnkpk(1−p)n−k=lim⁡n→∞Cnk(λn)k(1−λn)n−k(3)\lim_{n\to \infty}C^k_np^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to \infty}C^k_n(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}\tag3 n→∞limCnkpk(1−p)n−k=n→∞limCnk(nλ)k(1−nλ)n−k(3)
计算(3)(3)(3)式的极限，得：
lim⁡n→∞Cnk(λn)k(1−λn)n−k=e−λλkk!\lim_{n\to \infty}C^k_n(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!} n→∞limCnk(nλ)k(1−nλ)n−k=e−λk!λk
这就是Poisson分布得概率密度函数，即
P(X=k)=e−λλkk!P(X = k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!} P(X=k)=e−λk!λk
其中λ=np\lambda = npλ=np

泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

二项分布：KaTeX parse error: \tag works only in display equations

泊松分布：lim⁡n→∞Cnkpk(1−p)n−k=lim⁡n→∞Cnk(λn)k(1−λn)n−k=e−λλkk!\lim_{n\to \infty}C^k_np^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to \infty}C^k_n(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}limn→∞Cnkpk(1−p)n−k=limn→∞Cnk(nλ)k(1−nλ)n−k=e−λk!λk

其中np=λnp=\lambdanp=λ，且在泊松分布里n→∞n\to \inftyn→∞很大，而p=λnp = \frac{\lambda}{n}p=nλ很小