Ciprian Manolescu 解决了三角解剖猜想

Ciprian Manolescu 解决了三角解剖猜想，继陶哲轩、佩雷尔曼、吴宝珠以后又一个奥数金牌得主做出大成绩来。这小子是国际奥数的一个传奇人物，唯一一个得过三次满分的人。三角剖分是计算几何的核心之一，而计算几何又是计算机成像背后的理论基础。

https://www.quantamagazine.org/20150113-a-proof-that-some-spaces-cant-be-cut/

问题看起来非常简单：给你一个几何空间，比如一个球或者一个甜甜圈状的圆环面，能否将它分割成若干个子块？对于二维球面空间，这显然是可以的。谁都能够将任何二维空间分割成若干个三角形。类似地，三维空间可以被分割成若干个四面体。

那么高维空间呢？数学家们一直对抽象空间、流形的特性很感兴趣。四维流形能够被切成若干个小块吗？五维流形呢？…….

将一个空间像这样分割成若干个三角子块的过程，叫做三角解剖，拓扑学家用它来分析流形的特性。三角解剖猜想是拓扑学的著名猜想，即所有流形都可以被分割成若干个三角子块。

Ciprian Manolescu 意识到他在学生时代

的工作可以解决拓扑学的世纪猜想

早在2000年，当CiprianManolescu第一次听到三角解剖猜想的时候，当时他还是哈佛大学的研究生。虽然他作为本科生时已经在哈佛声名远扬——连续三年的国际奥林匹克数学竞赛满分金牌得主，但是证明一个世纪猜想不像是一个聪明学生会选择的博士论文课题。的确，Manolescu的博士论文做的是有关弗洛尔同调理论（Floer homology）的一个分支，在他科研生涯的前十年里，他并没有对三角解剖做过多的思考。“这个问题似乎无法解答，所以我没怎么在上面花心思”，后来他在邮件中写道。

其他数学家们仍然在研究这一猜想，但是问题过于艰深，很难取得突破。在2012年，已身为UCLA教授的Manolescu突然意识到，他八年前的博士论文里提出的理论正好可以扫清解决这一猜想的最终障碍。灵感来了挡都挡不住，Manolescu很快证明了不是所有的流形都可以解剖成三角。从此他不仅在学术界登堂入室，更是发明了一种解决其他长期未解决的拓扑学问题的工具。

完美解剖

19世纪的法国天才Henri Poincaré是最早开始思考流形可以被分割成粘连的子块的数学家之一。例如，一个二维球面（即三维球体的表面）可以近似成若干个粘连的平面三角形，一个三维球体可以近似成若干个粘连的四面体。这里的三角形和四面体可以看成是的定义在任意维度空间的单纯形的特例。

三角剖分流形在很多方面都大有用处。通过三角剖分可以观察很多难以直观理解的空间。三角剖分也为数学家提供了计算不变量这一强有力的工具的方法。

数学家根据不变量来确定两个空间是否等价。如果两个流形的不变量不相等，那么这两个流形就是拓扑不等价的（反之不一定成立，两个拓扑不等价流形可能存在相同的不变量）。

不变量的一个简单例子就是欧拉示性数。将一个二维球面分割成若干个多边形，将得到的顶点数减去边数，加上面数，不论采用怎样的分割方法，这样最终得到的结果都是相同的。球面的欧拉示性数是2，环面的欧拉示性数是0。在二维空间里，任何欧拉示性数相等的两个流形都是拓扑等价的。

高维空间的流形也可以定义相应的欧拉示性数，但是情况比二维空间复杂得多。就拿三维空间来说，它有无数个不等价流形都有相同的欧拉示性数。即便如此，三角剖分仍然是一个有力的工具，同时也很自然地让人想到一个问题：是否所有维度的流形都能够被三角剖分？

这个问题最早在20世纪被提出，肯定的回答就是三角剖分猜想。最初数学家们认为三角剖分猜想是成立的，而且到二十世纪50年代已经证明了它对于一维、二维和三维空间是成立的。时间的车轮向前推进，数学家们又发现高维空间缺少低维空间的一些良好特性。这让他们不得不怀疑三角剖分猜想对于高维空间不成立，但是没有人能够给出证明。

高维空间不能被分割成若干更小的几何空间，这从直觉上来看似乎不太可能。我们可以考虑低维的情况，在一个二维球面上放置若干个粘连的三角形，直到球面全部被覆盖。即使是在这种简单的情况，我们也不能很肯定地说这些三角形一定能够完全覆盖球面。关键在于精密的规划。对于高维空间，要将第一个单纯形和最后一个单纯形完美粘连，问题将变得更复杂。

1982年，当时还在UCSD的MichaelFreedman构造了不能自然地被三角剖分的四维流形，这一突破让他拿到了菲尔兹奖。几年之后，耶鲁大学的Andrew Casson证明了这些流形根本不能被三角剖分。但是Freedman和 Casson的工作还是不能证明五维甚至更高维空间能否被三角剖分。完整的解答还得由三十年后的Manolescu来完成。

四维困难

Manolescu的研究工作主要在低维拓扑，也就是三维或四维流形。高维空间的三角剖分问题不在他的研究范围之内。但是在二十世纪70年代，三位数学家证明了在高维空间的三角剖分问题可以等价于低维空间的另一个问题。这种将困难问题转化的思想在数学上很常见。1994年，Andrew Wiles证明费马的最后定理时，就是采用了转化的思想，他实际解决的是另一个等价的问题——Taniyama-Shimura-Weil猜想的半稳定情况，该问题已经被证明可以用来解决费马的最后定理的证明过程。

为了有一个直观的理解，我们还是先从二维情况开始，假设将若干个平面三角形粘连成一个二维球面，一种方法是首先从最高维的部分——三角形的边（一维）开始粘连，一直到次高维的部分——点（零维）。

现在考虑七维流形。此时你需要七维单纯形来对其进行三角剖分。采用和二维情形类似的方法，首先，将这些单纯形的边界的最高维部分粘连起来（六维边），然后是次高维，一直这样做下去。。。

Galewski, Stern 和 Matumoto发现这一粘连过程非常顺利，但是在四维和三维边界处遇到困难。这个困难归结于同形三维球拓扑空间的问题，解决这一问题需要一个新的不变量，Manolescu正是在他的有关弗洛尔同调理论（Floer homology）的工作中发现了这一不变量。

大突破

弗洛尔同调理论（Floer homology）是在二十世纪80年代由一位年轻杰出的德国数学家Andreas Floer提出的数学工具。它被证明是用来理解流形的绝佳工具，它已经是拓扑学研究的一个子领域而不仅仅是一种方法。自从Floer提出三维流形的同调理论，许多数学家对其做了改进，用于解决不同的问题。二十世纪90年代，Manolescu在哈佛大学的博导Peter Kronheimer，与MIT的Tomasz Mrowka一起，将量子力学的一个物理方程与弗洛尔同调理论结合在一起，创造了三维流形的一个新的不变量。Manolescu在他的博士论文里给出了该理论的简化版本。

“Ciprian发明了一种简单的易于实现的弗洛尔同调理论，它开拓了思维方向”Mrowka说道，“你不必到哪儿都得背着这个大包袱。”

Manolescu在他的博士论文里把弗洛尔同调理论变得简单易于实现，但是当时包括他自己在内还没有人意识到这有什么用处。所以就一个新颖却没有实际应用的工具这样被搁置了。

与此同时，Casson和一位挪威数学家Kim Frøyshov独立地发现了可以用来部分解决三角解剖猜想的不变量。但是二者各自都不足以给出圆满的证明，“需要将Casson和Frøyshov给出的不变量的特性结合在一起才行。”Manolescu说道。

2012年末，Manolescu开始思考Casson和Frøyshov的不变量的不足之处，很快他就有了两个重要发现。首先，Frøyshov的不变量的不足之处在于它不具有所谓的Pin(2)对称性；其次，他发现他八年前博士论文里的弗洛尔同调理论很适合用来在不变量中加入这种对称性。

“这里有两个遗漏的环节”Manolescu说道，“现在想来似乎很直接，但是当时确实是遗漏了。”

Manolescu明白了他的博士论文和三角剖分猜想的联系之后，他很快投入工作，“我非常的兴奋，我想尽快解决它”，他说，“我几乎都忙得转钟了。”他花了一个月时间来推翻三角剖分猜想。他发明了一个新的不变量，他称之为“beta”，并用反证法给出了证明。他的证明过程可以概述如下：如前所述，三角解剖猜想可以等价为找到一个满足某种特性的同形三维球，其中一个特性就是Rokhlin不变量的值为1，Manolescu证明当同形三维球的Rokhlin不变量为1时，beta是一个奇数，而其他的特性则要求beta是一个偶数，因此这些同形三维球是不存在的，从而证明了三角剖分猜想是不成立的。

一种新的工具

2013年3月10日，Manolescu将他的初稿论文放到了arXiv.org上，这篇论文现在发表在Journal of theAmerican Mathematical Society上。Stern称Manolescu的证明是过去数年来四维拓扑领域的最好证明。他的成果也让他很有可能拿到维布伦奖，这一奖项每三年评一次，曾经的获得者包括Casson、Freedman、 Kronheimer和 Mrowka。

“没有人，至少不是我，想到用弗洛尔同调理论来解决这一问题，”Stern说道“Manolescu的方法真是天才所致。”Stern说他还有一系列他想解决的问题，三角剖分猜想就是其中之一，“我想解决它们，我也想知道答案，现在我知道答案了。”

但是更重要的是Manolescu所采用的改进的弗洛尔同调理论，“不论出于什么原因，”Mrowka说道，“人们没有如他们应该的那样重视它。”现在既然三角剖分猜想被推翻了，数学家们又开始研究Manolescu的工具了。

目前，加州理工和UT奥斯汀的拓扑学家们正在筹办有关Manolescu的博士论文的学术年会。Mrowka有两个研究生正在研究Manolescu的结果，力图改进他的方法以作他用。Manolescu的方法可以解决四维拓扑和其它拓扑领域的问题。没有人确切地知道他们最终会解决什么问题。

“很难相信一个新的强有力的不变量不能解决困扰已久的问题，” Mrowka说道，“但是谁知道呢。这就是研究。”

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