庞果答题：亿阳信通：不可表示的数的一个人见解（8-13第二次更新。）

原题：

给定表达式[x/2] + y + x * y, 其中x,y都是正整数。其中的中括号表示下取整，例如[3/2] = 1 ， [5/2] = 2。

有些正整数可以用上述表达式表达出来，

例如正整数2，当取x = y = 1时，可以把2表达出来（解释下：当x=y=1时， [x / 2] + y + x * y = [1 / 2] + 1 + 1 * 1 = 0+1+1 = 2 ）；

有些数可以有多种方式表达，例如13可以由 x = 2 y = 4 以及x = 3 y = 3来表示；

有些数无法用这个表达式表达出来，比如3。

从1开始第n个不能用这个表达式表示出来的数，我们叫做an，例如a1=1 a2=3,给定n，求an。

输入：n值 1<=n<=40 输出：an % 1000000007的结果（因为结果较大，输出an %1000000007的结果）。

个人分析：

表达式相当于 (x+1)*y+[x/2]

x=1...n 时，表达式分别为：

2*y 3*y+1 4*y+1 5*y+2 6*y+2 7*y+3 8*y+3 9y+4 10y+4 11y+5 12y+5 ...

这时我们分析：

第一个表达式为偶数

第二个表达式为 an-1 整除4=0；

第三个表达式为 an-1 整除5=0；

。。。

由此类推

我们在判断 an 这个数是否为不可表达的数时，应用如下判断

an%2!=0

如果an>1那么 (an-1)%3!=0 并且因为x=4时，表达式相同我们也应判断 (an-1)%4!=0

如果an>2那么 (an-2)%5!=0 并且因为x=4时，表达式相同我们也应判断 (an-2)%6!=0

.....

那么合适结束呢？判断到an/2，x固定时第一个表达式为最小值

那么我们的判断函数应为：

 public static int givean(int n){if (n < 1 || n > 40)return -1;double result = 0;int countN = 0;while (countN != n){result += 1;//* 以上相当于 (x+1)*y+[x/2]// * 表达式为：x=1...n :  2*y  3*y+1  4*y+1  5*y+2 6*y+2  7*y+3 8*y+3 9y+4 10y+4 11y+5 12y+5 13+6 14+6 15+7 16+7 17+8 18+8 // * 在这里我们可以看出规律，// 当an=3时  我们只需判断 // 1 an-2是否能被5,6整除 // 2 an-1 是否能被3,4整除// 3 an 是否能被2整除//.....如果符合上述条件则可以表达，如果不符合则不可表达bool issuit = false;for (double i = 0; i < result/2; i++){double x = Math.Round(i*2, 0)+1;if (Math.Abs(x - 1) > 0.00001d){//eg: i=1 x=3 x1=4; i=2 x=5 x1=6;i=3 x=7 x1=8double x1 = x + 1;if (Math.Abs((result - i) % x - 0f) < 0.00001d || Math.Abs((result - i) % x1 - 0f) < 0.00001d){issuit = true;break;}}else{if (Math.Abs(result % 2 - 0) < 0.00001d) //x=1 表达式为2*y 偶数全部可以表达{issuit = true;break;}}}//if(!issuit)countN++;}return (int) (result % 1000000007);}

得到的结果为： a1=1 ，a2=3，a3=15,a4=63,a5=4095,a6=65535,a7=262143,a8=...

计算a8就要很长时间了。

这个解决方案是否正确尚未可知，我提交上去代码后却提示：

另外再提交C#代码时，注意将类名改为其他，他与主函数重名会报错。。。

另外不知道庞果检测代码是如何进行的，判断正确与否是怎么个机制,应该是提取方法验证结果与时间吧，

挺有意思的，希望懂行的多交流交流。

看了一下，已经有16个大牛做出来了。

不过，这么多的问题没有答案什么的嘛，或者交流的地方。。。。

2013年8月13日6:38:20早晨更新

晚上睡觉的时候想了想，只能优化算法了，目标取a40 3s内。。。

再循环的时候可以减轻一些压力，首先【前取整】代表有连续的两个数相等，所以我们循环的步长可以是2

修改代码如下：

public static int givean(int n){Stopwatch stp=new Stopwatch();stp.Start();if (n < 1 || n > 40)return -1;if (n == 1)return 1;double result = 1;int countN = 1;while (countN != n){//x=1 表达式为2*y 偶数全部可以表达 所以我们支取基数result += 2;//* 以上相当于 (x+1)*y+[x/2]// * 表达式为：x=1...n :  2*y  3*y+1  4*y+1  5*y+2 6*y+2  7*y+3 8*y+3 9y+4 10y+4 11y+5 12y+5 13+6 14+6 15+7 16+7 17+8 18+8 // * 在这里我们可以看出规律，// 当an=3时  我们只需判断 // 1 an-2是否能被5,6整除 // 2 an-1 是否能被3,4整除// 3 an 是否能被2整除//.....如果符合上述条件则可以表达，如果不符合则不可表达bool issuit = false;//y=1,2....n : 1+x+[x/2] 2+2x+[x/2] 3+3x+[x/2] ...n+nx+a//x的值取y=1时 的最大值为double limit = result - 1;//x=2，3...时的表达式判断[2/2]=[3/2] [x/2]=[x+1/2]所以x的步长为2,一次判断两个for (double x = 2; x <= limit; x += 2){////[x/2]double yushu = Convert.ToInt64(x/2);double a = x + 1;//系数////limit = result - yushu - 1;//if (Math.Abs((result - yushu) % a - 0f) < 0.00001d ||Math.Abs((result - yushu) % (a+1) - 0f) < 0.00001d){issuit = true;break;}}if (!issuit){countN++;Console.WriteLine("N=" + countN + "  an=" + result);}}stp.Stop();TimeSpan ts = stp.Elapsed;string elapsedTime = String.Format("{0:00}:{1:00}:{2:00}.{3:00}", ts.Hours, ts.Minutes, ts.Seconds, ts.Milliseconds / 10);Console.WriteLine("Time taken : {0}", elapsedTime);return (int) (result % 1000000007);}

运行的结果是：

N=2 an=3
N=3 an=15
N=4 an=63
N=5 an=4095
N=6 an=65535
N=7 an=262143
Time taken?:?00:00:00.11

计算n=8时需要5分多钟。。。。太让人郁闷了。

开来还是有优化的地方。。。。

2013年8月13日8:17:35 第二次更新

重新更改了一下：

这下取n=8 控制到5分钟以内了，代码如下：

 public static int givean(int n){Stopwatch stp=new Stopwatch();stp.Start();if (n < 1 || n > 40)return -1;if (n == 1)return 1;double result = 1;int countN = 1;while (countN != n){//x=1 表达式为2*y 偶数全部可以表达 所以我们支取基数result += 2;//* 以上相当于 (x+1)*y+[x/2]// * 表达式为：x=1...n :  2*y  3*y+1  4*y+1  5*y+2 6*y+2  7*y+3 8*y+3 9y+4 10y+4 11y+5 12y+5 13+6 14+6 15+7 16+7 17+8 18+8 //  2y+0   3y+1   4y+1 5y+2 6y+2 7y+3 8y+3 9y+4 10y+4//11y+5  12y+5   13y+6  14y+6 15y+7 16y+7 18y+8 19y+8 20y+9 21y+9////eg:result=5 5*2/3=3 (3+1)*1+1=5long tmpx = Convert.ToInt64(result*2/3);if ((tmpx + 1 + Convert.ToInt64(tmpx / 2)) == Convert.ToInt64(result))continue;//// * 在这里我们可以看出规律，// 当an=3时  我们只需判断 // 1 an-2是否能被5,6整除 // 2 an-1 是否能被3,4整除//.....如果符合上述条件则可以表达，如果不符合则不可表达bool issuit = false;//y=1,2....n : 1+x+[x/2] 2+2x+[x/2] 3+3x+[x/2] ...n+nx+a//x的值取y=1时 的最大值为double limit = result - 1;//x=2，3...时的表达式判断[2/2]=[3/2] [x/2]=[x+1/2]所以x的步长为2,一次判断两个for (double x = 2; x <= tmpx; x += 2){////此x值得表达式为 a * y + yushudouble yushu = Convert.ToInt64(x/2);double a = x + 1; //系数double a2 = x + 2;////此时，如果系数与加数同为偶数时 可以不用判断//if (Math.Abs(yushu % 2 - 0) > 0.00001d || Math.Abs(a % 2 - 0) > 0.00001d){if (Math.Abs((result - yushu)%a - 0f) < 0.00001d){issuit = true;//Console.WriteLine(x+"");break;}}// Math.Abs((result - yushu)%(a + 1) - 0f) < 0.00001dif (Math.Abs(yushu % 2 - 0) > 0.00001d || Math.Abs(a2 % 2 - 0) > 0.00001d){if (Math.Abs((result - yushu) % a2 - 0f) < 0.00001d){issuit = true;//Console.WriteLine(x+1 + "");break;}}}if (!issuit){countN++;Console.WriteLine("N=" + countN + "  an=" + result);}}stp.Stop();TimeSpan ts = stp.Elapsed;string elapsedTime = String.Format("{0:00}:{1:00}:{2:00}.{3:00}", ts.Hours, ts.Minutes, ts.Seconds, ts.Milliseconds / 10);Console.WriteLine("Time taken : {0}", elapsedTime);return (int) (result % 1000000007);}

想了一下，如果数据变大时比如10000001时，要验证的太多了，也即循环耗费时间太长了，

看来规律总结的不到位啊。

2013年8月14日15:05:09更新

看了http://blog.csdn.net/chengyxc/article/details/9958035 他这个算法似乎是对的，

符合的条件：n具有2^m-1的形式，并且，2n+1必定是个素数，这样的数才是不可能数

跟着更新了下算法。

但是好像还是不能很好的实现。时间是个大问题，算到第21个数了，用时大约10s了。

肯定超限了。

算法如下：

 Stopwatch stp=new Stopwatch();stp.Start();long inf = 140000000;// int.MaxValue;// 264800000;// 2147483637; //List<int> prime = new List<int>();int[] prime = new int[inf];prime[0] = prime[1] = 0;for (int i = 2; i < inf; ++i)prime[i] = 1;for (int i = 4; i < inf; i += 2)prime[i] = 0;double t = Math.Sqrt(inf);for (int i = 3; i <= t; i += 2){if (prime[i]>0){int k = i * i, p = i + i;for (int j = k; j < inf; j += p){prime[j] = 0;//if ((j - 1)%2 == 0)//    Console.WriteLine("j="+j+"  "+(j - 1) /2 + "");}}}//以上得到了 1 -- inf 范围 中的所有素数，在素数中判断条件int count = 1;for (long i = 0; i < prime.LongLength; i++){if (prime[i] != 0){if ((i - 1)%2 == 0){//符合2n+1为素数double n = (i - 1)/2;if (n < 3)continue;//符合2^M-1double a = Math.Log(n + 1, 2); // Math.Log(2, n + 1);double b = (a - Convert.ToInt64(a));if (a != double.NaN && a > 1 && Math.Abs(a - Convert.ToInt64(a)) < 0.000001d){count++;//Console.WriteLine(string.Format("n={0} an={1}",count,n));}}}}stp.Stop();Console.WriteLine(stp.ElapsedMilliseconds/1000d+"S");//

输出结果为：

n=2 an=3
n=3 an=15
n=4 an=63
n=5 an=4095
n=6 an=65535
n=7 an=262143
n=8 an=2097150
n=9 an=8388606
n=10 an=33554409
n=11 an=33554418
n=12 an=33554429
n=13 an=33554439
n=14 an=67108824
n=15 an=67108844
n=16 an=67108878
n=17 an=67108886
n=18 an=67108889
n=19 an=67108890
n=20 an=67108899
n=21 an=67108901
9.854S

我的是32位系统，数组最大长度只能设为：264800000 再长就报超出内存了。也不知道是不是系统的问题。64位系统的验证一下吧。