无穷级数求和7个公式_这些的公式是怎么得到的？

触碰标题下面一行的“邵勇老师”查看所有文章；触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。本公众号内容均由邵勇( 北京 )本人独创，欢迎转发，但未经许可不能转载。每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。

特别声明，本人未曾授权任何网站(包括微博)、公众号或其他什么号转载北京邵勇原创的“数学教学研究”公众号的内容。建议您一定直接关注本公众号(sx100sy)，这样有什么问题可以留言交流和发消息，我会诚恳回复。未经授权而转载我文章的地方丢失了很多功能，比如留言，比如发消息到我后台。未经授权而转载我文章的地方，毕竟还存留着贯穿于我文章中的图片(比如公式)，图片的右下角都有原公众号的水印“微信号: sx100sy”，通过在微信中搜索“sx100sy”，一定可以找到原始的公众号，也就是本公众号《数学教学研究》(sx100sy)并加以关注。本公众号才是良好的交流平台和文明的生态环境。

欧拉对数学的贡献真是无穷无尽。记得有一个求圆周率π的无穷级数公式，我以前也介绍过它是怎么推导的(收敛还是相当快的)，就是下面这个公式：

我从某些书上又看到另外的类似公式，比如：

大多数书只是给出这个公式(2)，但却没有给出推导过程。我今天就来给您讲一讲它是怎么得到的。并且同时也把公式(1)也一并讲了。两个公式本来就是一并求得的。

sinx的幂级数展开式为：

从而有

另外，sinx/x还可以写成无穷乘积(这里不加证明)：

到此处，我们先停顿一下。我说过，以前我们讲过上面的公式(1)，很多书上也给出了得到它的方法，基本上就是把上面的(3)式与(4)式进行比较，可以明显看出左右两端x^2项的系数各是什么，从而两者相等，得到公式(1)。其实，不光x^2项的系数两端相等，x^4项的系数两端也是相等的。但是，你看得出来上面(4)式中x^4项的系数是什么吗？肯定是任意两个因数中的x^2项的乘积，然后求和，但是，它是不是很复杂？似乎根本看不出能产生像公式(2)那么简洁的形式？好的，我们继续。

把(3)式与(4)式分别取对数(仍然收敛，但收敛性就不在这里证明了，本篇内容主要关注形式和方法)，得

(注意，上面(6)式中，因为取了对数，“积”就变为“和”了。)

我们还知道，ln(1－x)的幂级数展开式为：

所以，对(5)式应用(7)式(注意，把下式中下画线部分当成一个整体代替(7)式中的x)，得

同样，对(6)式应用(7)式，得

我们比较(8)式与(9)式两端x^2的系数，它们相等，就可以得到我们以前讲过的欧拉公式(1):

这个没有什么稀奇的，但我们还可以比较两式的x^4项，这个以前很少有人涉及。具体来说，(8)式中，x^4项有两部分，如下：

(9)式中，x^4项为：

(10)式与(11)式相等，得到

两边同时乘以“－2(π^4)”，得到

这就是前面的(2)式。

我们还可以让(8)(9)两式对应的其他同类项的系数相等，从而得到其他很多很多有关π的无穷级数公式。仅以x^6项的系数相等为例，我们便得到

经计算，得到又一有关π的无穷级数公式：

挖掘π的无穷级数表示、无穷乘积表示，是一件很有趣的事情。有兴趣的数学爱好者可在我公众号历史消息中搜索“圆周率”，即可找到这方面的文章。

无穷级数求和7个公式_这些的公式是怎么得到的？相关推荐

python 凯利公式_[转载]凯利公式的理解最重要补充（Z）
建立在古典概率基础上的机械化交易系统的M(最大连续亏损次数)理论值为无穷大,因此N(安全头寸)等于零.举例:一套65%的趋势跟踪系统,碰到盘局会有亏损.理论上的盘局可无限长,因此安全头寸为零.长期运作 ...
15个常用excel函数公式_【Excel公式函数】一大波常用的日期公式来袭，强烈建议收藏！...
使用Excel就难免会遇到与日期有关的问题,今天分享一大波实用公式,可以帮你解决常见的日期类问题. 1.只提取日期公式:=INT(A2) 2.只提取时间公式:=MOD(A2,1) 3.只提取年份公式: ...
n平方的求和公式_素数求和公式！！！(操作测试)
对n=30以内的素数执行求和! 成功! 对n=60以内的素数执行求和! 成功! 对n=100的素数执行求和! 成功! 备注: 1.理论上,公式是对的,而且已经被数学证明过了,只是知乎太小,写不下这些证 ...
编程三角形面积公式_三角形面积公式110式（英文版）
点击上面蓝色文字关注杨志明数学角精华博览8年新课标I.5年新课标II.4年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I.9年新课标II.4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题 ...
波特率与频率的换算公式?_高中物理公式总结表
高中物理知识点相对比较多,知识点公式也比较多,众多的物理公式起到了连接知识和题目的作用,对于学生来说,公式的熟悉和熟练程度往往直接决定了题目能否顺利解决以及解决的时间长短.以下是小编查询整理的高中物理 ...
导出excel写入公式_乱码、公式出错、效率低，这些excel“事故”的解决办法来了...
最近与学员打交道很多,发现跨境电商的财务除了要头疼怎么核算利润.怎么合规外,还被各种excel问题困扰,而且我发现,好多财务也没有这么多空去学习更多的excel的知识. 所以今天,唐老师根据过去在四大 ...
抛物线交点式公式_抛物线所有公式,抛物线是什么意思
一般式:y=aX2+bX+c(a.b.c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(X-h)2+k(a.h.k为常数,a≠0) 交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 其中抛物线y=aX2 ...
python画红色等边三角形面积公式_等边三角形面积公式？
展开全部等边三角形面积公式为: S=(√3)a²/4,(S是三32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333433623135角形的面积,a是三角 ...
抛物线交点式公式_抛物线所有公式
展开全部一般式:y=aX2+bX+c(a.b.c为常e69da5e887aa62616964757a686964616f31333366303763数,a≠0) 顶点式:y=a(X-h)2+k(a. ...
c#中计算三角形面积公式_三角形面积公式！你到底知道几个？
微信公众号"中学数学教与学"教师群公告微信QQ教师群入群方式及介绍高中数学教与学★教师QQ群[324623715] 初中数学教与学★教师QQ群[460287009] 中学数学教 ...

无穷级数求和7个公式_这些的公式是怎么得到的？

无穷级数求和7个公式_这些的公式是怎么得到的？相关推荐

最新文章

热门文章