FFT节省资源的思路
作者:桂。
时间:2017-01-18 23:07:50
链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/articles/6298391.html
前言
FFT是信号处理的常用手段,许多应用场景同时需要两个甚至多个傅里叶变换结果。例如:计算输入信号通过一个系统的输出结果,为了进行快速运算,通常需要利用补零操作使得二者长度相同,并借助FFT实现。许多场景中输入信号以及滤波器冲激响应都为实数,本文主要分析如何通过一个FFT运算同时得出两个实数DFT的结果。
一、利用一组复数FFT实现两组实数FFT
A.模型构造
图1 本文理论的应用场景示意图
应用需求如图1所示,定义新变量$z(n)$:
$z(n)= f(n) + jh(n)$
$z(n)$对应的频域变换为:
$Z(k)=X(k)+jH(k)$
B.理论推导
对于信号$z(n)$以及其共轭信号,
$z(n)=f(n)+jh(n)$
$z^*(n)=f(n)-jh(n)$
对应的频域变换为:
$Z(k)=F(k)+jH(k)$
$Z^*(k)=F(k)-jH(k)$
又信号$z^*(n)$的频域变换存在如下性质,
$DFT(z^*(n))=\sum^{N-1}_{n=0}z^*(n)e^{-\frac{j2\pi kn}{N}}= Z^*(N-k)$
从而由一个FFT运算得到两个FFT结果:
$F(k)=\frac{Z(k)+Z^*(N-k)}{2}$
$H(k)=\frac{Z(k)-Z^*(N-k)}{2j}$
当然输出结果也可以直接得出
$Y(k)=F(k)H(k)=\frac{[Z(k)]^2-[Z^*(N-k)]^2}{4j}$
对于N点的FFT,对应复数乘法个数为:
- 基2FFT:N/2*log2(N)
- 基4FFT:N/2*log2(N)-N
二、复数乘法的变形
对于两个复数:x1 = a+jb; x2 = c+jd:
进一步变形:
可以看出I、Q的第一项是相同的,这样便实现了:复数乘法由4个实数乘法器组成,简化为复数乘法由3个实数乘法器组成。
转载于:https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6298391.html
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