[***]HZOI20190714 T2熟练剖分

这题真的神仙，蒟弱表示看题解看不懂……std看了几个小时大概看懂，还有一些细节的东西没有思考。

最难受的是题解和std好像并不是同一个人写的……数组状态不一样……看了好久才看出来f也是前缀和。

F[i][j]表示在点 i 为根的子树中,向下最长轻链长度小于等于 j 的概率。

首先递归下去并求出子树大小，然后枚举重儿子，枚举该点最长轻链长度，再次枚举儿子节点并逐个考虑（感觉和概率充电器（特地从考试总结中搬出来了）那个题有点类似），

假设当前枚举的重儿子是v（i），枚举到儿子节点v（j），x最长轻链长度为k，设gs为v（j）之前考虑的儿子中最长轻链长度为k的概率（因为是前缀和，所以代码中有减这个操作，f同理），如果v（j）=v（i）即v（j）为重儿子，则设fs为以v（j）为根的子树最长轻链长度为k的概率，f[x][k]=gs*f[v(j)][k](v(j)之前考虑的儿子为长度k*以v（j）为根字数长度<=k（此条边为重链所以可以等于）)+fs*g[k]-gs*fs（去重），

如果v（j）是轻儿子，则设fs为以v（j）为根的子树最长轻链长度为k-1的概率，f[x][k]=gs*f[v(j)][k-1]+fs*g[k]-gs*fs,大致同上，只是x与v（j）相连的这条边为轻链所以有减1，值得提醒的一点是这里的f[x][k]并不是最终的f[x][k]，只是考虑到当前几个儿子时的值，一个儿子一个儿子地向里加。考虑到f数组直接改的话会错，所以用h数组保存，最后加到g数组中清空h，当v（i）为重儿子这个情况考虑玩后将g数组加到f中去，清空g。当前节点x求完后，此时的f数组并不是前缀和，所以需要再次转化。

最后求答案时再次将前缀和转化为单个的值（换来换去好乱啊……）。

还有一点，时间复杂度不容乐观啊，转移的时候如果k循环到了 size[x],那么复杂度可以被卡到 N^3,我们发现当 k>size[v（j）]+1 的时候f[i]没有变,所以只要 k 循环到 size[v（j）]+1 就行了。
每个节点只有在 dp 它父亲时会被枚举成为重儿子,然后最多把整棵树的大小扫一遍,所以复杂度为$n^2$(蒟弱表示并不会证).

ps.有同学问我g数组的含义（好像是没写太清楚），g[k]=∑f[x][l](l<=k)即前缀和,可能用文字描述更好理解点，就是v（j）之前的儿子中最长轻链长度小于等于k的概率。

 1 LL f[3010][3010],g[3010],h[3010],size[3010];
 2 void dfs(int x)
 3 {
 4     size[x]=1;
 5     for(int i=f(x);i;i=n(i))dfs(v(i)),size[x]+=size[v(i)];
 6     LL q=poww(du[x],mod-2);
 7     for(int i=f(x);i;i=n(i))//枚举重儿子
 8     {
 9         for(int j=0;j<=n;j++)g[j]=1;
10         for(int j=f(x);j;j=n(j))
11         {
12             for(int k=0;k<=size[v(j)]+1;k++)
13             {
14                 LL gs=g[k];      if(k)gs-=g[k-1];
15                 LL fs=f[v(j)][k];if(k)fs-=f[v(j)][k-1];
16                 if(v(j)==v(i))h[k]= ((gs*f[v(j)][k]%mod+fs*g[k]%mod-gs*fs)%mod+mod)%mod;
17                 else if(k)
18                 {
19                     fs=f[v(j)][k-1];if(k>1)fs-=f[v(j)][k-2];
20                     h[k]=(  (gs*f[v(j)][k-1]%mod+fs*g[k]%mod-fs*gs%mod)%mod+mod  )%mod;
21                 }
22             }
23             g[0]=h[0],h[0]=0;
24             for(int k=1;k<=size[v(j)]+1;k++)g[k]=(g[k-1]+h[k])%mod,h[k]=0;
25         }
26         for(int j=size[x];j;j--)g[j]=(g[j]-g[j-1]+mod)%mod;
27         for(int j=0;j<=size[x];j++)f[x][j]=(f[x][j]+g[j]*q%mod)%mod;
28     }
29     if(!f(x))f[x][0]=1;
30     for(int i=1;i<=n;i++)f[x][i]=(f[x][i-1]+f[x][i])%mod;
31 }

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define int LL
#define MAXN 50100
#define esp 1e-8
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct edge
{int u,v,nxt;#define u(x) ed[x].u#define v(x) ed[x].v#define n(x) ed[x].nxt
}ed[5000000];
int first[MAXN],num_e;
#define f(x) first[x]
int n,root;
int du[MAXN],ru[MAXN];LL poww(LL a,int b);
inline void add(int u,int v)
{++num_e;u(num_e)=u;v(num_e)=v;n(num_e)=f(u);f(u)=num_e;
}
inline int read()
{int s=0;char a=getchar();while(a<'0'||a>'9')a=getchar();while(a>='0'&&a<='9'){s=s*10+a-'0';a=getchar();}return s;
}
LL f[3010][3010],g[3010],h[3010],size[3010];void dfs(int x)
{size[x]=1;for(int i=f(x);i;i=n(i))dfs(v(i)),size[x]+=size[v(i)];
//  cout<<x<<" "<<size[x]<<endl;LL q=poww(du[x],mod-2);for(int i=f(x);i;i=n(i))//枚举重儿子{    for(int j=0;j<=n;j++)g[j]=1;for(int j=f(x);j;j=n(j)){for(int k=0;k<=size[v(j)]+1;k++){LL gs=g[k];      if(k)gs-=g[k-1];LL fs=f[v(j)][k];if(k)fs-=f[v(j)][k-1];if(v(j)==v(i))h[k]= ((gs*f[v(j)][k]%mod+fs*g[k]%mod-gs*fs)%mod+mod)%mod;else if(k){fs=f[v(j)][k-1];if(k>1)fs-=f[v(j)][k-2];h[k]=(  (gs*f[v(j)][k-1]%mod+fs*g[k]%mod-fs*gs%mod)%mod+mod  )%mod;}}g[0]=h[0],h[0]=0;for(int k=1;k<=size[v(j)]+1;k++)g[k]=(g[k-1]+h[k])%mod,h[k]=0;}for(int j=size[x];j;j--)g[j]=(g[j]-g[j-1]+mod)%mod;for(int j=0;j<=size[x];j++)f[x][j]=(f[x][j]+g[j]*q%mod)%mod;}if(!f(x))f[x][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)f[x][i]=(f[x][i-1]+f[x][i])%mod;
}
signed main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);n=read();int a;
//  for(int i=0;i<=n;i++)m[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++)        {du[i]=read();for(int j=1;j<=du[i];j++)a=read(),add(i,a),ru[a]++;}bool pdl=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(du[i]!=1&&du[i]!=0)pdl=0;if(!ru[i])root=i;}dfs(root);LL ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+i*(f[root][i]-f[root][i-1]+mod)%mod)%mod;printf("%lld\n",ans);
}
LL poww(LL a,int b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b=b>>1;}return ans;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Al-Ca/p/11188037.html

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