先来看一道题(HDU3507):

题意:给出N个单词,每个单词有个非负权值Ci,将k个单词排在一行的费用为(∑Ci)^2+M.求最优方案,使得总费用最小.

我们很容易得到一个O(N^2)的算法:

s[i]表示前i个单词的权值和.

先写个东西在这:所有元素非负的数组的前缀和值随下标增加单调递增.后面会用到.

f[i]表示将前i个单词排版完毕后的最优值,f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j])^2+M}.

但题目中N的范围是500000.这个算法明显不行.考虑如何优化.

我们固定i,考虑它的两个一般决策点j,k(j<k).

记g[pos]=f[pos]+(s[i]-s[pos])^2+M,即i从pos转移的代价.

如果决策点k优于j,那么就有g[k]<g[j].展开来:

f[k]+(s[i]-s[k])^2+M<f[j]+(s[i]-s[j])^2+M,化简得

f[k]-f[j]+s[k]^2-s[j]^2<2*s[i]*(s[k]-s[j])

注意到s[k]>s[j],我们在不等式两边除以(s[k]-s[j]).

不等式化为(f[k]-f[j]+s[k]^2-s[j]^2)/(s[k]-s[j])<2*s[i].

方便起见,我们将左边分式的分子分母同时变号.

(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k])<2*s[i].

可以看到不等式左边与i无关,右边只与i有关.(而且左边像一个两点间的斜率式).

记slope[j,k]=(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k]).

好了,现在我们有一个结论.

△对于i的两个决策点j,k(j<k),决策k优于决策j就等价于slope[j,k]<2*s[i].

换句话说,如果slope[j,k]<2*s[i],那么决策k优于j,反之决策j不比k差.

其实我们还可以知道,决策点k永远会比决策点j优.因为对于以后的i',s[i']>s[i]>slope[j,k].

因此这里的优劣应该是全局的,而不只限于i.

我们再来考虑三个点j,k,l(j<k<l)之间的优劣关系.

还是通过斜率:

如果slope[j,k]>slope[k,l],我们看看能得到什么.

1.若slope[k,l]<2*s[i].那么由之前的结论(△),l比k优.

2.若slope[k,l]>2*s[i],则slope[j,k]>2*s[i],那么由之前的结论(△),决策j不比k差.

综上,如果slope[j,k]>slope[k,l],k是可以淘汰掉的.

我们又得到一个结论.

△对于三个决策点j,k,l(j<k<l),如果slope[j,k]>slope[k,l],那么k永远不会成为某个点的最优决策.

现在我们有了这两个结论,怎样来优化呢?

我们可以将决策放到一个队列中,利用以上两个结论剔除无用决策点,达到快速转移的目的.

记队列的头指针为h,尾指针为t.

对于队列的头部,如果slope[q[h],q[h+1]]<2*s[i],那么,q[h]一定可以去掉了.h=h+1.

事实上经过这样的调整后,q[h]就是i的最有决策,直接取来更新就是了.

更新出f[i]后,将f[i]从尾部加入队列,并用i去剔除无用决策.

对于队列的尾部,如果slope[q[t-1],q[t]]>slope[q[t],i],那么q[t]可以去掉.t=t-1.

(这里我是按照我自己写程序的习惯写的,先用i去更新队尾,再加入i.还可以有不同的写法)

顺便说一句,这样维护以后,队列中的"点"形成一个上凸包(联想上面说的斜率).

程序大致过程

for i=1 to n do

begin

当队列不为空时,更新队头;

取当前队头更新f[i];

用i去更新队尾;

将i加入队尾.

end;

可以看到外层循环是O(N)的,内层里每个元素进出队列仅一次,所以总效率为O(N).

code:(HDU3507)

const oo=1e100;maxn=500001;
var   s,f:Array[0..maxn] of int64;q:array[0..maxn] of longint;n,m,i,h,t,c:longint;function slope(j,k:longint):extended;beginif s[j]=s[k] thenbeginif f[j]>=f[k] then slope:=-ooelse slope:=oo;exit;end;slope:=(f[j]-f[k]+s[j]*s[j]-s[k]*s[k])/(s[j]-s[k]);end;beginwhile not seekeof dobeginreadln(n,m);for i:=1 to n dobeginreadln(c);s[i]:=s[i-1]+c;end;h:=0; t:=0;for i:=1 to n dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])<2*s[i]) do inc(h);f[i]:=f[q[h]]+(s[i]-s[q[h]])*(s[i]-s[q[h]])+M;while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])>slope(q[t],i)) do dec(t);inc(t); q[t]:=i;end;writeln(f[n]);end;
end.

斜率优化相关题目推荐:

HNOI2008 玩具装箱
APIO2010 特别行动队
CEOI2004 锯木场选址
POJ 1180
POJ 3709

HNOI2008 玩具装箱

const oo=1<<60;var   f,s,q:array[0..50001] of int64;      n,l,i,j,c,h,t:longint;

function min(a,b:int64):int64;beginif a>b then exit(b); exit(a);end;

function slope(j,k:longint):extended;begin            exit((f[j]-f[k]-sqr(s[k]+k)+sqr(s[j]+j))/(s[j]+j-s[k]-k))end;

begin      readln(n,l);for i:=1 to n dobegin            readln(c);            s[i]:=s[i-1]+c;end;

      h:=0; t:=0;for i:=1 to n dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])<(i+s[i]-l-1)*2) do inc(h);            f[i]:=f[q[h]]+sqr(i-q[h]-1+s[i]-s[q[h]]-l);while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])>slope(q[t],i)) do dec(t);            inc(t); q[t]:=i;end;      writeln(f[n]);end.

APIO2010 特别行动队

const oo=2000000000;var   q,num:array[0..1000001] of longint;      f,s:array[0..1000001] of extended;      n,i,h,t:longint;      w,a,b,c:extended;

function slope(j,k:longint):extended;begin            exit((f[j]-f[k]+a*s[j]*s[j]-a*s[k]*s[k]-b*s[j]+b*s[k])/(s[j]-s[k]))end;

begin      readln(n);      readln(a,b,c);

for i:=1 to n dobegin            read(num[i]);            s[i]:=s[i-1]+num[i];end;

      h:=0; t:=0;for i:=1 to n dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])>=2*a*s[i]) do inc(h);            w:=s[i]-s[q[h]];            f[i]:=f[q[h]]+a*w*w+b*w+c;while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])<=slope(q[t],i)) do dec(t);            inc(t); q[t]:=i;end;      writeln(f[n]:0:0);end.

CEOI2004 锯木场选址

const maxn=20001;var   f,w,d,sw,sd,c,q:array[0..maxn] of longint;      n,i,j,tmp,ans,h,t:longint;

function cost(l,r:longint):longint;begin            cost:=c[r]-c[l-1]-sw[l-1]*(sd[r]-sd[l-1]);end;

function slope(j,k:longint):extended;begin            slope:=(sw[k]*sd[k]-sw[j]*sd[j])/(sw[k]-sw[j]);end;

begin      readln(n);for i:=1 to n do readln(w[i],d[i]);

for i:=1 to n+1 dobegin            sw[i]:=sw[i-1]+w[i];            sd[i]:=sd[i-1]+d[i-1];end;

for i:=1 to n+1 do c[i]:=c[i-1]+sw[i-1]*d[i-1];      h:=1; t:=1; q[1]:=1;for i:=2 to n dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])<sd[i]) do inc(h);            f[i]:=c[q[h]]+cost(q[h]+1,i)+cost(i+1,n+1);while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])>slope(q[t],i)) do dec(t);            inc(t); q[t]:=i;end;      ans:=maxlongint;for i:=2 to n doif ans>f[i] then ans:=f[i];

      writeln(Ans);end.

POJ1180

var   f,tx,fx,st,sf,q:array[0..100001] of longint;      n,s,i,h,t:longint;

function slope(i,j:longint):extended;begin            exit((f[i]-f[j])/(st[i]-st[j]));end;

begin      readln(n);      readln(s);for i:=1 to n do readln(tx[i],fx[i]);for i:=n downto 1 dobegin            st[i]:=st[i+1]+tx[i];            sf[i]:=sf[i+1]+fx[i];end;

      h:=0; t:=0;for i:=n downto 1 dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])<sf[i]) do inc(h);            f[i]:=f[q[h]]+(s+st[i]-st[q[h]])*sf[i];while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])>slope(q[t],i)) do dec(t);            inc(t); q[t]:=i;end;      writeln(f[1]);end.

POJ3709

var   q:array[0..500001] of longint;      f,s,num:array[0..500001] of extended;      dnum,d,i,j,m,n,h,t:longint;

function slope(j,k:longint):extended;var   x,y:extended;begin            y:=f[j]-f[k]-s[j]+s[k]+num[j+1]*j-num[k+1]*k;            x:=num[j+1]-num[k+1];if x=0 thenif y>=0 then exit(k+m)else exit(n+1);            slope:=y/x;if slope<k+m then exit(k+m);end;

begin      readln(dnum);for d:=1 to dnum dobegin            readln(n,m);            fillchar(s,sizeof(s),0);            fillchar(f,sizeof(f),0);for i:=1 to n dobegin                  read(num[i]);                  s[i]:=s[i-1]+num[i];end;            readln;

            h:=0; t:=0;

for i:=m to n dobeginwhile (h<t)and(slope(q[h],q[h+1])<=i) do inc(h);                  f[i]:=f[q[h]]+s[i]-s[q[h]]-num[q[h]+1]*(i-q[h]);while (h<t)and(slope(q[t-1],q[t])>=slope(q[t],i)) do dec(t);                  inc(t); q[t]:=i;end;            writeln(f[n]:0:0);end;end.

更多题目:http://www.notonlysuccess.com/?p=740
参考资料:
2004国家集训队论文 周源 《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》
2009JSOI集训队论文 《用单调性优化动态规划》
《动态规划的斜率优化》

转载于:https://www.cnblogs.com/exponent/archive/2011/08/11/2134938.html

动态规划优化_斜率优化相关推荐

  1. [Comet OJ - Contest #7 D][52D 2417]机器学习题_斜率优化dp

    机器学习题 题目大意: 数据范围: 题解: 学长说是决策单调性? 直接斜率优化就好了嘛 首先发现的是,$A$和$B$的值必定是某两个$x$值. 那么我们就把,$y$的正负分成两个序列,$val1_i$ ...

  2. mysql 范围优化_如何优化mysql的范围查询

    本文预计分为两个部分: (1)联合索引部分的基础知识 在这个部分,我们温习一下联合索引的基础 (2)联合索引部分的实战题 在这个部分,列举几个我认为算是实战中的代表题,挑出来说说. 正文 基础 讲联合 ...

  3. rsync 同步优化_可以优化同步吗?

    rsync 同步优化 总览 有一个常见的误解,因为JIT很智能,并且可以消除对象的同步,而该对象仅存在于不影响性能的方法中. 比较StringBuffer和StringBuilder的测试 这两个类基 ...

  4. mysql如何优化性能优化_如何优化性能?MySQL实现批量插入以优化性能的实例详解...

    这篇文章主要介绍了MySQL实现批量插入以优化性能的教程,文中给出了运行时间来表示性能优化后的对比,需要的朋友可以参考下 对于一些数据量较大的系统,数据库面临的问题除了查询效率低下,还有就是数据入库时 ...

  5. insert into select 优化_数据库优化总结

    第一部分:SQL语句优化 1.尽量避免使用select *,使用具体的字段代替*,只返回使用到的字段. 2.尽量避免使用in 和not in,会导致数据库引擎放弃索引进行全表扫描. SELECT * ...

  6. oracle sequences优化_性能优化-Oracle RAC中的Sequence Cache问题

    性能优化-Oracle RAC中的Sequence Cache问题 enq: SQ - contention 在RAC情况下,可以将使用频繁的序列Cache值增加到10000,或者更高到50000,这 ...

  7. mysql 字符串 索引优化_轻松优化MySQL-之索引优化1

    什么是索引?为什么要建立索引 索引用于快速找出在某个列中有一特定值的行,不使用索引MySQL必须从第一条记录开始读完整个表,直到找出相关的行,表越大查询数据所花费的时间就越多,如果表中查询的列有一个索 ...

  8. sql server left join 优化_网站优化推广

    网站优化推广,力果科技,杭州力果科技有限公司成立于2012年1月,业务专注于为中小企业提供网站seo优化.商城app开发.营销型网站建设以及网络营销推广定制化服务商. , 平台下载快捷.方便,广告做好 ...

  9. java web搜索引擎优化_搜索引擎优化(SEO)与网站开发优化

    对很多Java web.J2EE开发者来说"SEO搜索引擎优化"还是一个比较陌生的话题.他们中有的人并不知道有SEO–搜索引擎优化这一说法的存在,如何运用巧妙的手段提高网站的搜索排 ...

最新文章

  1. linux c 编译警告 warning: this decimal constant is unsigned only in ISO C90
  2. python学习费用-学习老男孩python多少钱?收费贵不贵?
  3. ios 发送请求时按home_iOS 10按下Home键能即响应返回桌面了
  4. python正则匹配数字_python 正则匹配字母数字中的任意数字,字母
  5. Linux 的进程状态
  6. 传统公司部署OpenStack(t版)简易介绍(二)——Keystone组件部署
  7. C#IList 取区间数据
  8. 新编标准日本语 第26课 课文
  9. python使用pip离线下载并安装包
  10. 做网络需要掌握的56句话
  11. C语言强化——学生管理系统
  12. python 广告分析算法_[Python]研究广告渠道的特征数据与结果数据的相关性, 并对渠道作出评分模型...
  13. 扩散模型 (Diffusion Model) 简要介绍与源码分析
  14. pycharm提示 进程已结束,退出代码 -1073740791 (0xC0000409)
  15. 自己封装的数据库DbUtils的万能模板
  16. 无人驾驶13:PID控制器
  17. 前端学习笔记 - 用CSS实现一个背景色为红色,半径为200px的圆,并设置不停的上下移动动画
  18. python爬虫之必应图片
  19. go语言的魔幻旅行38-gin、Gorm整合实现restfui api
  20. 环境配置:前端程序员快速进行开发

热门文章

  1. MySQL 5.6 rpm安装方法和碰见的问题
  2. Javascript框架 - ExtJs - 类
  3. 最稳定 性能最好 的 Linux 版本?
  4. element js 包含字符_携程春招题目字符串截取和数组升维
  5. python新手入门基础操作谨记这5点_Python大牛指点新手之:掌握这5点,可以快速从入门到进阶!...
  6. bankeralgorithm.jar中没有主清单属性_怀旧服:迅击指环和其拉之怒属性一致,为何狂暴战用迅击更好...
  7. 全程回顾|罗永浩直播带货首秀
  8. Galaxy Digital CEO:比特币应能守住4万美元关口
  9. DeFi货币市场协议DMM宣布因监管部门的要求,已停止运营
  10. BarnBridge更新路线图计划或于Q2推出SMART Alpha