©PaperWeekly 原创 · 作者｜苏剑林

单位｜追一科技

研究方向｜NLP、神经网络

最近，笔者入了一个新坑：基于离散优化的思想做一些文本生成任务。简单来说，就是把我们要生成文本的目标量化地写下来，构建一个分布，然后搜索这个分布的最大值点或者从这个分布中进行采样，这个过程通常不需要标签数据的训练。

由于语言是离散的，因此梯度下降之类的连续函数优化方法不可用，并且由于这个分布通常没有容易采样的形式，直接采样也不可行，因此需要一些特别设计的采样算法，比如拒绝采样（Rejection Sampling）、MCMC（Markov Chain Monte Carlo）、MH 采样（Metropolis-Hastings Sampling）、吉布斯采样（Gibbs Sampling），等等。

有些读者可能会觉得有些眼熟，似乎回到了让人头大的学习 LDA（Latent Dirichlet Allocation）的那些年？没错，上述采样算法其实也是理解 LDA 模型的必备基础。本文我们就来回顾这些形形色色的采样算法，它们将会出现在后面要介绍的丰富的文本生成应用中。

明确目标

很多时候，我们需要根据一些特定的信息 来生成目标文本 ，用数学的话说就是条件语言模型 ，不过我们无法得到足够多的语料对 去直接监督训练一个条件语言模型，而是只能训练一个无条件的语言模型 ，但我们又可以人为地设计一个指标来定量描述 和 之间的联系。

那么在这种情况下，如何根据无条件的语言模型 和 之间的联系来做有条件的文本生成，便成为了我们的研究对象。我们可以称之为“受限文本生成（Constrained Text Generation）”

举例来说，用关键词造句，那么 就是关键词的集合，我们可以定义示性函数：

继而定义：

保证了生成句子的流畅性， 保证了生成句子包含所要求的关键词，那么问题就可以变成最大化操作 或采样操作 。当然，这里的 还不是概率分布，要完成归一化后才是真正的概率分布：

但分母通常是难以显式计算出来的。那也就是说，我们对待采样分布也只了解到它正比于某个函数 ，而不知道精确的分布表达式。

类似的例子并不少，比如说文本摘要。什么是文本摘要呢？其实就是用更少的文字 尽可能表达出跟原文 一样的意思，这时候我们可以定义：

这里的 是某个文本相似度函数，而 是长度的示性函数，即 的长度在某个范围（可能依赖于 ）内，它就为 1，否则为 0。此时我们同样得到了一个未归一化的概率分布 ，需要最大化它或者从它里边采样。

很明显，这个目标就意味着我们要得到一段跟原文语义尽可能相似的、长度满足一定约束的文字，这不就是摘要的存在意义吗？所以，这套思路的核心出发点就在于：我们要把自己要生成的目标定量地捋清楚，然后再去执行下一步操作。

困难分析

所以，抛开前面的背景不说，现在我们面临的问题就是有一个分布 ，我们只知道 ，即：

中的分母我们无法显式计算出来。在本系列文章中， 代表文本，即一个离散元素的序列，但后面的推论同样也适用于 是连续型向量的场景。现在我们要搜索最大位置 或进行采样 ，后面我们将会看到，搜索最大值其实也可以看成是采样的特例，因此我们主要关心采样方式。

前面说了，之所以需要设计一些特别的算法来完成采样，是因为直接从 中采样是困难的，而我们需要理解采样的困难所在，才能真正理解后面所设计的采样算法的关键之处。困难在哪？

如果 的候选值空间不大，哪怕有 100 万个候选值，我们都可以把每个 都算出来，然后按照普通的类别采样来进行。然而，一般 的候选值空间远远不止 100 万，假如 有 10 个分量，每个分量有 1 万个选择（对应于候选字数目），那么总的排列就有 种了，不可能事先算好每一种排列的概率然后依概率采样。

那怎么办呢？所谓“不积硅步，无以至千里”，那就只能一步步来了，也就是说，我没法直接实现 选 1，那我做 10 次“ 选 1”可以吗？这就对应着所谓的“自回归生成”：

这样我们就可以先从 采样一个 ，然后从 中采样一个 ，依此递归了。但是，自回归生成只是对应于无条件的语言模型或者是有监督训练的 Seq2Seq 模型，而如果希望像前面举的例子那样，往无条件语言模型的生成过程中加点约束，那么对应出来的模型就不再是自回归的了，也就无法按照这样的递归采样了。

所以，我们就不得不需要后面介绍的各种采样算法了，它也是“一步步来”的思想，但所使用的分布形式更加广泛一些。

重要采样

在《从采样看优化：可导优化与不可导优化的统一视角》[1] 、《如何划分一个跟测试集更接近的验证集？》[2] 等文章里，我们介绍过“重要性采样”的概念，即如果我们想估计期望 ，但是 又不是易于采样的分布，那么我们可以找一个跟 相近的、易于采样的分布 ，然后根据下述变换：

转化为从 采样来算 的期望了，也就是用 对每个样本进行加权，所以它被称为“重要性采样（Importance Sampling）”。如果只知道 ，那么重要性采样也是可以进行的，这是因为：

所以：

这样一来，我们发现上式只依赖于 的相对值，不依赖于它的绝对值，所以把 换成跟它成正比的 也是可以的，最终简化成：

拒绝采样

上一节的重要性采样实现了将复杂分布期望转化为简单分布期望，但这还不是我们的真正目的，我们要实现的是把样本从分布 中采样出来，而不是估算它的某个期望。思想依然跟重要性采样一样，引入易于采样的分布 ，然后从中随机地筛掉某些样本，使得剩下的样本服从分布 。

具体来说，假设有函数 ，我们按照如下流程进行采样（即“拒绝采样”）：

从 采样一个样本 ，从 中采样一个随机数 ，若 则接受该样本，否则拒绝并重新按照此流程采样。

那么，此时采样出来的 真正的概率分布是什么呢？其实也不难，由于样本 被保留下来的概率是 ，因此它的相对概率就是 ，我们只需要将它重新归一化：

就得到拒绝采样对应的真正的概率分布了，从这个形式也可以看出，将接受率乘以一个 0 到 1 之间的数，理论上拒绝采样对应的分布是不变的。

这个过程启示我们，拒绝采样可以让我们实现从正比于 的分布中采样，那么根据，我们可以让 作为接受概率，来进行从 出发的拒绝采样，结果就相当于从 采样了。

当然，还没那么简单，根据概率的归一化性质，除非 恒等于 ，否则 不可能一直都在 内。但这不要紧，只要 有上界，那么我们就可以选择一个足够大的常数 M，使得 ，此时以 为接受概率即可，刚才我们说了，乘以一个常数不会影响拒绝采样对应的分布。换句话说，也就是这个过程同样不依赖于完全精确的 ，可以将 换成跟它成正比的 。

关于接受率 ，尽管理论上只要求它 就行了，但实际上还是以 为好，这是因为过小的接受率会导致拒绝太多（几乎来一个拒绝一个），采样效率太低，生成一个合理的样本的成本过大了。

类似地，尽管理论上对 的要求只是易于采样并且 有上界，但实际上 与 仍然是越相近越好，否则依然可能造成接受率过低而导致采样成本大到难以接受。所以，尽管拒绝采样看上去提供了一种几乎能从任意分布 中进行采样的方案，但实际应用时近似分布 的设计依然是一个不小的难题。

本文小结

从本文开始，我们开了个新坑，试图从离散优化的角度来完成某些文本生成任务（受限文本生成）。它通过确定一个定量的评估目标，然后通过最大化这个目标或者从中采样就可以得到我们想要的输出，而不需要标签数据监督训练新模型。

在这个过程中，所要用到的工具是一些主要是采样算法，本文先介绍了其中很基本的重要性采样和拒绝采样，后面将会继续完善该系列文章，敬请大家期待。

参考文献

[1] https://kexue.fm/archives/7521

[2] https://kexue.fm/archives/7805

更多阅读

#投 稿 通 道#

 让你的论文被更多人看到 

如何才能让更多的优质内容以更短路径到达读者群体，缩短读者寻找优质内容的成本呢？答案就是：你不认识的人。

总有一些你不认识的人，知道你想知道的东西。PaperWeekly 或许可以成为一座桥梁，促使不同背景、不同方向的学者和学术灵感相互碰撞，迸发出更多的可能性。

PaperWeekly 鼓励高校实验室或个人，在我们的平台上分享各类优质内容，可以是最新论文解读，也可以是学习心得或技术干货。我们的目的只有一个，让知识真正流动起来。

???? 来稿标准：

• 稿件确系个人原创作品，来稿需注明作者个人信息（姓名+学校/工作单位+学历/职位+研究方向）

• 如果文章并非首发，请在投稿时提醒并附上所有已发布链接

• PaperWeekly 默认每篇文章都是首发，均会添加“原创”标志

???? 投稿邮箱：

• 投稿邮箱：hr@paperweekly.site

• 所有文章配图，请单独在附件中发送

• 请留下即时联系方式（微信或手机），以便我们在编辑发布时和作者沟通

????

现在，在「知乎」也能找到我们了

进入知乎首页搜索「PaperWeekly」

点击「关注」订阅我们的专栏吧

关于PaperWeekly

PaperWeekly 是一个推荐、解读、讨论、报道人工智能前沿论文成果的学术平台。如果你研究或从事 AI 领域，欢迎在公众号后台点击「交流群」，小助手将把你带入 PaperWeekly 的交流群里。