随机变量的函数的期望

对于随机变量XXX，假设ggg是定义在它样本空间上的可测函数，则随机变量的函数的期望指的是E[g(X)]E[g(X)]E[g(X)]。这种表示具有一般性，它可以表示概率、矩、生成函数。比如取g(x)=I(x≤a)g(x) = I(x \le a)g(x)=I(x≤a)，则
E[g(X)]=E[I(X≤a)]=∫x≤aP(dx)=P(x≤a)E[g(X)] = E[I(X \le a)] = \int_{x \le a} P(dx) = P(x \le a)E[g(X)]=E[I(X≤a)]=∫x≤aP(dx)=P(x≤a)
随机变量的函数的期望就成了概率。下面讨论用随机变量的函数的期望表示矩和生成函数。

如果g(x)=(x−EX)kg(x) = (x-EX)^kg(x)=(x−EX)k，则E[g(X)]=E[X−EX]kE[g(X)] = E[X-EX]^kE[g(X)]=E[X−EX]k，这个是XXX的kkk阶中心原点矩。如果g(x)=xkg(x) = x^kg(x)=xk，则E[g(X)]=E[Xk]E[g(X)] = E[X^k]E[g(X)]=E[Xk]，这个是XXX的kkk阶中心矩。一阶原点矩叫期望、二阶中心矩叫方差，γ1\gamma_1γ1叫偏度，γ2\gamma_2γ2叫峰度：
γ1=E[(X−μσ)3],γ2=E[(X−μσ)4]−3\gamma_1 = E \left[ \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right],\ \ \gamma_2 = E \left[ \left( \frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4 \right]-3γ1=E[(σX−μ)3], γ2=E[(σX−μ)4]−3
那个3是标准正态分布的峰度。

特征函数，矩生成函数，累积量生成函数，概率生成函数

如果g(x)=exp⁡(iθx)g(x)=\exp(i\theta x)g(x)=exp(iθx)，E[g(X)]=Eexp⁡(iθX)=ϕX(θ)E[g(X)] = E\exp(i\theta X) = \phi_X(\theta)E[g(X)]=Eexp(iθX)=ϕX(θ)，这个叫特征函数，也是分布函数的Fourier变换。因为∣g(x)∣=1|g(x)|=1∣g(x)∣=1，ϕX(θ)\phi_X(\theta)ϕX(θ)对所有分布都存在。

如果g(x)=exp⁡(tx)g(x)=\exp(tx)g(x)=exp(tx)，E[g(X)]=Eexp⁡(tX)=MX(t)E[g(X)] = E\exp(tX) = M_X(t)E[g(X)]=Eexp(tX)=MX(t)，这个叫矩生成函数，或者矩母函数，或者分布函数的Laplace变换。它有一个比较有用的性质：
MX(k)(t)=E[Xkexp⁡(tX)],M(k)(0)=E[Xk]M^{(k)}_X(t) = E[X^k \exp(tX)],\ \ M^{(k)}(0) = E[X^k]MX(k)(t)=E[Xkexp(tX)], M(k)(0)=E[Xk]
也就是根据它的导数可以确定出各阶原点矩，因此得名矩母函数。根据积分变换的唯一性，特征函数与矩母函数和分布之间都具有一一对应的关系，当变换法不适用的时候，也可以通过矩母函数来确定某个随机变量的函数的分布。

定义KX(t)=ln⁡MX(t)K_X(t) = \ln M_X(t)KX(t)=lnMX(t)，这个叫cumulant生成函数，κk\kappa_kκk是XXX的kkk阶cumulant：
κk=KX(k)(0)\kappa_k = K_X^{(k)}(0)κk=KX(k)(0)
这个cumulant不太直观，但可以简单计算一下
κ1=EX,κ2=VarX\kappa_1 = EX,\kappa_2 = Var Xκ1=EX,κ2=VarX
cumulant的一个比较有用的应用是作为Edgeworth级数的系数的一部分。

如果g(x)=zx,x∈Z+g(x)=z^x,x \in \mathbb{Z}^+g(x)=zx,x∈Z+，E[g(X)]=E[zX]=ρX(z)E[g(X)] = E[z^X]=\rho_X(z)E[g(X)]=E[zX]=ρX(z)，这个是离散型随机变量的概率母函数或者概率生成函数，或者分布列的z变换。它的性质是
P(X=x)=1x!ρX(x)(0),ρX(k)(1)=E(X)kP(X = x) = \frac{1}{x!} \rho^{(x)}_X(0),\ \ \rho_X^{(k)}(1)=E(X)_kP(X=x)=x!1ρX(x)(0), ρX(k)(1)=E(X)k
其中E(X)kE(X)_kE(X)k是XXX的kkk阶factorial moment，
E(X)k=EX(X−1)⋯(X−k+1)E(X)_k = EX(X-1)\cdots (X-k+1)E(X)k=EX(X−1)⋯(X−k+1)

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