CodeForces - 1485F Copy or Prefix Sum(dp)

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题目大意：给出数组 bbb，问可以构造出多少种满足条件的数组 aaa，规定数组 aaa 和数组 bbb 的关系如下：

bi=aib_i = a_ibi=ai or
bi=∑j=1iajb_i = \sum_{j=1}^{i} a_jbi=∑j=1iaj

题目分析：乍一看是个计数问题，因为对于每个位置，aia_iai 都有两种选择，所以答案将会是 2n2^n2n 级别的，但是有些时候会重复计数，观察当 (∑j=1i−1aj)=0(\sum_{j=1}^{i-1} a_j)=0(∑j=1i−1aj)=0 时，aia_iai 有且仅有一种选择，那就是等于 bib_ibi 了

所以先设计一个 n2n^2n2 级别的 dpdpdp，dpi,jdp_{i,j}dpi,j 代表到了第 iii 个位置，前缀和为 jjj 时的方案数，转移的话也是比较简单，可以分别从上面两种情况进行转移：

bi=aib_i=a_ibi=ai，dp[i][j]=dp[i−1][j−bi]dp[i][j]=dp[i-1][j-b_i]dp[i][j]=dp[i−1][j−bi]
bi=∑j=1iajb_i = \sum_{j=1}^{i} a_jbi=∑j=1iaj，dp[i][bi]=(∑dp[i−1][j])−dp[i−1][0]dp[i][b_i]=(\sum dp[i-1][j])-dp[i-1][0]dp[i][bi]=(∑dp[i−1][j])−dp[i−1][0]

注意上面第二种情况减去的 dp[i−1][0]dp[i-1][0]dp[i−1][0] 就是去掉 sum=0sum=0sum=0 的方案数

考虑其实很多转移都是无用的，也就是统一偏移了固定的单位，所以我们可以参考 “水平线优化dp” 的博客：https://codeforces.com/blog/entry/58316

维护一个偏移量辅助转移，这样第一种情况就可以直接 O(1)O(1)O(1) 维护了，而对于第二种情况，也只是需要单独查一下 dp[i−1][0]dp[i-1][0]dp[i−1][0] 这一项，剩下的将 dpdpdp 数组滚动一下就可以了

代码：

// Problem: F. Copy or Prefix Sum
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #701 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1485/problem/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
map<LL,LL>mp;
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--) {mp.clear();int n;read(n);LL delta=0,ans=1;mp[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) {int x;read(x);LL temp=(ans-mp[-delta]+mod)%mod;mp[-delta]=(mp[-delta]+temp)%mod;delta+=x;ans=(ans+temp)%mod;}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

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