RF信号下采样/矩阵下采样（附python实现代码）

之前对于RF信号下采样这个问题特别的懵，上采样我是知道的，其中一种方法就是对于矩阵插值，使得它具有更多的信息。

但是下采样，我查了很多资料，在知网上看到一篇论文（好像不是计算机领域的），他对于矩阵下采样就是删除特定的列和行，比如是8 * 8的矩阵，那就删除2 4 6 8列和行，得到一个含1 3 5 7列和行的4 * 4大小的矩阵。

上周开了组会，刚好听一个很厉害的师兄在查新汇报中说到了RF信号下采样的问题，我就去请教了师兄，啊，其实，很简单呐，就是卷积，比如卷积核大小是3 * 3，那就可以让一个5 * 5大小的矩阵变为3 * 3大小的。

嗯……所以，我对卷积这方面还不是很熟悉，我要去详细的学习一下卷积的相关内容~~~

一、卷积是什么呢？

卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法。

卷积是分析数学中一种重要的运算。
简单定义：设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数 x，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数，称为函数与的卷积，记为：

容易验证，并且仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

由卷积得到的函数一般要比和都光滑。特别当为具有紧致集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于的光滑函数列，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列和，则卷积的结果：

其中星号*表示卷积。当时序时，序列是的时序 i 取反的结果；时序取反使得以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，是使位移的量，不同的对应不同的卷积结果。

如果卷积的变量是函数和，则卷积的计算变为：

其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。

好了，以上是百度百科的内容。也算是对于卷积有了一个初步的理解了~~

二、如何卷积

然后，我们就要看看，要怎么卷积！

对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。

在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。整体看来是这么个过程：

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加…多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；卷积的“积”，指的是积分/加权求和。

三、理解图像中的矩阵

图像可以表示为矩阵的形式：

对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个 g 矩阵来表示，如：

注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：

那么函数 f 和 g 的在（u，v）处的卷积 [公式] 该如何计算呢？
按卷积的定义，二维离散形式的卷积公式应该是：

从卷积定义来看，应该是在 x 和 y 两个方向去累加（对应上面离散公式中的 i 和 j 两个下标），而且是无界的，从负无穷到正无穷。可是，真实世界都是有界的。例如，上面列举的图像处理函数 g 实际上是个3 * 3的矩阵，意味着，在除了原点附近以外，其它所有点的取值都为0。考虑到这个因素，上面的公式其实退化了，它只把坐标（u,v）附近的点选择出来做计算了。所以，真正的计算如下所示：

首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：

然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，可以有几种不同的理解，其效果是等效的：（1）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；（2）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；），如下：
原始矩阵：

翻转后的矩阵：

计算卷积时，就可以用 f 和 g’ 的内积：

以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。

以上计算的是**（u,v）处的卷积**，沿x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。

如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑，显得更模糊，因为它联合周边像素进行了平均处理：

而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更为明显，强化边缘，而变化平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：

四、卷积核大小、个数，卷积层数如何确定？

在达到相同感受野的情况下，卷积核越小，所需要的参数和计算量越小。具体来说。卷积核大小必须大于1才有提升感受野的作用，1排除了。而大小为偶数的卷积核即使对称地加padding也不能保证输入feature map尺寸和输出feature map尺寸不变（画个图算一下就可以发现），2排除了。所以一般都用3作为卷积核大小。

每一层卷积有多少channel数，以及一共有多少层卷积，这些暂时没有理论支撑，一般都是靠感觉去设置几组候选值，然后通过实验挑选出其中的最佳值。这也是现在深度卷积神经网络虽然效果拔群，但是一直为人诟病的原因之一。

五、对RF信号进行下采样

图像下采样原理：
对于一幅图像 I 尺寸为M * N，对其进行 s 倍下采样，即得到(M/s) * (N/s)尺寸的得分辨率图像，当然 s 应该是 M 和 N 的公约数才行，如果考虑的是矩阵形式的图像，就是把原始图像s * s窗口内的图像变成一个像素，这个像素点的值就是窗口内所有像素的均值：

那么如果图像按列向量化，变成了1*(MN)的向量之后，这个下采样过程也应当有一个对应的矩阵，这个矩阵的大小为(MN/s^2)*(MN)。

那么对RF信号进行下采样就等于对矩阵下采样，比如我的RF信号矩阵是处理为了 200 * 200 大小的，那么对它下4采样就是得到 50 * 50 大小的矩阵。

现在的问题就是 如何确定卷积核的大小和数值？？？

好了，搜了很久卷积核的数值都没找到，然后发现那个东西叫算子！！！而且，有一些常用的算子，是可以直接用的有个sobel？效果蛮好的。

一些常用的卷积核：

以 Sobel 算子为例

Sobel 算子也叫 Sobel 滤波, 是两个 3*3 的矩阵，主要用来计算图像中某一点在横向/纵向上的梯度，看了不少网络上讲解 Sobel 算子的文章，发现人们常常把它的横向梯度矩阵和纵向梯度矩阵混淆。这可能与 Sobel 算子在它的两个主要应用场景中的不同用法有关。

Sobel 算子的两个梯度矩阵: Gx 和 Gy

这里以 Wiki 资料为准，Sobel 算子有两个滤波矩阵：Gx 和 Gy, Gx 用来计算横向的梯度，Gy 用来计算纵向的梯度，下图就是具体的滤波器：

Sobel 算子的用途：

它可以用来对图像进行边缘检测，或者用来计算某个像素点的法线向量。这里需要注意的是：

边缘检测时：Gx 用于检测纵向边缘，Gy 用于检测横向边缘。

计算法线时：Gx 用于计算法线的横向偏移，Gy 用于计算法线的纵向偏移。

横向新值 = (-1) * [左上] + (-2) * [左] + (-1) * [左下] + 1 * [右上] + 2*[右] + 1*[右下]

纵向新值 = (-1) * [左上] + (-2) * [上] + (-1)[右] + 1 * [左下] + 2[下] + 1*[右下]

卷积核的个数对应输出通道，每个卷积核的通道对应输入的通道数

六、实战处理

首先是运用Sobel算子，对于mat文件（也就是矩阵形式）进行一个卷积，mat文件是200 * 200大小的矩阵，算子是3 * 3的，运用以下代码，得到了200 * 200大小的卷积后的矩阵：

对于mat文件的相关操作见此处

import numpy as np
import scipy.io as scio #读取mat文件所用的包dataFile = 'K://数据集/train/00001/1/1.mat' #mat数据地址def zero_pad(x, pad_height, pad_width):# 先在待处理矩阵周围填充0H, W = x.shape# H为待处理矩阵的高（行），Wi为待处理矩阵的宽（列）out = Noneout = np.zeros((H+2*pad_height, W+2*pad_width))# 知道尺寸后先全填入0out[pad_height:pad_height+H, pad_width:pad_width+W] = x# 后在中间填入x，这样边缘填充0就完成了return outdef conv_fast(x, h):Hi, Wi = x.shape# Hi为待处理矩阵的高（行），Wi为待处理矩阵的宽（列）Hh, Wh = h.shape# Hh为卷积核的高（行），Wi为卷积的宽（列）out = np.zeros((Hi, Wi))# 相当于占位pad_height = Hh // 2   #mode为same情况下，填充0的数量取决于卷积核h的尺寸pad_width = Wh // 2image_padding = zero_pad(x, pad_height, pad_width)h_flip = np.flip(np.flip(h, 0), 1) #np.flip 是翻转函数,参数0为上下翻转也就是行翻转,而参数1为左右翻转也就是列翻转for i in range(Hi):for j in range(Wi):out[i][j] = np.sum(np.multiply(h_flip, image_padding[i:(i+Hh), j:(j+Wh)]))# 加权求和后写入结果到out对应位置return outdata = scio.loadmat(dataFile) #此时读取到的为dict形式
x = data['matrix']#读取其中的矩阵
h = np.array([[-1,-2,-1],[0,0,0],[1,2,1]]) #Sobel算子print('conv2d(x,h) :')
print(conv_fast(x,h)) #输出卷积后的矩阵
print(conv_fast(x,h).shape) #输出矩阵大小

然后我继续处理，因为这样得到的矩阵大小还是200 * 200
参数’full’：
拿到完整的卷积结果

参数’same’：
以中间向两边散开，拿到第一个输入数组同样长度的卷积数组
ps:如果输入数组是偶数长度，则最后一个数向左边取

参数’valid’：
拿到卷积序列的中间部分的一个/两个数（若x×y-1为奇数则取1个，偶数则取2个）

继续更改代码，我发现用signal.convolve2d()这个函数可以直接对两个矩阵卷积，继续修改代码

import numpy as np
import scipy.io as scio
from scipy import signaldataFile = 'K://数据集/train/00001/1/1.mat' #数据位置data = scio.loadmat(dataFile)
x = data['matrix']
h = np.array([[-1,-2,-1],[0,0,0],[1,2,1]]) #卷积核s = signal.convolve2d(x,h, 'valid')print(s)
print(s.shape)

这样得到的矩阵大小是198 * 198的，那我是不是可以循环一下，那要减少150岂不是要循环75次？？

七、最终处理

因为我是要对矩阵下4采样，就是说从200 * 200大小的矩阵得到50 * 50大小的矩阵，所以要对上述的代码进行一定的更改：

import numpy as np
import scipy.io as scio
from scipy import signaldataFile = 'K://数据集/train/00001/1/1.mat' #数据位置data = scio.loadmat(dataFile)
x = data['matrix']
h = np.array([[-1,-2,-1],[0,0,0],[1,2,1]]) #卷积核for i in range(0,75):s = signal.convolve2d(x,h, 'valid')x = sprint(s)
print(s.shape)New_data = 'K://数据集/LR/1.mat'scio.savemat(New_data,{'s':s})

这样就得到了50 * 50大小的矩阵了，再把它保存一下~~~

在保存那遇到了点问题，因为mat文件存入的是字典，而我们s中存的是数组，刚开始用的是scio.savemat(New_data,{‘s’:data[‘s’]})，一直说KeyError：s，然后发现，直接像上面那样写就可以了！

所以就处理完了，现在就是写个循环对我所有的mat文件下采样就行了~~~

补：
我又发现了一点问题……

这样卷的太狠了，丢失了很多信息，转换出来的图像和之前差距特别大，我觉得，可能要设置卷积步长，卷一次那种，不是卷这么多次，弄出来是个什么东西，哭了……

行，自己写了一个……

import numpy as np
import scipy.io as scio
from scipy import signaldataFile = 'K://数据集/train/00001/1/1.mat' #数据位置data = scio.loadmat(dataFile)
x = data['matrix']
h = np.array([[-1,-2,-1],[0,0,0],[1,2,1]]) #卷积核def convolution(h, x):n,m = x.shape #n为行,m为列new = []for i in range(1,n+1,4):line = []for j in range(1,m+1,4):a = x[i:i+3,j:j+3]a = signal.convolve2d(a,h,'valid')line.append(a[0][0])new.append(line)return np.array(new)new = convolution(h, x)#卷积过程print(x.shape)
print(new.shape)

a[0][0]是因为如果用a，那么new的shape输出会是(50,50,1,1)，而且就是，每一个数据外面多了两层括号，所以就给删了……

大功告成！

参考链接：
1、https://blog.csdn.net/liulina603/article/details/47727277/
2、https://www.zhihu.com/question/22298352
3、https://www.sohu.com/a/241208957_787107
4、https://www.pianshen.com/article/302985268/
5、https://blog.csdn.net/CSDN_CQD/article/details/105224388
6、https://blog.csdn.net/weixin_41861700/article/details/103649951