1.三角函数系与正交性

首先,我们要引入一下三角函数系和正交性的概念

我们定义一个集合:

{0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…}

以上就是我所说的三角函数系列

那什么是正交呢?

在三角函数系中任意两个函数在-Π到Π之间的积分为0
∫ − π π s i n n x c o s m x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =0 ∫−ππsinnxcosmxdx=0
其中,m不等于n,若m=n
那么

∫ − π π s i n n x c o s m x d x = π \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =\pi ∫−ππsinnxcosmxdx=π

注意,第二个积分不一定是sin和cos,也可以是sin,cos的所有组合

那么我们如何去理解正交性呢?
正交应该说是一个几何,或者说向量空间中的概念.
我们用向量来举例子:

如果我们有两个向量A,B正交(可以理解为两个向量垂直)
A = (a1,a2,a3,…)
B = (b1,b2,b3,…)
那么A` B = ai `bi 的求和 = 0
(这里我懒了,不想用LATEX了-_-)
在通俗点说就是两个垂直的向量做点积等于=0.
如果把AB两个向量换为函数,那么就等同于上面定义的正交了.

2.周期(2pi)函数的傅里叶展开(三角形式)

教科书中定义了,如果周期函数满足迪尼赫雷条件,那么即可展开为傅里叶级数.
即若,T = 2pi , f(x) = f(x + 2pi), 有

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n c o s n x + ∑ n = 0 ∞ b n s i n n x f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_ncosnx+\sum_{n=0}^\infty b_nsinnx f(x)=n=0∑∞ancosnx+n=0∑∞bnsinnx

是不是跟书上的有一点不一样?,其实,只要我们令n= 1
f ( x ) = a 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x) = a_1+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+ b_nsinnx) f(x)=a1+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)

3.找到周期函数傅里叶展开的系数

接下来让我们来找一找an,bn吧!

这里就用到了我们前面介绍的正交性
我们让f(x)左右两边同乘cosmx并且取积分,则有
∫ − π π f ( x ) c o s m x d x = ∫ − π π f ( x ) c o s m x d x \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx= \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx ∫−ππf(x)cosmxdx=∫−ππf(x)cosmxdx
+ ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ a n c o s n c o s m x d x +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx +∫−ππn=1∑∞ancosncosmxdx
+ ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ b n s i n n x c o s m x d x +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnxcosmx dx +∫−ππn=1∑∞bnsinnxcosmxdx
注意注意!!!
等式右边的三个式子,由于正交性,我们只留下了第二项,也就是
∫ − π π ∑ n = 1 ∞ a n c o s n c o s m x d x \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx ∫−ππn=1∑∞ancosncosmxdx
只有它的n=m的时候,取值不为0,等于
a n π a_n\pi anπ
所以我们得出了
a n = 1 / π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x an = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx an=1/π∫−ππf(x)cosnxdx
同理,只需要对f(x)左右两边同×cosmx即可得出bn的结果为:
b n = 1 / π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x bn = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx bn=1/π∫−ππf(x)sinnxdx

结语

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超硬核之傅里叶公式推导(上)

超硬核之傅里叶公式推导

1.三角函数系与正交性

2.周期(2pi)函数的傅里叶展开(三角形式)

3.找到周期函数傅里叶展开的系数

结语

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