Buffon投针实验

2024-05-23 22:21:21

Buffon’s Needle

桌面上有距离为a的若干平行线，将长度为L的针随机丢在桌面上，则这根针与平行线相交的概率是多少？假定L < a.
思路：从针据横线的距离与夹角得出。
解决：
1. 假设针的中点到最近横线的距离为y，则y∈[0,a2]y∈[0,a2];

因为投针是随机的，所以y服从均匀分布：

f(y)={2a,0,0≤y≤a2othersf(y)={2a,0≤y≤a20,others

2. 假定横线向右为正向，记投针与横线正向的角为 θθ ，则 θ∈[0,π]θ∈[0,π] ,为均匀分布。

f(θ)={1π,0,0≤θ≤πothersf(θ)={1π,0≤θ≤π0,others

投针与横线有交点，即 y≤L2sinθy≤L2sinθ

布丰投针估算ππ – 蒙特卡罗模拟

针与横线有交点的概率：
P(x)=∫π0∫L2sinθ0f(y,θ)dydθ=∫π0∫L2sinθ0f(y)f(θ)dydθ =∫π0∫L2sinθ02a∗1πdydθ=2LaπP(x)=∫0π∫0L2sinθf(y,θ)dydθ=∫0π∫0L2sinθf(y)f(θ)dydθ =∫0π∫0L2sinθ2a∗1πdydθ=2Laπ

如果做n次投针实验，其中有k次针与横线相交，则针与横线相交的频率为：knkn,根据大数定理，频率也就为概率。
2Laπ≈kn2Laπ≈kn 即， π≈2Lnakπ≈2Lnak

MATLAB模拟实验

用布丰投针实验近似计算pipi的值：
代码如下：

l = 0.6; %针的长度
a = 1; %平行线的宽度
n = 1000000; %做n次投针试验
k = 0; %记录针与平行线相交的次数
y = unifrnd(0, a/2, 1, n); %在[0, a/2]内服从均匀分布随机产生n个数
theta = unifrnd(0, pi, 1, n); %在[0, pi]内服从均匀分布随机产生n个数
for i=1:nif y(i) < (l/2)*sin(theta(i)) k = k + 1;end
end
f = k / n;
Pi = (2*l*n)/(a*k);

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结果如图所示：

如此进行多次实验，进行估计。
如图为进行100次重复投针实验，每次投针1000000次，结果如图所示：

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