MATLAB实现地球表面上两点之间的仰角和方位角计算

背景：两个天线分别坐落在两个山头上（或者其他什么地方均可，中间要保证无阻碍物），它们的波束角度都很小，大概为一度，且相距很远（几十公里），无法直接用望远镜观察位置来手动调整，因此需要通过计算调整各自的方位和仰角。两个点的经纬度和海拔均为已知条件。

首先，地球并不是完美的球体，它更接近一个两极比赤道更扁的椭球。查阅资料可得，赤道半径约为6378137米，而极半径约为6356752米，中间大概相差了22000米，因此其造成的误差已经无法忽略。对于这种情况，即使两个点的海拔一样高，在实际空间上也会有一定的高度差，会需要仰角的小幅度偏移。

我的思路：

第一步，将经纬度和海拔转化成常用的笛卡尔坐标（xyz），这样计算起来比较熟悉和方便。通过对椭球中任意一个子午面的分析可得出换算公式：

图中的y对应笛卡尔坐标系内P点的z轴，x是坐标系内P点投影向量在（x，y）与原点之间连接的线段。原理类似于球体极坐标转换成直角坐标系，根据勾股定理等可推出：

P(x) = ( N + 海拔 ) .* cos( 纬度) .* cos( 经度)
P(y) = ( N + 海拔 ) .* cos( 纬度) .* sin( 经度 )
P(z)= ( ( 1.0 - e2) .* N + 海拔 ) .* sin( 纬度 )

其中e2 = (a^2-b^2)/(a^2)
W ^2 =(1.0-e2*((sin(纬度))^2)) （这是一个常用的辅助函数，了解即可）
N = a/W;

根据这样的思路即可给出代码：

clear;
clc;
%%
%从椭球坐标（经纬度和海拔）转化成笛卡尔坐标plh = [30.76,104.08,503.67;30.58,104.08,503.67]; %随便给两个点的坐标，分别对应纬度经度和海拔lat = plh(:,1)*pi/180; %latitudelon = plh(:,2)*pi/180; %longitudehgt = plh(:,3); %altitudea = 6378137.0;b = 6356752.3;if abs(lat) > pi/2 | abs(lon) > 2*piwarning( 'In plh2xyz(), the input latitude and/or longitude may not be in units of radians.' );
ende2 = (a^2-b^2)/(a^2);
W  = sqrt(1.0-e2*((sin(lat)).^2));
N  = a./W;pos(:,1) = ( N + hgt ) .* cos( lat ) .* cos( lon );   %x
pos(:,2) = ( N + hgt ) .* cos( lat ) .* sin( lon );   %y
pos(:,3) = ( ( 1.0 - e2 ) .* N + hgt ) .* sin( lat ); %zRaim=sqrt(pos(:,1).^2+pos(:,2).^2+pos(:,3).^2);
pos

这样得到的pos就是一个3x2的矩阵，包含了两个点的xyz坐标。

第二步，分别计算各自的仰角：

仰角很容易理解，如果是P0对P1点的仰角，可以看成是向量P0P1和P0点对应的椭球切面的夹角。那么只要计算出平面的法向量和向量P0P1的夹角，再用90°减去它即可。然后P1对P0的仰角同理。

根据这个思路，可以写出如下代码：

%%
%求任意一点P0(x0,y0,z0)对于点P1(x1,y1,z1)的仰角w1
%过P0点的切平面：x0*x/a^2+y0*y/a^2+z0*z/b^2-1=0
%过P0P1的直线：(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)
x0=pos(1,1);y0=pos(1,2);z0=pos(1,3);
x1=pos(2,1);y1=pos(2,2);z1=pos(2,3);
upmn=(x1-x0)*x0/a^2+(y1-y0)*y0/a^2+(z1-z0)*z0/b^2;
downmn=sqrt(((x1-x0).^2+(y1-y0).^2+(z1-z0).^2)*((x0^2+y0^2)/a^4+z0^2/b^4));if pos(1,3)>=pos(2,3)w1=90-acosd(upmn/downmn);
elsew1=acosd(upmn/downmn)-90;
end
w1

需要注意的是，因为在P0和P1两个点上，它们各自的切面斜率不同，因此两个点的仰角绝对值有细微差别，并且因为方向一定是相反的（一个向上一个向下），所以得到的数值一个是正数一个是负数（要么就都是0）。

第三步，计算各自的方向角（如：北偏东45°）：

思路可参考：https://blog.csdn.net/u014531567/article/details/70767732?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-blogcommendfrommachinelearnpai2-1.edu_weight&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-blogcommendfrommachinelearnpai2-1.edu_weight，只要求出这个二面角即可。

根据这个思路，可以写出下列代码：

%%
%调整方向角度w2
P1OC=acosd(abs(z1)/sqrt(x1^2+y1^2+z1^2));
EOF=plh(2,2)-plh(1,2);
P0OP1=acosd((x0*x1+y0*y1+z0*z1)/sqrt((x0^2+y0^2+z0^2)*(x1^2+y1^2+z1^2)));
C0P0P1=asind(sind(P1OC)*sind(EOF)/sind(P0OP1));
w2=abs(C0P0P1);
if plh(2,1)>=plh(1,1) & plh(2,2)>=plh(1,2)ww=char('The azimuth is from North to East,degree is', num2str(w2));
elseif plh(2,1)>=plh(1,1) & plh(2,2)<plh(1,2)ww=char('The azimuth is from North to West,degree is', num2str(w2));
elseif plh(2,1)<plh(1,1) & plh(2,2)<plh(1,2)ww=char('The azimuth is from South to West,degree is', num2str(w2));
elseww=char('The azimuth is from South to East,degree is', num2str(w2));
endw2 %方位角w2ww %打印指导：从南（北）向东（西）转向

这样之后，天线的水平转向角即可确定。至此，天线的波束理论上即可相互连接，只需要在之后做一些较准即可。

附上运行结果：

以两个点P0(30.76,104.08,1503.67)和P1(30.58,104.04,503.67)举例（分别是纬度，经度和海拔）：

结果如下：

如图所示，P0对P1的仰角为w1=-2.9086°，P0对P1的方位角为S to W，w2=10.8822°，验证成功。

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