雷达发射线性FMCW，其在1个调频周期内的信号形式为

$${s_t}\left( {\hat t} \right) = {a_0} \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}2{\text{π}} \left( {{f_0}\hat t + 0.5k{{\hat t}^2}} \right)} \right]$$

(1)

其中，${a_0}$

是发射信号幅度，${f_0}$

为信号载频，$k$

为调频斜率，$\hat t$

定义为调频周期内的时间变量，称之为快时间。由于ISAR目标均可以分割成一个一个独立的点，为了分析简单，这里用点目标来建立回波。距离雷达${R_t}$

处的点目标回波信号为

$$

\begin{align}

{s_r}\left( {\hat t} \right) =& {a_r} \cdot \exp \left\{ {\rm{j}}2{\text{π}} \left[ {f_0}\left( {\hat t - \frac{{2{R_t}}}{c}} \right)\right.\right. \\

{\rm{}}& \left.\left.+ 0.5k\left( {\hat t - \frac{{2{R_t}}}{c}} \right) \right] \right\}

\end{align}

$$

(2)

其中，${a_r}$

为回波幅度。由于舰船目标在1个调频周期内的RCS起伏很小，回波幅度几乎不变，${a_r}$

可以看作常值。c为电波在真空中传播的速度。

为降低采样率，ISAR系统采用Dechirp处理进行回波的距离向压缩。在FMCW-ISAR体制下，Dechirp处理的原理示意如${R_{{\rm{ref}} }}$

。利用此参考距离产生的参考信号与实际回波信号的时延差很小，表现为

图  1

FMCW-ISAR的Dechirp处理原理示意图

Figure 1.

The schematic diagram of Dechirp process for the FMCW-ISAR

参考信号形式为

$$

\begin{align}

{s_{{\rm{ref}} }}\left( {\hat t} \right) =& \exp \left\{ {\rm{j}}2{\text{π}} \left[ {f_0}\left( {\hat t - \frac{{2{R_{{\rm{ref}} }}}}{c}} \right) \right.\right.\\

{\rm{}}& \left.\left.+ 0.5k\left( {\hat t - \frac{{2{R_{{\rm{ref}} }}}}{c}} \right) \right] \right\}

\end{align}

$$

(3)

将式(2)中目标回波信号与式(3)中参考信号共轭相乘，即进行Dechirp处理，可得：

$$

\begin{aligned}

{s_{{\rm{dc}} }}\left( {\hat t} \right) =& {s_{{\rm{ref}} }}\left( {\hat t} \right) \cdot s_r^*\left( {\hat t} \right)\\

=& {a_r} \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{\lambda }\left( {{R_t} - {R_{{\rm{ref}}}}} \right)} \right]\\

{\rm{}}& \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{c}k\left( {{R_t} - {R_{{\rm{ref}}}}} \right)\hat t} \right]\\

{\rm{}}& \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{{{c^2}}}k\left( {R_{{\rm{ref}}}^2{\rm{ - }}R_t^2} \right)} \right]

\end{aligned}

$$

(4)

对式(4)中信号进行傅里叶变换即可得到1维距离像。

在脉冲ISAR的“走-停”假设中，脉冲持续时间内目标与雷达之间的距离${R_t}$

几乎可看作是不变的，也就是说${R_t}$

相对快时间$\hat t$

来说是个常数。在这种假设下，式(4)信号的第1, 3个相位项均为与快时间无关的常相位项；第2个相位项是快时间的单频信号，其频率为$2k\left( {{R_t} - {R_{{\rm{ref}}}}} \right)/c$

。经过傅里叶变换后，点目标1维距离像表现为sinc函数形状，其在频率轴的位置由${R_t}$

决定，3 dB带宽$c/2B$

(B为发射信号带宽)与理论距离分辨率相符。

但正如前文所述，在FMCW-ISAR中，由于调频周期一般较长，每个“脉冲”持续时间内目标的运动往往不能忽略，“走-停”假设将不再成立。此时，${R_t}$

将不再是快时间的常数，式(4)中3个相位项均与快时间有关，甚至会出现$\hat t$

的高次项，傅里叶变换后1维距离像将被拓宽，引起距离分辨率下降。为直观分析目标脉内走动的影响，下面对目标运动进行建模处理。

考虑到舰船目标体积相对较大，运动也相对平稳，因此在1个调频周期内我们将其运动作为匀加速运动模型分析，有

$${R_t}\left( {\hat t} \right) = {R_0} + v\hat t + 0.5a{\hat t^2}$$

(5)

其中，${R_0}$

为调频周期初始时刻雷达与目标的距离，v为目标速度，a为加速度。将式(5)代入式(4)得

$$

\begin{align}

{s_{{\rm{dc}}}}\left( {\hat t} \right) =& {a_r} \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{\lambda }\left( {{R_0} + v\hat t + 0.5a{{\hat t}^2} - {R_{{\rm{ref}}}}} \right)} \right]\\

{\rm{}}& \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{c}k\left( {{R_0} + v\hat t + 0.5a{{\hat t}^2} - {R_{{\rm{ref}}}}} \right)\hat t} \right]\\

{\rm{}}& \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}\frac{{4{\text{π}} }}{{{c^2}}}k\left( {R_{{\rm{ref}} }^2{\rm{ - }}{{\left( {{R_0} + v\hat t + 0.5a{{\hat t}^2}} \right)}^2}} \right)} \right]

\end{align}

$$

(6)

参考距离${R_{{\rm{ref}} }}$

是通过窄带雷达测得的目标到雷达的距离，因此${R_{{\rm{ref}} }} \approx {R_0}$

是成立的。所以式(6)经化简整理可写为

$$

\begin{align}

{{\tilde s}_{{\rm{dc}}}}\left( {\hat t} \right) =& {a_r} \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}2{\text{π}} \cdot 2v\left( {\frac{1}{\lambda } - \frac{{2k}}{{{c^2}}}{R_0}} \right)\hat t} \right] \\

{\rm{}}&\cdot\exp \left[ {{\rm{j}}2{\text{π}} \left( {\frac{a}{\lambda } \!+\! \frac{2}{c}kv \!-\! \frac{2}{{{c^2}}}k{v^2} \!-\! \frac{{2a}}{{{c^2}}}k{R_0}} \right){{\hat t}^2}} \right] \\

{\rm{}}&\cdot\exp \left[ {{\rm{j}}2{\text{π}} \frac{{ka}}{c}\left( {1 - \frac{2}{c}v} \right){{\hat t}^3}} \right] \\

{\rm{}}&\cdot\exp \left[ { - {\rm{j}}2{\text{π}} \frac{{{a^2}}}{{2{c^2}}}k{{\hat t}^4}} \right]

\end{align}

$$

(7)

可见，目标在脉内的匀加速运动模型将引起4次多项式相位。

为了衡量式(7)中每个相位项对1维距离像的影响，这里参照文献[B为400 MHz；雷达到目标的距离${R_0}$

为53 km；航速v为10节–20节(10 m/s左右)；加速度a为0～10 m/s2。考虑到船只随海浪的起伏和摆动，实际的速度、加速度会更大。

设雷达发射FMCW的调频周期为${T_p}$

。则4次项在1个调频周期内引起的最大频率变化为

$$\Delta {f_4} = \frac{{4{a^2}}}{{2{c^2}}}kT_p^{\, 3} = \frac{{2{a^2}B}}{{{c^2}}}T_p^{\, 2} \ll T_p^{\, 2}$$

(8)

由于${T_p}$

为毫秒量级，因此$\Delta {f_4}$

对频谱的影响可忽略不计。

3次项在1个调频周期内引起的最大频率变化为

$$

\begin{align}

\Delta {f_3} =& \frac{{3ka}}{c}T_p^{\, 2} - \frac{{6ka}}{{{c^2}}}vT_p^{\, 2} = \frac{{3aB}}{c}{T_p}\\

{\rm{}}&- \frac{{6vaB}}{{{c^2}}}{T_p} < \frac{{3aB}}{c}{T_p} \approx {T_p}

\end{align}

$$

(9)

可见3次项对频谱影响依然可以忽略。

2次项(调频项)在1个调频周期内引起的最大频率变化为

$$

\begin{align}

\Delta {f_2} =& \frac{{2a}}{\lambda }{T_p} + \frac{{4B}}{c}v - \frac{{4B}}{{{c^2}}}{v^2}- \frac{{4B}}{{{c^2}}}a{R_0}\\

\approx& \frac{{2a}}{\lambda }{T_p} + \frac{{4B}}{c}v

\end{align}

$$

(10)

按给定的参数范围，2次相位中的前2项会对信号频谱产生影响。所以式(7)可近似为

$$

\begin{align}

{{\tilde s}_{{\rm{dc}}}}\left( {\hat t} \right) \approx& {a_r} \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}4{\text{π}} v\left( {\frac{1}{\lambda } - \frac{{2k}}{{{c^2}}}{R_0}} \right)\hat t} \right]\\

{\rm{}}& \cdot \exp \left[ {{\rm{j}}{\text{π}} \left( {\frac{4}{\lambda }a + \frac{{8k}}{c}v} \right){{\hat t}^2}} \right]

\end{align}

$$

(11)

由此可见，受长周期和目标脉内运动的影响，解调频处理后点目标的回波将表现为线性调频信号的形式，调频率为

$${k_{{\rm{dc}}}} = \frac{4}{\lambda }a + \frac{{8k}}{c}v$$

(12)

对式(11)中的差拍信号进行傅里叶变换，其频谱，也就是1维距离像，将会有一定程度的展宽，引起距离分辨率的下降。同时，由于1维距离像变宽，目标上某一距离单元的散射点将同时出现在其他距离门内，不仅会影响包络对齐的准确度，还会造成方位向的模糊。所以，成像前需要对这个调频项进行补偿。