卡尔曼滤波器(3) -- α−β−γ滤波器(例2)

This blog is translated from https://www.kalmanfilter.net/default.aspx.
It’s an excellent tutorial about Kalman Filter written by Alex Becker.

目录
卡尔曼滤波器(1) – 背景知识
卡尔曼滤波器(2) – α−β−γ滤波器(例1)
卡尔曼滤波器(3) – α−β−γ滤波器(例2)
卡尔曼滤波器(4) – α−β−γ滤波器(例3&例4&总结)
卡尔曼滤波器(5) – 一维卡尔曼滤波器(介绍)
卡尔曼滤波器(6) – 一维卡尔曼滤波器(例5&完整模型)
卡尔曼滤波器(7) – 一维卡尔曼滤波器(例6)
卡尔曼滤波器(8) – 一维卡尔曼滤波器(例7&例8)
卡尔曼滤波器(9) – 多维卡尔曼滤波器(前言&预备)
卡尔曼滤波器(10) – 多维卡尔曼滤波器(状态外推方程)
卡尔曼滤波器(11) – 多维卡尔曼滤波器(线性动态系统模型)
卡尔曼滤波器(12) – 多维卡尔曼滤波器(协方差外推方程)
卡尔曼滤波器(13) – 多维卡尔曼滤波器(测量方程)
卡尔曼滤波器(14) – 多维卡尔曼滤波器(简短总结)
卡尔曼滤波器(15) – 多维卡尔曼滤波器(状态更新方程)
卡尔曼滤波器(16) – 多维卡尔曼滤波器(协方差更新方程)
卡尔曼滤波器(17) – 多维卡尔曼滤波器(卡尔曼增益)
卡尔曼滤波器(18) – 多维卡尔曼滤波器(简化的协方差更新方程)
卡尔曼滤波器(19) – 多维卡尔曼滤波器(总结)
卡尔曼滤波器(20) – 多维卡尔曼滤波器(例9)

例2 - 在一维空间中追踪匀速飞行器

下面来看一个动态系统，它的状态是随时间改变的。在这个例子中，我们用 α\color{#bd5d38}\alphaα-β\color{#bd5d38}\betaβ 滤波器在一维空间中追踪匀速飞行的飞行器。

假设有个一维空间，有一架飞行器正在向远离雷达（或朝向雷达）的方向飞行。在一维空间中，雷达的角度不变，飞行器的高度不变，如下图所示。

xnx_nxn 代表飞行器在 nnn 时刻的航程，这里系统状态就是它。
飞行器速度定义为航程相对于时间的变化率，即为距离的导数：
x˙=v=dxdt\dot{x} = v = \frac{dx}{dt}x˙=v=dtdx

雷达以恒定频率向目标方向发射追踪波束，周期为 Δt\Delta tΔt，即雷达每隔 Δt\Delta tΔt 测一次。

假设飞行器速度恒定，系统的动态模型可以用两个运动方程来描述 （状态外推方程）：
{xn+1=xn+Δtx˙nx˙n+1=x˙n\left\{ \begin{aligned} x_{n+1} &= x_n + \Delta t \dot{x}_n \\ \dot{x}_{n+1} &= \dot{x}_n \\ \end{aligned} \right. {xn+1x˙n+1=xn+Δtx˙n=x˙n这个例子的飞机速度是恒定的，因此有 x˙n+1=x˙n\dot{x}_{n+1}=\dot{x}_nx˙n+1=x˙n，即下一个周期的速度等于当前速度。

上述方程组称为状态外推方程(State Extrapolation Equation)
或者叫做过渡方程(Transition Equation)
或者叫做预测方程(Prediction Equation)

其实在例子1里有用到状态外推方程，只不过静态系统中系统状态（金条重量）没有改变。

状态外推方程一般用矩阵的形式表示，这个后面再讲。

为了方便理解，上面这组方程也是特定用于我们的例子的，不是方程的一般形式。先大概弄明白它的意思和作用。

注：目前我们已经学习了卡尔曼滤波五个方程中的2个：

状态更新方程

状态外推方程

现在，我们将在本例中修改状态更新方程。

α−β\alpha-\betaα−β 滤波器

设雷达的探测间隔（Δt\Delta tΔt）为 555 秒。假设在 nnn 时刻，飞行器的估计航程为 30,000m30,000m30,000m，估计速度为 40m/s40m/s40m/s。
使用状态外推方程，可以预测
（1）n+1n+1n+1 时目标的位置：
x^n+1,n=x^n,n+Δtx˙n,n=30000+5×40=30200m\begin{aligned} \hat{x}_{n+1,n} &= \hat{x}_{n,n} + \Delta t \dot{x}_{n,n} \\ &= 30000+5 \times 40 \\ &= 30200m \end{aligned} x^n+1,n=x^n,n+Δtx˙n,n=30000+5×40=30200m

（2）n+1n+1n+1 时刻目标的速度：x˙^n+1,n=x˙^n,n=40m/s\hat{\dot{x}}_{n+1,n}=\hat{\dot{x}}_{n,n}=40m/sx˙^n+1,n=x˙^n,n=40m/s
然而，nnn 时刻雷达测量的航程（znz_nzn）是 30,110m30,110m30,110m，并不是预测的 30,200m30,200m30,200m，预期(预测)航程和测量航程之间有 90m90m90m 的偏差，造成这种偏差的可能原因有两个：

雷达测量不准确
飞行器速度改变了，新的速度为 30110−300005=22m/s\dfrac{30110-30000}{5}=22m/s530110−30000=22m/s

哪个才是正确原因？让我们写一下速度的状态更新方程：

x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(zn−x^n,n−1Δt)\hat{\dot{x}}_{n,n} = \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+\beta \left( \frac{z_n-\hat{x}_{n,n-1}}{\Delta t} \right)x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(Δtzn−x^n,n−1)

系数 β\betaβ 的取值取决于雷达的精确程度。

假设雷达 1σ1\sigma1σ 的精度为 20m20m20m，更可能是飞行器的速度变化导致了预测航程和测量航程之间的 90m90m90m 的偏差。这种情况下我们把系数 β\betaβ 调高，β\betaβ 设为 0.90.90.9，则估计速度为：

x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(zn−x^n,n−1Δt)=40+0.9(30110−302005)=23.8m/s\begin{aligned} \hat{\dot{x}}_{n,n} &= \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+\beta \left( \frac{z_n-\hat{x}_{n,n-1}}{\Delta t} \right)\\ &= 40+0.9\left( \frac{30110-30200}{5}\right) \\ &= 23.8m/s \end{aligned} x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(Δtzn−x^n,n−1)=40+0.9(530110−30200)=23.8m/s

假设雷达 1σ1\sigma1σ 的精度为 150m150m150m，则更有可能是雷达的测量误差造成了这 90m90m90m 的偏差。这种情况下我们把 β\betaβ 调低，β\betaβ 设为 0.10.10.1，则估计速度为：
x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(zn−x^n,n−1Δt)=40+0.1(30110−302005)=38.2m/s\begin{aligned} \hat{\dot{x}}_{n,n} &= \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+\beta \left( \frac{z_n-\hat{x}_{n,n-1}}{\Delta t} \right)\\ &= 40+0.1\left( \frac{30110-30200}{5}\right) \\ &= 38.2m/s \end{aligned} x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(Δtzn−x^n,n−1)=40+0.1(530110−30200)=38.2m/s

从 β\betaβ 的取值可以看出：我们更相信雷达，还是更相信飞机速度的变化。

飞行器位置的状态更新方程与上一个例子中推导的方程类似：
x^n,n=x^n,n−1+αn(zn−x^n,n−1)\hat{x}_{n,n} = \hat{x}_{n,n-1} + \alpha_n \left( z_n - \hat{x}_{n,n-1} \right) x^n,n=x^n,n−1+αn(zn−x^n,n−1)

与之前不同的是，例子1中每次迭代需要重新计算系数 α(αn=1N)\alpha(\alpha_n=\frac{1}{N})α(αn=N1)，而现在 α\alphaα 是一个常数。

α\alphaα 的大小取决于雷达的精度，高精度的雷达选择高的 α\alphaα，这将给测量带来很高的权重。
如果 α=1\alpha=1α=1，则估计航程等于测量航程：
x^n,n=x^n,n−1+1(zn−x^n,n−1)=zn\begin{aligned} \hat{x}_{n,n} &= \hat{x}_{n,n-1} + 1 \left( z_n - \hat{x}_{n,n-1} \right) \\ &= z_n \end{aligned} x^n,n=x^n,n−1+1(zn−x^n,n−1)=zn
如果 α=0\alpha=0α=0，则测量航程不起作用：
x^n,n=x^n,n−1+0(zn−x^n,n−1)=x^n,n−1\begin{aligned} \hat{x}_{n,n} &= \hat{x}_{n,n-1} + 0 \left( z_n - \hat{x}_{n,n-1} \right) \\ &= \hat{x}_{n,n-1} \end{aligned} x^n,n=x^n,n−1+0(zn−x^n,n−1)=x^n,n−1

于是，我们得到了雷达追踪器的状态更新方程组，他们被称为α\color{#bd5d38}\alphaα-β\color{#bd5d38}\betaβ 轨迹更新方程( α\color{#bd5d38}\alphaα-β\color{#bd5d38}\betaβ track update equations），或者叫做α\color{#bd5d38}\alphaα-β\color{#bd5d38}\betaβ 轨迹滤波方程( α\color{#bd5d38}\alphaα-β\color{#bd5d38}\betaβ track filtering equations）

位置（航程）状态更新方程：
x^n,n=x^n,n−1+αn(zn−x^n,n−1)\hat{x}_{n,n} = \hat{x}_{n,n-1} + \alpha_n \left( z_n - \hat{x}_{n,n-1} \right)x^n,n=x^n,n−1+αn(zn−x^n,n−1)
速度状态更新方程：
x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(zn−x^n,n−1Δt)\hat{\dot{x}}_{n,n} = \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+\beta \left( \dfrac{z_n-\hat{x}_{n,n-1}}{\Delta t} \right)x˙^n,n=x˙^n,n−1+β(Δtzn−x^n,n−1)

注：有一些文章里 α\alphaα - β\betaβ 滤波器被叫做 g - h 滤波器，字母换了，含义是一样的。

注：在本例中，我们用测量航程得出飞机速度 ( x^=ΔxΔt\hat{x} = \frac{\Delta x}{\Delta t}x^=ΔtΔx )，现代雷达可以利用多普勒效应直接测量径向速度，但我的目的是解释卡尔曼滤波器而不是雷达操作。为了提高通用性，在我们的例子中，会一直用测量航程来推导飞行速度。

估计算法

下图描述了本例中使用的估计算法。

与上一个例子不同的是，这个例子给出了增益值 α\alphaα 和 β\betaβ。
在卡尔曼滤波中，会用卡尔曼增益来替代 α\alphaα 和 β\betaβ，而且每次迭代都会更新，这个后面会讲到。

实例

飞行器在一维空间中，正在径向远离雷达（或朝向雷达）飞行。
α\alphaα - β\betaβ 滤波的参数为：

α=0.2\alpha=0.2α=0.2
β=0.1\beta=0.1β=0.1

雷达每 555 秒探测一次。

注意：在这个例子中，为了得到便于理解的结果，我们使用的是非常不精确的雷达和低速无人机（UAV）。在现实生活中，雷达通常更精确，被追踪目标的速度也更快。

第零次迭代

初始化

在时间 n=0n=0n=0 时，初始条件如下：
x^0,0=30000m\hat{x}_{0,0}=30000mx^0,0=30000mx˙^0,0=40m/s\hat{\dot{x}}_{0,0}=40m/sx˙^0,0=40m/s

注：追踪初始化（Track Initiation）（如何获得初始条件）是一个非常重要的主题，稍后将讨论。现在我们的目标是了解基本的 α−βα−βα−β 滤波器操作，假设初始条件是由其他人给出的。

预测

用状态外推方程将初始猜测外推到第一个周期 (n=1)(n=1)(n=1)：

航程的外推 x^n+1,n=x^n,n+Δtx˙^n,n\hat{x}_{n+1,n} = \hat{x}_{n,n} + \Delta t \hat{\dot{x}}_{n,n}x^n+1,n=x^n,n+Δtx˙^n,n ：x^1,0=x^0,0+Δtx˙^0,0=30000+5×40=30200m\begin{aligned} \hat{x}_{1,0} &= \hat{x}_{0,0} + \Delta t \hat{\dot{x}}_{0,0} \\ &= 30000 + 5 \times 40 \\ &= 30200m \end{aligned} x^1,0=x^0,0+Δtx˙^0,0=30000+5×40=30200m

速度的外推 x˙n+1=x˙n\dot{x}_{n+1} = \dot{x}_nx˙n+1=x˙n ：x˙1,0=x˙0,0=40m/s\begin{aligned} \dot{x}_{1,0} &= \dot{x}_{0,0} \\ &= 40m/s \end{aligned} x˙1,0=x˙0,0=40m/s

第一次迭代

在第一个周期 (n=1)(n=1)(n=1)，初始的猜测是上一次的估计值：
x^n,n−1=x^1,0=30200m\hat{x}_{n,n-1} = \hat{x}_{1,0} = 30200mx^n,n−1=x^1,0=30200mx˙^n,n−1=x˙^1,0=40m/s\hat{\dot{x}}_{n,n-1}=\hat{\dot{x}}_{1,0}=40m/sx˙^n,n−1=x˙^1,0=40m/s

步骤1

测量。雷达测量飞行器的距离：z1=30110mz_1=30110mz1=30110m

步骤2

更新。使用状态更新方程计算当前估计值。

航程状态更新：
x^1,1=x^1,0+α(z1−x^1,0)=30200+0.2(30110−30200)=30182m\begin{aligned} \hat{x}_{1,1} &= \hat{x}_{1,0} + \alpha \left( z_1 - \hat{x}_{1,0} \right) \\ &= 30200+0.2(30110-30200) \\ &= 30182m \end{aligned} x^1,1=x^1,0+α(z1−x^1,0)=30200+0.2(30110−30200)=30182m

速度状态更新：
x˙^1,1=x˙^1,0+β(z1−x^1,0Δt)=40+0.1(30110−302005)=38.2m/s\begin{aligned} \hat{\dot{x}}_{1,1} &= \hat{\dot{x}}_{1,0} + \beta \left( \dfrac{z_1-\hat{x}_{1,0}}{\Delta t} \right) \\ &= 40+0.1\left( \frac{30110-30200}{5} \right) \\ &= 38.2m/s \end{aligned} x˙^1,1=x˙^1,0+β(Δtz1−x^1,0)=40+0.1(530110−30200)=38.2m/s

步骤3

外推。使用状态外推方程计算下一次的状态预测值。

航程状态外推：x^2,1=x^1,1+Δtx˙^1,1=30182+5×38.2=30373m\begin{aligned} \hat{x}_{2,1} &= \hat{x}_{1,1} + \Delta t \hat{\dot{x}}_{1,1} \\ &= 30182+ 5 \times 38.2\\ &= 30373m \end{aligned} x^2,1=x^1,1+Δtx˙^1,1=30182+5×38.2=30373m

速度状态外推：x˙^2,1=x˙^1,1=38.2m/s\hat{\dot{x}}_{2,1} = \hat{\dot{x}}_{1,1} = 38.2m/sx˙^2,1=x˙^1,1=38.2m/s

第二次迭代

一个周期后，上一次迭代的预测值变成当前迭代的先验估计值:x^2,1=30373mx˙^2,1=38.2m/s\begin{aligned} \hat{x}_{2,1} &= 30373m\\ \hat{\dot{x}}_{2,1} &= 38.2m/s \end{aligned} x^2,1x˙^2,1=30373m=38.2m/s

步骤1

测量。雷达测量飞行器的距离：z2=30265mz_2=30265mz2=30265m

步骤2

更新。使用状态更新方程计算当前估计值。

航程状态更新：
x^2,2=x^2,1+α(z2−x^2,1)=30373+0.2(30265−30373)=30351.4m\begin{aligned} \hat{x}_{2,2} &= \hat{x}_{2,1} + \alpha \left( z_2 - \hat{x}_{2,1} \right) \\ &= 30373+0.2(30265-30373) \\ &= 30351.4m \end{aligned} x^2,2=x^2,1+α(z2−x^2,1)=30373+0.2(30265−30373)=30351.4m

速度状态更新：
x˙^2,2=x˙^2,1+β(z2−x^2,1Δt)=38.2+0.1(30265−303735)=36m/s\begin{aligned} \hat{\dot{x}}_{2,2} &= \hat{\dot{x}}_{2,1} + \beta \left( \dfrac{z_2-\hat{x}_{2,1}}{\Delta t} \right) \\ &= 38.2+0.1\left( \frac{30265-30373}{5} \right) \\ &= 36m/s \end{aligned} x˙^2,2=x˙^2,1+β(Δtz2−x^2,1)=38.2+0.1(530265−30373)=36m/s

步骤3

外推。使用状态外推方程计算下一次的状态预测值。

航程状态外推：x^3,2=x^2,2+Δtx˙^2,2=30351.4+5×36=30531.6m\begin{aligned} \hat{x}_{3,2} &= \hat{x}_{2,2} + \Delta t \hat{\dot{x}}_{2,2} \\ &= 30351.4+ 5 \times 36 \\ &= 30531.6m \end{aligned} x^3,2=x^2,2+Δtx˙^2,2=30351.4+5×36=30531.6m

速度状态外推：x˙^3,2=x˙^2,2=36m/s\hat{\dot{x}}_{3,2} = \hat{\dot{x}}_{2,2} = 36m/sx˙^3,2=x˙^2,2=36m/s

第三次迭代
z3=30740z_3=30740z3=30740x^3,3=30531.6+0.2(30740−30531.6)=30573.3m\hat{x}_{3,3}=30531.6+0.2(30740 −30531.6)=30573.3mx^3,3=30531.6+0.2(30740−30531.6)=30573.3mx^˙3,3=36+0.1(30740−30531.65)=40.2m/s\dot{\hat{x}}_{3,3}=36+0.1\left( \frac{30740 −30531.6}{5} \right)=40.2m/sx^˙3,3=36+0.1(530740−30531.6)=40.2m/sx^4,3=30573.3+5×40.2=30774.3m\hat{x}_{4,3}=30573.3+5\times40.2=30774.3m x^4,3=30573.3+5×40.2=30774.3mx˙^4,3=40.2m/s\hat{\dot{x}}_{4,3} = 40.2m/sx˙^4,3=40.2m/s

第四次迭代
z4=30750z_4=30750z4=30750x^4,4=30774.3+0.2(30750−30774.3)=30769.5m\hat{x}_{4,4}=30774.3+0.2(30750−30774.3)=30769.5mx^4,4=30774.3+0.2(30750−30774.3)=30769.5mx^˙4,4=40.2+0.1(30750−30774.35)=39.7m/s\dot{\hat{x}}_{4,4}=40.2+0.1\left( \frac{30750−30774.3}{5} \right)=39.7m/sx^˙4,4=40.2+0.1(530750−30774.3)=39.7m/sx^5,4=30769.5+5×39.7=30968.1m\hat{x}_{5,4}=30769.5+5\times39.7=30968.1m x^5,4=30769.5+5×39.7=30968.1mx˙^5,4=39.7m/s\hat{\dot{x}}_{5,4} = 39.7m/sx˙^5,4=39.7m/s

第五次迭代
z5=31135z_5=31135z5=31135x^5,5=30968.1+0.2(31135−30968.1)=31001.5m\hat{x}_{5,5}=30968.1+0.2(31135−30968.1)=31001.5mx^5,5=30968.1+0.2(31135−30968.1)=31001.5mx^˙5,5=39.7+0.1(31135−30968.15)=43.1m/s\dot{\hat{x}}_{5,5}=39.7+0.1\left( \frac{31135−30968.1}{5} \right)=43.1m/sx^˙5,5=39.7+0.1(531135−30968.1)=43.1m/sx^6,5=31001.5+5×43.1=31216.8m\hat{x}_{6,5}=31001.5+5\times43.1=31216.8m x^6,5=31001.5+5×43.1=31216.8mx˙^6,5=43.1m/s\hat{\dot{x}}_{6,5} = 43.1m/sx˙^6,5=43.1m/s

第六次迭代
z6=31135z_6=31135z6=31135x^6,6=31216.8+0.2(31015−31216.8)=31176.4m\hat{x}_{6,6}=31216.8+0.2(31015−31216.8)=31176.4mx^6,6=31216.8+0.2(31015−31216.8)=31176.4mx^˙6,6=43.1+0.1(31015−31216.85)=39m/s\dot{\hat{x}}_{6,6}=43.1+0.1\left( \frac{31015−31216.8}{5} \right)=39m/sx^˙6,6=43.1+0.1(531015−31216.8)=39m/sx^7,6=31176.4+5×39=31371.5m\hat{x}_{7,6}=31176.4+5\times39=31371.5m x^7,6=31176.4+5×39=31371.5mx˙^7,6=39m/s\hat{\dot{x}}_{7,6} = 39m/sx˙^7,6=39m/s

第七次迭代
z7=31180z_7=31180z7=31180x^7,7=31371.5+0.2(31180−31371.5)=31333.2m\hat{x}_{7,7}=31371.5+0.2(31180−31371.5)=31333.2mx^7,7=31371.5+0.2(31180−31371.5)=31333.2mx^˙7,7=39+0.1(31180−31371.55)=35.2m/s\dot{\hat{x}}_{7,7}=39+0.1\left( \frac{31180−31371.5}{5} \right)=35.2m/sx^˙7,7=39+0.1(531180−31371.5)=35.2m/sx^8,7=31333.2+5×35.2=31509.2m\hat{x}_{8,7}=31333.2+5\times35.2=31509.2m x^8,7=31333.2+5×35.2=31509.2mx˙^8,7=35.2m/s\hat{\dot{x}}_{8,7} = 35.2m/sx˙^8,7=35.2m/s

第八次迭代
z8=31180z_8=31180z8=31180x^8,8=31509.2+0.2(31610−31509.2)=31529.4m\hat{x}_{8,8}=31509.2+0.2(31610−31509.2)=31529.4mx^8,8=31509.2+0.2(31610−31509.2)=31529.4mx^˙8,8=35.2+0.1(31610−31509.25)=37.2m/s\dot{\hat{x}}_{8,8}=35.2+0.1\left( \frac{31610−31509.2}{5} \right)=37.2m/sx^˙8,8=35.2+0.1(531610−31509.2)=37.2m/sx^9,8=31529.4+5×37.2=31715.4m\hat{x}_{9,8}=31529.4+5\times37.2=31715.4m x^9,8=31529.4+5×37.2=31715.4mx˙^9,8=37.2m/s\hat{\dot{x}}_{9,8} = 37.2m/sx˙^9,8=37.2m/s

第九次迭代
z9=31960z_9=31960z9=31960x^9,9=31715.4+0.2(31960−31715.4)=31764.3m\hat{x}_{9,9}=31715.4+0.2(31960−31715.4)=31764.3mx^9,9=31715.4+0.2(31960−31715.4)=31764.3mx^˙9,9=37.2+0.1(31960−31715.45)=42.1m/s\dot{\hat{x}}_{9,9}=37.2+0.1\left( \frac{31960−31715.4}{5} \right)=42.1m/sx^˙9,9=37.2+0.1(531960−31715.4)=42.1m/sx^10,9=31764.3+5×42.1=31974.8m\hat{x}_{10,9}=31764.3+5\times42.1=31974.8m x^10,9=31764.3+5×42.1=31974.8mx˙^10,9=42.1m/s\hat{\dot{x}}_{10,9} = 42.1m/sx˙^10,9=42.1m/s

第十次迭代
z10=31865z_{10}=31865z10=31865x^10,10=31974.8+0.2(31865−31974.8)=31952.9m\hat{x}_{10,10}=31974.8+0.2(31865−31974.8)=31952.9mx^10,10=31974.8+0.2(31865−31974.8)=31952.9mx^˙10,10=42.1+0.1(31865−31974.85)=39.9m/s\dot{\hat{x}}_{10,10}=42.1+0.1\left( \frac{31865−31974.8}{5} \right)=39.9m/sx^˙10,10=42.1+0.1(531865−31974.8)=39.9m/sx^11,10=31952.9+5×39.9=32152.4m\hat{x}_{11,10}=31952.9+5\times39.9=32152.4m x^11,10=31952.9+5×39.9=32152.4mx˙^11,10=39.9m/s\hat{\dot{x}}_{11,10} = 39.9m/sx˙^11,10=39.9m/s

下表总结了我们的测量和估计：

nnn	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
znz_nzn	30110	30265	30740	30750	31135	31015	31180	31610	31960	31865
x^n,n\hat{x}_{n,n}x^n,n	30182	30351.4	30573.3	30769.5	31001.5	31176.4	31333.2	31529.4	31764.3	31952.9
x˙^n,n\hat{\dot{x}}_{n,n}x˙^n,n	38.2	36	40.2	39.7	43.1	39	35.2	37.2	42.1	39.9
x^n+1,n\hat{x}_{n+1,n}x^n+1,n	30373	30531.6	30774.3	30968.1	31216.8	31371.5	31509.2	31715.4	31974.8	32152.4
x˙^n+1,n\hat{\dot{x}}_{n+1,n}x˙^n+1,n	38.2	36.0	40.2	39.7	43.1	39	35.2	37.2	42.1	39.9

下表比较了真实值、测量值和估计值：

可以看到估计算法对估计结果有平滑作用，并且估计结果趋近真实值。

使用高 α\alphaα 和 β\betaβ

下图描述了 α=0.8，β=0.5\alpha=0.8，\beta=0.5α=0.8，β=0.5 的真实值、测量值和估计值：

这个滤波器的“平滑度”要低得多，“当前估计值”与测量值非常接近，预测误差较大。

那么我们应该一直选择低 α\alphaα 和 β\betaβ 吗？
答案是否定的。 α\alphaα 和 β\betaβ 的值取决于测量精度。

如果我们使用非常精准的设备，比如激光雷达，我们会倾向高 α\alphaα 和 β\betaβ ，测量值权重更高，在这种情况下，滤波器会对目标的速度变化作出快速响应。
反之，如果测量精度较低，我们会选择较低 α\alphaα 和 β\betaβ ，在这种情况下，滤波器将降低测量中的不确定性（误差），然而，滤波器对目标速度变化的反应会慢得多。

α\alphaα 和 β\betaβ 的计算是一个重要的课题，稍后会进行更详细的讲解。

案例总结

在这个例子中，我们推导了 α\alphaα 和 β\betaβ 滤波器状态更新方程，还学习了状态外推方程。并且设计了一种基于 α\alphaα 和 β\betaβ 滤波器的一维动态系统估计算法，求解了匀速目标的一个数值案例。