由于工作的关系，一年前开始接触机械臂。与此同时也在学习【现代机器人学】与【机器人学导论】两本书，感觉【现代机器人学】写的更好一些。大致走马观花的看了一遍，确实有所收获。因此想再从头过一遍，做一些总结，写给自己，查漏补缺。

这个系列我会很快把它更新完毕。生命在于学习，尤其学习这种能很快变现成人民币的知识，学起来尤有动力，哈哈。

半路出家，才疏学浅，专业的人士读到，望不吝指正！

自由度

刚体自由度

硬币有6个自由度，直观上讲它的圆心可以出现在3维空间的任何一个位置，因此xyz三个维度可以变化。另外它还可以建立坐标系，可以绕三个轴旋转，因此是6个。

从约束的角度看，硬币上一个点A，可以在任意位置，因此有3个自由度。第二个点B，多了一个到A的距离约束（因为是刚体，AB距离限制住了），所以B只有2个自由度。第三个点C，和A，B都有约束，只有1个自由度。再来一个点D，已经提供不了自由度了，所以三维空间刚体自由度是3+2+1=6。

同理N维空间，也是第一个点提供N个，第二个点提供N-1个，一直到新增的点完全提供不了自由度的时候，就可以唯一确定N维空间中刚体的位形了。所以是N+N-1 + N-2 ....+1=n(n+1)/2。

机器人自由度

机器人的关节主要有常见的转动副R，移动副P，这俩一个负责转，一个负责移动，都是只有一个自由度。此外还有圆柱副C，既可以转，又可以沿轴平移，因此是两个自由度。

稍微不常见的有：螺旋副H，它可以转，但是转的时候又伴随着沿轴的运动，有点像螺丝钉，这种是一个自由度。

万向节（虎克铰）U，两个轴正交，然后都可以沿轴旋转，有两个自由度。

球铰S，三个自由度，像肩部关节。

关节的表示形式有很多种，因此看图的时候不需要记长相，只要看它符合哪一种定义。

算自由度的方法有两种：

1.Grubler公式：

$dof=m(N-1-J)+\sum_{i=1}^{J}f_i$

平面机构m=2，空间机构m=3。

N为把地面算在内的body数，J为关节数。后面的求和，则是所有关节提供的自由度。

实际上这个公式很不直观，尽管书里似乎推荐这样算。它是由别的公式推导来的，相比来说更加直观，业内的工程师一般通过这种方式来算：

2.刚体提供自由度，关节丢失自由度。

机器人自由度=刚体提供的自由度-关节丢失的自由度（关节约束）

因为地面提供不了任何自由度，因此除了地面以外，它有几个连杆，就提供对应的自由度。例如空间中5个连杆，就提供5*6=30个自由度。而上面有5个关节，如果每个都是R关节，R关节只有1个自由度，所以每引入一个R关节，机器人就丢失5个自由度，一共丢失5*5=25个自由度。所以这个机器人自由度就是30-25=5个自由度。

1.串联机器人，几个关节就是几个自由度。

2.对于并联机器人，算自由度主要有几个原则：

（1）两杆决定一个关节。

在判断谁是连杆，谁是关节，以及关节有几个自由度的时候，就要坚持这个原则。对于看起来比较复杂的关节，要么它是有着多个自由度的一个关节，两边是连杆；要么它是好几个只有1个自由度的关节重合在一起，互相之间有看不见的连杆进行连接。

如果有多个连杆重叠在一个关节上，那么这个关节实际上就不只有一个。例如3个body拴在一个R关节上，那么这里其实有两个R关节。

（2）Grubler公式提供的自由度实际上算出来的是自由度的下限值。因为并联机器人（闭链机器人）可能存在冗余。这属于并联机器人位形空间奇异的问题。【后续补充链接上来。】

拓扑与表达

拓扑等效：两个平面不采用切割和粘结的方式，从一共平面连续变化到另一个平面，就拓扑等效。

直线变不成圆（因为需要黏结）

平面变不成圆柱，变不成球，也变不成环，这种都是拓扑不等效。

一般E表示空间中平面，S表示空间中球，T表示空间中的环。

笛卡尔积x 则主要可以把低维空间的S合并成T，例如S1 x S1=T2。（注意这里，只能用S1进行合并，S3 x S1 可不能合成T4。）

一维空间的S是圆，它的取值范围是从0到2pi，并且又转回0。而T2代表二维空间的环，环从两个维度看，依然是从0到2pi又转回0。

但是S不能合并成S，比如二维空间的球，得通过经度和纬度来定义它上面的任意一点，经度固然可以绕一圈回到0，但是纬度的0是在赤道，在北极（北纬90度），不可能回到0，也不可能跳到南纬90度的南极，因此和环是不同的结构。

那为什么不能把南极当成0，然后转一圈，不是也是可以回到0吗?

这种理解不对，因为你活动在球面，而不是在两个垂直的圆上，球面其他部位，总有一个圆的半径是变化的。因此其实坐标轴的原点已经变化了，因此不能用这种理解。

这都是一些简单的拓扑学基础内容，我暂时在工业上也不知道它有什么用。(不过也许我还没有到用它的程度，仅做记录，后续如果知道具体用途了，在这补充。）

完整约束与非完整约束

这个东西说起来看似很复杂，其实也不难理解。

k个公式，n个变量，公式小于变量，就称为完整约束，这种就可以减少位形空间的维数。

上面是对位置的约束，那么对速度也存在约束，也很正常：（叫做Pfaffian约束）

这时，如果发现

里面的A可以积分，又叫可积约束，A能积分就意味着这个速度约束能变成位置约束，因此可以导致位形空间也有同样的约束，导致C空间维度减少。

但是如果A不能积分，那么这种就叫非完整约束。那么它只是对速度有限制，却限制不了位置。换言之非完整约束不能减少可达C空间的维数。

例如普通的差分轮小车，它能到达地面中任何一点，但是它的速度有限制，即它不是全向轮的。它不能沿车身的xy方向同时有速度。

它能实现3个自由度，出现在地面的某个xy位置并且以某个朝向。

但是它只有两个轮子，即只有俩电机，相当于两个关节，通过转速来控制前进和转向。因此它能实现3个自由度但是不能随心所欲的实现，因为有速度的约束。而这个速度约束不可积分，因此为非完整约束。

具体推导可以看书中的硬币示例，这里略过，我认为理解概念即可。

任务空间与工作空间

任务空间是任务本身，和机器人无关，例如用钢笔作画为 $R^2$ 。

工作空间是末端执行器到达的位形，和任务无关。

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