时间复杂度和空间复杂度

前言

刷剑指offer、leetcode常会看到时间复杂度和空间复杂度的要求，初识总是陌生的。本文将从一些例子讲起，让读者简单了解时间/空间复杂度的概念。

首先介绍概念

我们说的复杂度，是针对某个算法而言的，维基百科也有讲，是"算法的时间复杂度"：

在计算机科学中，算法的时间复杂度（Time complexity）是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况……

其中的关键词是定性描述，时间复杂度描述的并不是这段算法以毫秒、微秒为单位的执行时间，而是需要一个定性的描述。

正如以下三个函数：

时间复杂度相当于这三个函数随x的增长趋势，或者说增长的“复杂度”。我们不需要知道x增长到1000、10000的时候函数数值增长到了多少，也不需要比较3、2、+1这种数字足够大时无关痛痒的数字，只需要知道：y=3x^2和y=x2+1都是x^{2趋势增加的，y=2logx是logx趋势增加的。用大O符号表示法可以写成：O(x}2)和O(logx)，不需要知道具体的倍数也能够知道，O(logx)的复杂度会低于O(x^2)

时间复杂度——以实例说明

接下来看几个具体时间复杂度的函数/算法：

1. 常数阶O(1)

int i = 5;
int j = 6;
i--;
j++;
int m = i + j;
for(n = 0; n < 5; n++){m += n;
}

常数阶意味着没有影响时间复杂度的变量，不管函数多少行，执行时间（复杂度）都是一定的，。

2. 线性阶O(n)

for (i = 1; i < n; ++i) {j = i;j++;
}

当算法的时间复杂度由某个关键变量n有关时，算法的时间复杂度便不再是O(1)，如上述程序时间复杂度由n线性决定，故为线性阶O(n)。

3. 平方阶O(n^2)

for(x=1; i<=n; x++)
{for(i=1; i<=n; i++){j = i;j++;}
}

比较好理解了，双层嵌套，就是平方阶的时间复杂度。

4. k次方阶O(n^k)

同理，常见的还有三次方阶。

5. 对数阶O(logn)

int i = 1;
while(i < n){i = i * 2;
}

这里的执行次数等于log(2,n)，因此时间复杂度为logn，这里需要注意的是log的底数并不重要，可以用极限的思想证明：底数再变他们也是等价的。正如O(1)和O(5)，O(n)和O(3n)在极限的情况下并没有太大区别，时间复杂度的都是同一种增加趋势。

此外还有其他时间复杂度，在此不再深究，懂了概念意思理解会用就好。

空间复杂度

即所需空间，比如我们初始化一个数组：

int[] array = new int[n];

所占空间大小复杂度就与n有关且是线性相关，那么其空间复杂度就是O(n)。

知道了时间复杂度的意义，自然也就能随手举几个例子：

// O(1)
int[] array = new int[10];//O(n^2)
vector<vector<int>> a;
for(int i = 0; i < n; i++){for(int j =0; j < n; j++){a.push_back(i + j);}
}

总结

时间复杂度——常以大O符号表示，如O(1)、O(n)、O(logn)、O(m+n)等，代表代码块执行时间的复杂度（次数）与某个或某些自变量变化的趋势。

空间复杂度——也以大O符号表示，代表代码块所需要的临时空间复杂度（需要占用的大小）与某个或某些自变量变化的趋势。

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