自考《离散数学》题型总结
第一章：命题与命题公式
（2道选择或填空，1道解答题，共8分左右）
1、选择、填空：
（1）命题符号化（每年第一题）：
例：①：2021年10月：
1. 设 p:今年是 2020 年,q:明年是 2021 年,命题“只有今年是 2020 年,明年才是 2021 年的符 号化为 A. p∧q B. p∨q C. p→q D. q→p
解析：一般做这类题型搞清楚谁是谁的前提就可以，例如明年是2021年的前提是今年是2020年，所以例①选D。
（2）求一个公式的矛盾式或永真式
例：2021年4月：
解析：一般做这类题型只需用等值演算法算出就可以，也可以用假设法设其中一个值为T或F，看整个公式能不能取真，如果能，则不是矛盾式，如果不管取T或F，公式都是F，则是矛盾式。实在不会也可以用真值表法，方法还是比较多的。
用等值演算法求得D最后得公式为：P∧¬Q∧Q，为矛盾式（永假式），所以选D。
★（3）用真值表法求一个式子是否为可满足式（简答题第一题）
例：
解析：这类题一般很好拿分，只要细心一点就没问题。
（4）逻辑推导：（考的少）
例：小赵、小钱、小孙、小李参加数学建模竞赛，根据下列情况，确定 4 人中获奖的是哪些人，未获奖的是哪 些人。需写出推导过程。
（1）只要小赵或小钱中一人未获奖，小孙和小李就都得奖；
（2）小孙没获奖或小李没获奖是 不可能的；
（3）小钱获奖了。
解析：做此类题首先把命题符号化再求他们的合取，用等值演算就可求出结果
第二章： 命题逻辑的推理理论
（1道选择或填空、1道简答，1道证明 。共15分左右）
1、选择、填空：
（1）小项的性质考查：
2021年10月：
2021年4月：
解析：只需要记住小项打的的性质就可：
小项：每个小项当其真指派与编码相同时为T，其余都是F，所以任意两个小项的合取是永假，全体小项的析取为真，有2的n次方个小项。
大项：每个大项项当其真指派与编码相同时为F，其余都是T，所以任意两个大项的析取取是永真，全体小项的合取为假，有2的n次方个大项。
（2）求大小项的个数：
2020年10月：
答案：1个
2020年8月：
答案：3个
解析：用等值演算法或者真值表法求就可以求出来，看清是求主合取还是主析取。以2020年10月为例：
2、解答题：
用等值演算法求魔公式的主合取范式或者主析取范式（解答题第二题）
2021年10月：
2021年4月：
解析：考的是等追演算，把等值公式表重要的式子记住就行。适当的利用排中律和否定律添加缺少的命题。例：P、Q、R。公式里只有PVQ ，可变为PVQ（R∧¬R）。
答案：
2021年4月：
3、证明题：
逻辑推理：
2021年4月：
答案：
解析：考的是自然推理系统一节的内容，了解P规则，T规则，（归谬法）反正法：结果取反当条件拿来用，cp规则：A→B，A拿来当条件用，可根据公式A→B＝¬A∨B，灵活变换。
第三章：谓词逻辑
（两道选择两道填空。大题可能出，21年20年未出。不算大题8分左右）
1、选择填空：
（1）谓词等值式和蕴含式的考查：
例：2021年10月：
解析： 由表可知D是错的，假设一个班上的同学为X。会唱歌为A（x），会跳舞为B（X），等是左边：存在一些同学会唱歌，且存在一下同学会跳舞；等式右边：存在一些同学会唱歌且会跳舞。显然是不等价的，所以选择D。
2、论域、辖域、指导变元、自由变元、约束变元的考查。
例：2021年10月：
解析：已知论域是整数：选择题，往进带值就可以。 A：对任意一个X都存在Y，使其相加=2020，A对。B:存在一个x对任意一个y，和其相加等于2020，显然是错的。c，对任意一个X都有任意一个y和其相加等于2020，错的。D：同B。
二、证明题：
例：
解析：与命题逻辑推理相似，多了4个：全称量词消去规则、全称量词引入规则（少用）、存在量词引入规则、存在量词消去规则 。
第四章：集合
（选择或填空出一道、大题可能会出证明题。21年20年未出。不算大题2分左右）
一、选择填空：
2021年10月：
解析：单位元即幺元，首先想到的是∅集。
2020年10月：
解析：
2020年8月：
解析：真子集的概念：A包含B，但A至少有一个元素不属于B。例：A={1，2，3，4}，B={1，2，3} 。所以选c。
二、证明题：
解析：考查的是集合的运算公式：
第五章：关系与函数（本书重点）
（选择填空（2021年10月）：12分，大题（2021年10月）：12分，共24分左右）
一、考查内容：
- 关系的三种表示方法（单选）
- 关系的性质（单选、填空）
- 关系的闭包运算（单选、填空、计算）
- 关系的复合运算（单选、填空）
- 关系的判断和证明（单选、填空）
- 等价关系与划分（单选、填空）
- 序关系中的特殊元素（单选。填空、计算）
- 函数的复合（单选、填空）
二、选择填空：
2021年10月：
解析：
第5题：自反：对角线全是1；反自反：对角线全是0；对称：关于对角线对称；反对称：关于对角线两侧不能同时为1。所以5题选C。
第6题： 单射：1对1；满射：一对多；双射：既有1对1，又有一对多。所以6题的意思是，A中的元素既要和B中的1有关系，又要和B中的2有关系。故，可分为，①：A中的1个元素对应B中的1,4个元素对应B中的2；②：A中2个元素对应B中的1,3个元素对应B中的2；③：A中3个元素对应B中的1，2个元素对应B中的2；④：A中4个元素B中的对应1，1个元素对应B中的2，这四种情况。第①种有5种情况；第②种有10种情况，第③种有10种情况；第④种有5种情况，所以一共有30种情况。
第7题：用关系矩阵画出来后如图：
自反、反自反、对称都不符合，所以选D。
第8题：等价关系包含：自反、对称、传递。如果R满足这些关系，则R的逆也满足，所以选A。记住下面这个表：
运算\性质 自反 反自反 对称 反对称 传递 R 的逆 √ √ √ √ √ R ∩ S √ √ √ √ √ R ∪ S √ √ √ × × R - S × √ √ √ × R ° S √ × × × ×
解析：
第19题：
首先S的逆={<1,3>}，R∪S的逆={<1,2><1，3><2,2><3,2>}，dom表示定义域，取出第一个元素，所以答案为：{1,2,3}。（ranR：值域，fldR：域）
第20题：
划分为{1,4}，{2,3}，等价关系是自反，对称，传递，则：<1，4>x<1,4>={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>}, <2,3>x<2,3>={<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>},最后得答案为：{<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>，<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}
第21题：
幂集：所有子集之和：2的n次方个，则A的幂集有16个。对称差：并集-交集。单位元：与任何一个元素做运算都等于这个元素。首先想到特殊的元素：∅和A本身。∅和A本身的对称差还是A本身，所以∅为单位元。
第22题：
Klein四元群如下：
* e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 书本原题:例6.13：
定义6.12：群的阶：群里元素的个数叫做阶数、
定义6.15：元素的阶：设e是群里的幺元。a是群里的元素。a的k次方=e（幺元），则k被称为k阶元。
所以除单位元外，其他元素都是各自本身的2次方等于单位元，如a²=e，b²=4,c²=e。所以阶都是2.
三、大题：
1、2021年10月：
2、题型：
第六章：代数系统
一、考查内容：
- 代数系统的三个特殊元素（单选、填空）
- 群的判断与群的性质（单选、填空、证明）
- 半群与独异点的概念（单选）
二、选择填空：
2021年10月：
2021年4月：
解析：
2021年10月：
第14题：
a○a=a，b○b=b，则满足幂等律，AD排除，a○b=b，b○a=a，显然是不满足交换律的，所以B排除，a○a○b=a○（a○b）=a○b，满足结合律，所以选C。
2021年4月：
第7题：
与上面的14题相似，a○a=a，b○b≠b，所以不满足幂等律，是座椅选B
第14题：
群的性质：封闭性，结合律，幺元、逆元。自然数加法运算中没有a+a'=0的数，所以A错。
第19题：
三、大题：
2021年10月：
2021年4月：
答案：
第七章：格与布尔代数
一、考查内容：
- 格中元素的补元（单选、填空）
- 格的判断
二、选择填空：
2021年10月：
2021年4月：
解析：
2021年10月：
第13题：
有界格：有上确界和下确界。书本定义7.10：在任何有界格中全上界和全下界总是互补的，而对于其他元素，可能2存在补元也可能不存在补元。所以选D，至少有两个，分别是上确界和下确界。
第15题：
分配格：不含有钻石格和五角格。显然C不是，因为五角格是六角格的子格。
2021年4月：
第15题：
补格：相∪=1，相交=0，所以c的补元是a。
第八章：图（8分左右，会出一道大题）
一、选择填空：
1、可简单图化：
2020年10月：
2021年4月：
解析：以2021年4月的题为例：可简单图化需满足两个条件：①：节点读书最多为n-1个（n为点的个数，如A有5个，B有6个，c有4个，D有4个），所以AD排除，②：点的个数不能为奇数（例如：B：3+3+2+2+1+1=12，C：3+3+3+1=10，都满足。③依次删除首元素，首元素后的元素-1，重复以上步骤，直至最后一个元素为0（例如：B：除去3 ，后面的数字为2,1,1,0,0,0舍去，继续去掉2，后面的数字为0，0.B可以。C：去掉3，后面的数字为2,2,0,0舍去。继续去掉2，后面的数字为1。最后得到的数字是1，所以不行）所以选择B选项。
二、大题：
2021年10月：
2021年4月：
答案：
解析：邻接矩阵算法：（1）以第一行第三列的数为例：
通路：所有的数加起来。
回路：左斜对角的数加起来（第一行第一列、第二行第二例、第三行第三列。。。。）
第九章：图的应用（26分左右）
1、选择填空：
考查图的性质：包括平面图、欧拉图、哈密顿图、欧拉定理、握手定理
2021年10月：
2021年4月：
2、大题：
最小生成树的考查、二叉树的遍历：
2021年10月：
2021年4月：
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