20200408小记

前言
传播动力学模型
- SI模型
- 通过以上分析，我们发现：
- SIS模型
- SIR模型
- SEIR/SEIRS模型
- 新随机动态模型
潜伏期分布的估计
问答
结语

前言

今天下午有幸听到周教授关于新冠疫情的报告。
这里趁着还有些记忆的时候，做一点整理。也就相当于日记了罢。

令人印象深刻的是周教授对于传播动力学模型的介绍，以及关于潜伏期分布的估计。之后的问答环节也让人振奋。接下来就按时间一一梳理吧。

传播动力学模型

对于动力学模型，其实之前在b站上看毕导的一个视频有过初步的了解。感兴趣的小伙伴可以去b站看看，这个up主还挺有意思的.

SI模型

最原始的动力学模型非常简单，被称作SI模型。即人群之中的人只被分类为Susceptibles(易感人群)和Infected(感染者)。S一旦被感染，就会变成I，并且终生具有传染性。

这个时候要进行相关的分析，就要首先对地区总体进行假设:

N:区域内人口总数N:\text{区域内人口总数}N:区域内人口总数
I:感染者人数I:\text{感染者人数}I:感染者人数
r:感染者每个单位时间会接触的人数r:\text{感染者每个单位时间会接触的人数}r:感染者每个单位时间会接触的人数
S:该地区内的健康人S:\text{该地区内的健康人}S:该地区内的健康人
β:病毒从I传染给S的概率\beta:\text{病毒从I传染给S的概率}β:病毒从I传染给S的概率

值得注意的是，以上这些参数中，不变的是N,r,βN,r,\betaN,r,β。而S,IS,IS,I都是随着时间变化的变量。

感染者的增加率，一方面从III的角度看，可以表述成dIdt\cfrac{dI}{dt}dtdI

另一方面，我们从计算的角度看，地区的一个感染者在单位时间内一共会接触rrr的人，由于该地区内健康者的比例是SN\cfrac{S}{N}NS，于是这rrr个人里面，健康者的人数是r⋅SNr\cdot \cfrac{S}{N}r⋅NS。
而该地区在ttt时刻一共有III个感染者，于是该地区的感染者在单位时间内接触的健康者人数为rSNI\cfrac{rS}{N}INrSI。接触的这些健康者有β\betaβ的概率转化成感染者。于是单位时间内增加的感染者就可以写作：rSIβN\cfrac{rSI\beta}{N}NrSIβ。

所以我们能得到一个微分方程：
dIdt=rβISN\cfrac{dI}{dt}=\cfrac{r\beta IS}{N}dtdI=NrβIS

显然地，由于地区总人口不变，单位时间内增加的感染者就等于单位时间内减少的健康者。那么可以列出健康者变化率的微分方程：
dSdt=−rβISN\cfrac{dS}{dt}=-\cfrac{r\beta IS}{N}dtdS=−NrβIS

通过解以上两个方程，就可以对该地区感染疾病的人数进行分析。

根据毕导的话，这类模型适用于HIV【由于目前没有治愈手段，一旦感染，将视作终生染病。】以及生化危机【笑】。

通过以上分析，我们发现：

即使人群中只有两类人，涉及到的参数依然十分之多。
传播动力学模型的“动”就在于不同类型的人的相互转化，这里由于考虑的比较简单，只有S变成I。后面的模型将会把这个特点表述得更加明显。
关于感染者人数随时间的变动，是通过解微分方程得到的。

SIS模型

考虑你得了一个小感冒，你就从健康者（S）变成了感染者（I）。

但是去医院或者过一段时间之后，感冒好了。你就又从感染者（I）变回了健康者（S）。但这种健康者不代表没有后顾之忧了，过一段时间你踢了被子，还是会从健康者（S）再次变回感染者（I）。

这种情况就满足SIS模型的假设了。借用毕导的话，在该模型下，人会在I和S之间反复横跳。

为了拓展这个模型，我们就要引入一个新的参数：感染者被治疗的概率γ\gammaγ。

这样微分方程组就变成了：

{dIdt=rβISN−γIdSdt=−rβISN+γI\begin{cases} \cfrac{dI}{dt}=\cfrac{r\beta IS}{N}-\gamma I \\ \cfrac{dS}{dt}=-\cfrac{r\beta IS}{N}+\gamma I \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧dtdI=NrβIS−γIdtdS=−NrβIS+γI

可以看到，动力学模型开始“动起来”了，有内味了。但同时，也变得更加复杂了。

SIR模型

但现实生活中有很多疾病，比如天花、荨麻等。

一旦得过一次，人的体内就有了抗体。终生将不会再得。

就把具有抗体的人称作 The Recovered（康复者） 。

与SIS中的动向：S→I→S→I→⋯S\rightarrow I\rightarrow S\rightarrow I\rightarrow \cdotsS→I→S→I→⋯不同的是，
在SIR模型中，动向为：S→I→RS\rightarrow I \rightarrow RS→I→R 。

此时治愈率依旧视作γ\gammaγ,但是治愈之后，不再发病。

微分方程变为：

{dIdt=rβISN−γIdSdt=−rβISNdRdt=γI\begin{cases} \cfrac{dI}{dt}=\cfrac{r\beta IS}{N}-\gamma I \\ \cfrac{dS}{dt}=-\cfrac{r\beta IS}{N} \\ \cfrac{dR}{dt}=\gamma I \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧dtdI=NrβIS−γIdtdS=−NrβISdtdR=γI

可以看到，由于引入了新的一类人：R。尽管参数的数量没有变，但是微分方程的数量变多了。这样结构性的改变也导致了该方程组没有解析解。

引入新的分类致使动力学模型的复杂度提升了一个档次。

SEIR/SEIRS模型

这就是今天下午周教授首先介绍的两个模型。
这两个模型相比于之前的模型，又引入了一个新的分类：Exposed(E)。

在SEIR模型假定下：
S→βE→σI→γRS\xrightarrow{\beta}E\xrightarrow{\sigma}I\xrightarrow{\gamma}RSβEσIγR

在SEIRS模型假定下：
S→βE→σI→γR→ϵS⋯S\xrightarrow{\beta}E\xrightarrow{\sigma}I\xrightarrow{\gamma}R\xrightarrow{\epsilon}S\cdotsSβEσIγRϵS⋯

可以预见，模型将变得愈加复杂。由于没时间加懒得推，微分方程的形式就不写了。

新随机动态模型

这是周教授他们这次使用的方法。模型的缩写为：SEAQIR模型。
这个模型引入了新的分类隔离组：Q。
并且在一些分类之下增加了子分类A。

模型的参数变得更加得多，相互的转化关系也错综复杂。

而在这些模型中，重要的工作就是估计参数了。估计好了参数，调整好模型的口径，这个模型就可以用于预测分析。

潜伏期分布的估计

我们对于患者最直接的观测就是他什么时候表现出症状（得病），而对于什么时候携带上这个病毒（染病）的时间却很难把控。

有可能只是路上和某个人擦肩而过，就染上了病毒。

因此潜伏期的测算是个难点。

此次周教授采用了“新的横截面以及前瞻后续性设计”。这一部分我没有听得太懂，这次留作记号，以后什么时候弄懂了，再回来填坑吧。

总之，通过估计潜伏期的分布，他们得出了潜伏期的90th分位数是14.65天。

问答

这个环节中，原本被邀请的评论人老师在提问的时候，主动提到“之前没有接触过动力学模型”。提的问题也浅尝辄止。周教授也说“自己是第一次接触动力学模型”。【原话记的不是很清楚，但大概是这么个意思。】一方面说明了大师们强大的学习能力，另一方面或许也说明了我国现在流行病统计学的专业人才的一定缺口吧。

而之后的易丹辉老师【这位老师上过陈希孺先生（陈希孺先生的许多书是我在图书馆看统计学读物时的珍宝，把统计学写得有深度，又有逻辑，希孺先生做的真的可以说是无人出其左右了。并且其在《数理统计简史》的序言中写的话我十分喜欢，有求道者的风范。）的“广义线性分析”一课】，则在提问中一针见血地指出模型的一些不足之处。

不过虽然模型有不足，但是预测的结果相当好。“不管黑猫白猫，抓到老鼠的就是好猫”。我想这也是人大统院开这次讲座的目的，让学生们看到前沿的研究，看到前沿的研究是通过什么方法出好的结果的。

之后的一位研究生的提问很有意思。他问为什么机器学习这些方法不用，而用这个动力学模型呢？

教授给的解答是机器学习在大量的数据下，效果才比较好。并且机器学习不好处理隐变量。

另外在评论区的“qqqq”也提到：“动力学模型是机制模型，机器学习只用于解释数据而非机制。”【大意如此。】
也说明机器学习目前的基础理论不够完善，我们虽然知道机器学习在某些情况下能得到很好的结果，但是不知道为什么机器学习能得到好的结果。
于是只能避免使用原理不清的方法吧。

结语

大师们的论坛，大师们的风采。新冠疫情下，统计学能做这么多的事情。

我也想变得像他们一样，想向希孺先生靠拢，想进人大，想学精算，想控制风险，在实践之中不断挖取方法。

我想变强，想强到未来发生些什么，我能够有力量，去保护我们的下一代。

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