《算法分析与设计（第5版）》——王晓东 - 学习记录 / 期末复习
前言
- 《算法分析与设计（第5版）》——王晓东
- 前四章的学习、记录、分享
（锚点⬇）分治法 - 常见算法示例【目录】
（锚点⬇）动态规划 - 常见算法示例【目录】
（锚点⬇）贪心算法 - 常见算法示例【目录】
第 1 章 算法概述
1.1 “程序”与“算法”
- 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
算法是若干指令的有穷序列，满足性质： （1）输入；（2）输出；（3）确定性；（4）有限性。
“好”的算法应达到以下目标：正确性、可读性、健壮性、高效性与低存储要求。 - 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
程序可以不满足算法的性质(4)。 - 区别：程序是结果，算法是手段（方法）；
- 联系：算法+数据结构=应用程序。
1.2 算法复杂性
- 算法的时间复杂性T(n)；算法的空间复杂性S(n)（……）
- 算法的计算复杂性概念（……）
- 算法渐近复杂性的数学表述及复杂度的计算（……）
第 2 章 递归与分治策略
2.1 “递归”与“分治”
- 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
- 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。递归函数的二要素：边界条件、递归方程。
- 分治法：就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
- 分治与递归的关系：递归结构是循环结构的一种，也是分治思想应用最多的一种程序结构；但是不一定要使用它，关键在于是否能够写出递归公式以及是否有必要使用递归算法。
2.2 分治法的使用
应用分治法的前提：
- 原问题与分解成的小问题相同或相似；
- 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性；
- 当子问题足够小时，可以直接求解（或者说，具有分解终止条件）；
- 可以将子问题合并成原问题，且合并操作的复杂度不高。
分治法的基本思想：
- 当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。
- 对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。
- 如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。
分治法所能解决的问题的一般特征：
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。
分治法的基本步骤（形式化）
divide-and-conquer(P)—分而治之 {if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk; //分解问题for (i=1,i<=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 }
2.3 递归与分治策略的应用示例
- 已更新 【递归】n的阶乘
- 已更新 【递归 & 动态规划】Fibonacci数列（斐波那契数列）
- 已更新 【递归】Ackerman函数（阿克曼函数）
- 已更新 【递归】全排列
- 已更新 【递归】整数划分
- 已更新 【分治】大整数乘法
- 已更新 【分治】合并排序
- 已更新 【分治】快速排序
- 已更新 【分治】二分查找
- Hanoi塔（待定）
- Strassen矩阵乘法（待定）
- 已更新 【分治】棋盘覆盖（待定）
- 已更新 【分治】线性时间选择（待定）
- 最接近点对问题（待定）
- 已更新 【分治】循环赛日程表
第 3 章 动态规划
3.0 理解多阶段决策问题……
3.1 动态规划算法
- 基本要素：
- 最优子结构性质：问题的最优解包含了子问题的最优解
- 重叠子问题性质：保存子问题的解，再次需要时进行查询
- 基本步骤：
- 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
- 递归地定义最优值（写出动态规划方程）。
- 以自底向上的方式计算出最优值。
- 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
3.2 分治算法与动态规划算法的差异
- 与分治法类似的是：将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是：经分解的子问题往往不是相互独立的。
- 若用分治法来解，有些共同部分（子问题或子子问题）被重复计算了很多次。
- 若用动态规划来解，保存已解决的子问题的答案，在需要时再查找，避免重复计算。
3.3 备忘录方法的概念
- 用一个表格来保存已解决的子问题的答案，用的时候查表即可；
- 采用的递归方式是自顶向下，动态规划是自低向上；
- 控制结构与直接递归相同，区别在于备忘录方式为每个解过的子问题建立备忘录；
- 初始化为每个子问题的记录存入一个特殊的值，表示并未求解；在求解过程中，查看相应记录如果是特殊值，表示未求解，否则只要取出该子问题的解即可。
3.4 动态规划算法的应用示例
- 已更新 【递归 & 动态规划】Fibonacci数列（斐波那契数列）
- 已更新 【动态规划】矩阵连乘
- 最长公共子序列（待定）
- 最大子段和（待定）
- 已更新 【动态规划】0-1背包问题
- 已更新 【动态规划】最优二叉搜索树
第 4 章 贪心算法
4.1 贪心算法
- 概念：
- 贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。
- 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择。
- 基本要素：
- 最优子结构性质：问题的最优解包含其子问题的最优解
- 贪心选择性质：整体的最优解可通过一系列局部最优解达到；每次的选择可以依赖以前作出的选择，但不能依赖于后面的选择。
4.2 贪心算法与动态规划算法的差异
- 相同点：都要求问题具有最优子结构性质。
- 不同点：
- 贪心算法自顶向下进行分解，每一步的最优解一定包含上一步的最优解，上一步之前的最优解则不保留最终得到某种意义上的局部最优解；
- 动态规划自底向上进行分解，记录所有局部最优解……（……）
4.3 贪心算法的应用示例
- 已更新 【贪心算法】活动安排问题
- 已更新 【贪心算法】一般背包问题
- 哈夫曼编码（待更新）
- 已更新 【贪心算法】单源最短路径
- 已更新 【贪心算法】最小生成树
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