地理信息系统（汤国安）重点整理与推导（第二章）

1. 地球的自然表面

是一个起伏不平，十分不规则的表面，包括海洋底部，高山高原在内的固体地球表面。

2. 大地水准面

是相对抽象的面，地球表面的72%被流体状态的海水所覆盖，可以假设当海水处于完全静止的平衡状态时，从海平面延伸到所有大陆下部，而与地球重力方向处处正交的一个连续，闭合的水准面，这就是大地水准面。水准面是一个重力等位面，对于地球空间而言，存在无数个水准面，大地水准面是其中一个特殊的重力等位面，它在理论上与静止海平面重合。

大地水准面包围的形体是一个水准椭球，称为大地体。

3. 地球椭球面

大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个规则的数学曲面。所以在大地测量以及GIS应用中，一般都选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为地球椭球。在有关投影和坐标系统的叙述内容中，地球椭球有时也被称为参考椭球。

地球椭球并不是一个任意的旋转椭球体。只有与水准椭球一致起来的旋转椭球才能用作地球椭球。

4. 数学模型

是在解决其他一些大地测量学问题时提出来的，如类地形面，准大地水准面，静态水平衡椭球体等。

5. 球面坐标系的类型

在经典的大地测量中，常用地理坐标和空间直角坐标的概念描述地面点的位置。根据建立坐标系统采用椭球的不同，地理坐标又分为天文地理坐标系和大地地理坐标系。前者是以大地体为依据，后者是一地球椭球体为依据。空间直角坐标分为参心空间直角坐标和地心地固空间直角坐标系，前者以参考椭球中心为坐标原点，后者以地球质心为坐标原点。

（1）天文地理坐标系：天文地理坐标系以地心为坐标原点，Z轴与地球平自转轴重合，ZOX是天文首子午面。OY轴与OX，OZ轴组成右手坐标系，XOY为地球平均赤道面。地面垂线方向是不规则的，它们不一定指向地心，也不一定同地轴相交。包括测站垂线并与地球平自转轴平行的平面叫天文子午面。

（2）大地地理坐标系：大地地理坐标系是依托地理椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面标示较大地域地理空间位置的参照系。大地地理坐标也简称大地坐标。一点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示。地面点对椭球的法线与赤道面的交点为大地纬度，以B表示，从赤道面起算，向北为正，向南为负。大地首子午面与一点的大地子午面间的二面角为大地经度，常以L表示。以大地首子午面起算，向东为证，向西为负。

（3）空间直角坐标系：

参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角坐标系O-XYZ。坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合，X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ平面正交，O-XYZ构成右手坐标系。由于参考椭球不是唯一的，所以，参心空间直角坐标系也不是唯一的。

地心地固空间直角坐标系：在原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系。地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，地极点在地球表面上的位置是随时间变化的，因此，在具体建立时，根据选取的实际地级的不同，地心地固空间直角坐标系的实际定义也不相同。

6. 平面坐标系的类型

（1）高斯平面坐标系：为了便于地形图的量测作业，在高斯-克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统。具体构成是：规定以中央经线为x轴，赤道为y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点。同时规定x值在北半球为正，南半球为负；y值在中央经线以东为正，以西为负。

由于高斯克吕格投影每个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系，则位于两个不同投影带的地图点会出现相同的高斯平面直角坐标，而实际上描述的却不是一个地理空间。为了避免这一情况和区别不同点的地理位置，高斯平面直角坐标系规定在横坐标y值前标以投影带的编号。在实际应用中，一般得到的是通用坐标，要获得其实际坐标需要先去掉该点通用坐标前面的高斯坐标分带号，再将其横坐标东移500km，恢复其本来坐标位置。

（2）地方独立平面直角坐标系：由于国家坐标中每个高斯投影带都是按一定间隔划分，其中央子午线不可能刚好落在城市和工程建设地区的中央，从而使高斯投影长度产生变形。因此，为了减小变形，将其控制在一个微小的范围内，使得计算出来的长度与实际长度认为相等，常常需要建立适合本地区的地方独立坐标系。

建立地方坐标系，实际上就是通过一些元素的确定来决定地方参考椭球与投影面。地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参考椭球，该椭球的中心，轴向和扁率与国家参考椭球相同，其椭球半径a增大为 a1=a+da1 da1=hm+ζ0

式中:Hm为当地平均海拔高程；ζ0为该地区的平均高程异常。

在地方投影面的确定过程中，应当选取过测区中心的经线或某个起算点的经线作为独立中央子午线；以某个特定使用的点和方位为地方独立坐标系的起算原点和方位，并选取当地平均高程Hm为投影面。

7. 高程基准

高程是表示地球上一点至参考基准面的距离。

正高是以大地水准面为参考面，正常高是以似大地水准面为参考面，大地高是以地球椭球面为参考面。这种相对于不同性质的参考面所定义的高程体系称为高程系统。

人们通常所说的高程是以平均海面为起算基准面，所以高程也被称为标高或海拔高，包括高程起算基准面和相对于这个基准面的水准原点高程，就构成了高程基准。

高程基准是推算一个国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。水准基面，通常理论上采用大地水准面，它是一个延伸到全球的静止海水面，也是一个地球重力等位面。实际上确定水准面则是取验潮站长期观测结果计算出来的平均海面。

我国主要高程基准：1956年黄海高程系，1985国家高程基准

8. 地图投影

在数学中，投影的含义是指建立两个点集之间一一对应的映射关系，同样在地图学中，地图投影的实质就是按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，建立地面点位的地理坐标（B，L）与地球上相对应的平面直角坐标（X，Y）之间的一一对应的函数关系。

9. 地图投影变形

（1）长度变形与长度比

长度比指地面上微分线段投影后的长度ds'与其相对应的实地长度ds之比。如果用符号μ表示长度比，那么μ=ds'/ds

长度变形指长度比与1之差值。如果用符号Vμ表示长度变形，则Vμ=μ-1（Vμ=0，投影后长度没有变形；Vμ<0，投影后长度缩小；Vμ>0，投影后长度增加。

（2）面积变形与面积比

面积比是指地面上微分面积投影后的大小dF'与其相应的实地面积dF的比，通常用符号P表示，即P=dF'/dF，面积变形指面积比与1的差值。用符号Vp表示，那么Vp=P-1，Vp=0，投影后面积没有变形；Vp<0，投影后面积缩小；Vp>0，投影后面积增加。

（3）角度变形

角度变形是指地面上某一角度投影后的角值β'与其实际的角值β之差。即β'- β。在一定点上，方位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，称最大角度变形，通常用符号ω表示。

sin（ω/2） =（a-b）/（a+b）

ω=0，投影后角度没有变形；ω<0，投影后角度缩小；ω>0，投影后角度增大。

地球上无穷小圆在投影中通常不可能保持原来的形状和大小，而是投影成为不同大小的圆或各种形状大小的椭圆，统称为变形椭圆。

一般可以根据变形椭圆来确定投影的变形情况。如投影后为大小不同的圆形，a=b则该投影为等角投影；如果投影后为面积相等而形状不同的椭圆，ab=r平方，则该投影为等积投影；如果投影后为面积不等，形状各不相同的椭圆，则为任意投影，其中如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等，如b=r，则为等距投影。从变形椭圆中还可看出，变形椭圆的长短半轴即为极值长度比，长轴与短轴的方向即为主方向。

10. 地图投影分类

（1）按地图投影的构成方法分类

可以把地图投影分为几何投影和非几何投影。

1⃣️几何投影：几何投影是把椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展开为平面而得到。在地图投影分类时根据辅助投影面的类型及其与地球椭球的关系又可以进一步划分。

1 按辅助投影面的类型划分：

方位投影：以平面作为投影面

圆柱投影：以圆柱面作为投影面

圆锥投影：以圆锥面作为投影面

2 按投影面与地球自转轴间的方位关系划分：

正轴投影：投影面的中心轴与地轴重合

横轴投影：投影面的中心轴与地轴相互垂直

斜轴投影：投影面的中心轴与地轴斜交

3 按投影面与地球的位置关系划分

割投影：以平面，圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相割，将球面上的经纬线投影到平面上，圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面。

切投影：以平面，圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相切，将球面上的经纬线投影到平面上，圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面。

2⃣️非几何投影：非几何投影是不借助几何面，根据某些条件用数字解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状分为下述几类：

1 伪方位投影：纬线为同心圆，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

2 伪圆柱投影：纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

3 伪圆锥投影：纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线均为对称于中央经线的曲线。

4 多圆锥投影：纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

（2）按投影变形性质分类

1 等角投影：任何一点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变，亦即投影前后对比对应的微分面积保持图形相似，因此也称为正形投影。

2 等面积投影：无论微分单位还是区域面积投影前后保持相等，亦即其面积比为1，即在投影平面上任意一块面积与椭圆面上相应的面积相等，面积变形等于零。

3 任意投影和等距投影：任意投影，长度，面积和角度都有变形，它既不等角又不等面积，可能还存在长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等面积投影。任意投影多用于要求面积变形不大，角度变形也不大的地图。

圆锥投影，方位投影，圆柱投影均可按其变形性质分为等角投影，等面积投影和任意投影。伪圆锥和伪圆柱投影中有等面积投影和任意投影，而都以等面积投影较多。

不同类型地球投影命名规则为：投影面与地球自转轴间的方位关系+投影变形性质+投影面与地球相切（或相割）+投影构成方法。

11. 高斯-克吕格投影

横轴切圆柱投影，高斯投影的中央经线和赤道为相互垂直的直线，其他经线均为凹向，并对称于中央经线的曲线，其他纬线均是以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。

高斯投影的变形特征是：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增大速度较快。在6度带范围内，长度最大变形不超过0.14%。

我国规定1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万比例尺地形图，均采用高斯投影。1:2.5至1:50万比例尺地形图采用经差六度分带，1:1万比例尺地形图采用经差3度分带。

高斯投影的不足之处在于长度变形较大，导致面积变形也较大。在纬度30度以下的6度带边缘地区，长度变形值超过了1/1000。而对于3度带边缘地区，长度变形也仅减小至3/10000左右。

12. 横轴墨卡托投影

UTM投影是一种横轴割圆柱等角投影，圆柱面在84N和84S处与椭球体相割，它与高斯-克吕格投影十分相似，也采用在地球表面按经度每6度分带。其带号是自西经180度由西向东每隔6度一个编号。

高斯投影的中央经线长度比等于1，UTM投影规定中央经线长度比为0.9996。在6度带内最大长度变形不超过0.04%。

13. 兰伯特等角投影

兰伯特等角投影在双标准纬线下是一“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰伯特投影平面。兰伯特等角投影后纬线为同心圆弧，经线为同心圆半径。墨卡托投影是它的一个特例。兰伯特投采用双标准纬线相割，与采用单标准纬线相切比较，其投影变形小而均匀。

14. 地图投影的选择

当选择制图投影时，主要考虑以下因素：制图区域的范围，形状和地理位置，地图的用途，出版方式及其他特殊要求等，其中制图区域的范围，形状和地理位置是主要因素。

对于世界地图，常用的主要是正圆柱，伪圆柱和多圆锥投影。在世界地图中，常用墨卡托投影绘制直接航线图，世界交通图与世界时区图。

我国出版的世界地图多采用等差分纬线多圆锥投影。

对于半球地图，东西半球图常选用横轴方位投影，南北半球图常选用正轴方位投影，水陆半球图一般选用斜轴方位投影。

对于其他的中小范围的投影选择，须考虑到它的轮廓形状和地理位置，最好是使等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致，以便减少涂上变形。因此，圆形地区一般采用方位投影，两极附近采用正轴方位投影，以赤道为中心的地区采用横轴方位投影，在中纬度地区采用斜轴方位投影。在东西延伸的地区，则宜采用正轴圆柱投影。在南北方向延伸的地区，一般采用横轴圆柱投影和多圆锥投影。

15. 国家基本比例尺地形图标准

我国把1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万这7种比例尺作为国家基本地图的比例尺系列。

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