1. 最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

某小区有七栋楼房①~⑦(见下图)，各楼房之间可修燃气管道路线的长度(单位:百米)已标记在连线旁。为修建连通各个楼房的燃气管道，该小区内部煤气管道的总长度至少为多少百米?

2. 最短路径

用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

有一批货物要从城市s发送到城市t，线条上的数字代表通过这条路的费用(单位为万元)。那么，运送这批货物，至少需要花费多少元?

3. 网络与最大流量

最大流问题(maximum flow problem)，一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果.
解题总结: 每一条连同线路找出最小值, 然后断开最小值, 其余支路减去最小值. 一直重复到没有联通, 最后累加起来断开最小值即可.

参考链接:
https://blog.csdn.net/weixin_30699443/article/details/96141241

下图标出了某地区的运输网。各节点之间的运输能力如下表（万吨/小时），从节点1到节点6的最大运输能力（流量）可以达到（）万吨/小时。

解析：

在本题中，从节点1到节点6可以同时沿多条路径运输，总的最大流量应是各条路径上的最大流量之和，每条路径上的最大流量应是其各段流量的最小值。解题时，每找出一条路径算出流量后，该路径上各段线路上的流量应扣除已经算过的流量，形成剩余流量。剩余流量为0的线段应将其删除（断开）。例如，路径1、3、5、6的最大流量为10万吨，计算后，该路径上各段流量应都减少10万吨。从而1、3之间断开，3、5之间的剩余流量是4万吨，5、6之间的剩余流量为11万吨。

同理，依次执行类似步骤：

（1）路径1、2、5、6的剩余最大流量为6万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少6万吨。从而1、2之间断开，2、5之间的剩余流量是1万吨，5、6之间的剩余流量为5万吨。

（2）路径1、4、6的剩余最大流量为5万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少5万吨。从而4、6之间将断开，1、4之间的剩余流量是5万吨。

（3）路径1、4、3、5、6的剩余最大流量为1万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少1万吨。从而4、3之间断开，1、4之间的剩余流量是4万吨，3、5之间的剩余流量是3万吨，5、6之间的剩余流量是4万吨。

（4）路径1、4、2、5、6的剩余最大流量为1万吨。计算后，该路径上各段流量应减少1万吨。从而2、5之间断开，1、4之间，4、2之间，5、6之间的剩余流量是3万吨。

至此，从节点1到节点6已经没有可通的路径，因此，从节点1到节点6的最大流量应该是所有可能运输路径上的最大流量之和，即10+6+5+1+1=23万吨。

4. 线性规划

某企业需要采用甲、乙、丙三种原材料生产Ⅰ、l两种产品。生产两种产品所需原材料数量、单位产品可获得利润以及企业现有原材料数如下表所示，则公司可以获得的最大利润是(1)万元。取得最大利润时，原材料2）尚有剩余。

解析:
参考链接:
http://www.voidcn.com/article/p-dmevlqxb-bed.html

设生产Ⅰ、Ⅱ两种产品分别为x吨、y吨，公司获利 万元，依据题意：目标函数为最大利润z=9x+12y，决策变量为x和y。
约束条件有：

x+y<=4 --(1)

4x+3y<=12 --(2)

x+3y<=6 --(3)

联立(1)(2)解方程，得x=0,y=4，代入(3)不成立。

联立(1)(3)解方程，得x=3,y=1,代入(2)不成立。

联立(2)(3)解方程，得x=2,y=4/3，代入(1)成立。

所以，x<=2,y<=4/3，取最大值代入目标函数z=9x+12y=34。

很显然，甲原材料有剩余(代入(1),2+4/3<4)。

5. 动态规划

某公司现有400万元用于投资甲、乙、丙三个项目,投资额以百万元为单位,已知甲、乙、丙三项投资的可能方案及相应获得的收益如下表所示，则该公司能够获得的最大收益值是(百万元。

解析:

某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店,每个营业区至少增设1个。各营业区年增加的利润与增设的销售店个数有关,具体关系如表所示。可以调整各营业区增设的销售店的个数,使公司总利润增加额最大达()万元。

6. 运筹方法

●甲、乙两个独立的网站主要靠广告收入来支撑发展，目前都采用较高的价格销售广告。这两个网站都想通过降价争夺更多的客户和更丰厚的利润。假设这两个网站在现有策略下各可以获得1000万元的利润。如果一方单独降价，就能扩大市场份额，可以获得1500万元利润，此时，另一方的市场份额就会缩小，利润将下降到200万元。
如果这两个网站同时降价，则他们都将只能得到700万元利润。那么，这两个网站的主管各自经过独立的理性分析后，决定采取什么策略呢?

●假设市场上某种商品有两种品牌A和B，当前的市场占有率各为50%。根据历史经验估计，这种商品当月与下月市场占有率的变化可用转移矩阵P来描述:

其中，p (A→B)是A的市场占有份额中转移给B的概率，依次类推。这样，2个月后的这种商品的市场占有率变化为( ).。
解析:

●某类产品n种品牌在某地区的市场占有率常用概率向量u=(ul,u2,…,un)表示(各分量分别表示各品牌的市场占有率，值非负，且总和为l)。市场占有率每隔一定时间的变化常用转移矩阵Pn*n表示。设初始时刻的市场占有率为向量u，则下一时刻的市场占有率就是uP，再下一时刻的市场占有率就是uP2，…。如果在相当长时期内，该转移矩阵的元素均是常数，则市场占有率会逐步稳定到某个概率向量z，即出现ZP=Z。这种稳定的市场占有率体现了转移矩阵的特征，与初始时刻的市场占有率无关。

假设占领某地区市场的冰箱品牌A与B，每月市场占有率的变化可用如下常数转移矩阵来描述,则冰箱品牌A与B在该地区最终将逐步稳定到市场占有率( )。

●某博览会每天8:00开始让观众通过各入口处检票进场，8:00前已经有很多观众在排队等候。假设8:00后还有不少观众均匀地陆续到达，而每个入口处对每个人的检票速度都相同。根据以往经验，若开设8个入口，则需要60分钟才能让排队观众全部入场;若开设10个入口，则需要40分钟才能消除排队现象。为以尽量少的入口数确保20分钟后消除排队现象，博览会应在8:00和8:20开设的入口数分别为) 。

解析:
设8点前已排队等候的人数为A，每分钟可以来Z人，每个入口每分钟能进Y人。
1式:860Y=60Z+A
2式:1040Y=40Z+Al式减2式得:
3式:80Y=20Z把3式代入1式得:A=240Y

所以要20分钟消除排队现象则有:x20Y=20*(4Y)+240Y
求得X=16.
所以8:00应开入口16个，而8:20由于消除了排队，开口数量只需要4个就行了〈依据:80Y=20z)。

●评估和选择最佳系统设计方案时，甲认为可以采用点值评估方法，即根据每一个价值因素的重要性，综合打分来选择最佳的方案。乙根据甲的提议，对如表所示的系统A和B进行评估，那么乙认为() 。

解析:
A综合得分: 950.35+700.4+850.25 = 82.5
B综合得分: 750.35+950.4+900.25 = 86.75

●某企业拟进行电子商务系统的建设，有四种方式可以选择:①企业自行从头开发;②复用已有的构件来构造;③购买现成的软件产品;④承包给专业公司开发。针对这几种方式，项目经理提供了如图所示的决策树,根据此图，管理者选择建设方式的最佳决策是( 。

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